2024年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷（附答案解析）

2024年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。

1.（3分）—称的绝对值是（）

11

A.-7TB.-2C.-D.2

22

2.（3分）2024年河南春晚从传统文化中寻找韵脚，在科技赋予的丰富场景中，编织出了一幅璀璨的文化

风情图，获得业内专家的点赞.截至2024年2月9日12点，全网阅读量再创新高，突破130亿.数据

“130亿”用科学记数法表示为（）

A.0.13XIO10B.1.3X109C.1.3X1O10D.13X109

3.（3分）下列微信表情图案中，是轴对称图形的是（）

4.（3分）下列计算正确的是（）

24836

A.a*tz=aB.（/）=a

C.（2a）2=2/D.（1-a）2—1-a2

5.（3分）已知直线将一块含30°角的直角三角板（/8AC=30°,ZACB=90°）按如图所示的

方式放置，并且顶点A,C分别落在直线a,b上，若Nl=20°,则/2的度数是（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

6.（3分）如图，nABCD的对角线AC,3。相交于点。，NADC的平分线与边相交于点尸，E是PD

中点，若AO=4,CD=6,则的长为（）

7.（3分）若关于尤的一元二次方程？+2x+相=0有实数根，则根的值不可能是（）

A.2B.1C.-1D.-2

8.（3分）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种，据悉蟋蟀鸣叫的次数与气

温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如表:

气温（℃）…13151719■

蟋蟀鸣叫次数（次/分钟）…708498112•

若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为（）

A.9℃B.10℃C.11℃D.12℃

9.（3分）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式

为卜=-正常水位时水面宽为36MZ,当水位上升5〃z时水面宽CD为（）

图1

图2

A.10mB.12mC.24加D.48/77

10.（3分）已知矩形ABC。的两条对角线AC,BD交于点、O.动点尸从点A出发，沿矩形的边按AgfBC

的路径匀速运动到点C.设点P的运动速度为1单位长度/秒，运动时间为x秒，线段OP的长为y,y

与无函数关系的大致图象如图所示，其中a,6分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，则a+b的值为

）

y（单位长度）

A.6B.7C.8D.9

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）某种水果售价是每千克5元，小红按八折购买了a千克，需付元.

12.（3分）右不等式（机-3）尤<3-m的两边同除以（机-3）,得x>-1,则m的取值氾围为.

13.（3分）“四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发

明.如图，这是小东同学收集到的中国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张

卡片背面朝上，洗匀放好.从这四张卡片中随机抽取两张，抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“印刷

术”的概率为.

14.（3分）如图，在△ABC中，90°,AB为。。的切线，点£为切点，线段AC经过圆心。且

□

与O。相交于。，C两点，若sinA=S，AO=2,则的长为.

15.（3分）正方形ABC。中，AB=6,点E在边CD上，且CE=2,点P在边BC上，当△AEF为等腰三

角形时，8尸的长为_______________________

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.（10分）（1）计算：V9+（I）-1-4sin60°-（?r-2）°；

（2）化简：q拧+（1—磊）•

17.（9分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲乙两班联合举办

了“航天知识”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生.统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成

绩）进行了收集、整理，分析.下面给出了部分信息.

【收集数据】

甲班10名学生竞赛成绩：85,78,86,79,72,91,79,71,70,89

乙班10名学生竞赛成绩：85,80,78,85,80,73,90,74,75,80

【整理数据】

班级70«8080WxV9090«100

甲班631

乙班451

【分析数据】

班级平均数中位数众数方差

甲班80797951.4

乙班80ab26.4

【解决问题】根据以上信息，回答下列问题:

(1)填空：a—,b—；

(2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；

(3)甲班共有学生50人，乙班共有学生55人.按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估

计这两个班可以获奖的总人数是多少？

18.(8分)如图，点E是正方形的边上一点，连接AE.

(1)请用无刻度的直尺和圆规作AE边上的高BG(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)延长交CD于点足若A8=4,BE=l,求。尸的长.

19.(9分)如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点A(V3,1).

(1)求双曲线对应的函数关系式.

(2)将线段OA绕点。顺时针旋转150。，得到线段OA,,判断点A'是否在该双曲线上？说明理由;

并求点A运动的路径长I.

(3)连结A4',请直接写出△AOA'的面积.

20.（9分）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多.某品

牌的“4S”店主销纯电动汽车A和插电混动汽车8,两种主销车型的有关信息如表：

车型纯电动汽车A插电混动汽车2

进价/（万元/辆）2512

新能源积分/（分/辆）82

（1）4月份该“4S”店共花费620万元购进A,B两种车型，且全部售出共获得新能源积分180分，求

4月份购进A,B型号的车分别有多少辆？

（2）因汽车供不应求，该“4S”店5月份决定购进A,8两种车型共60辆，且所进车辆全部售出后获

得新能源积分不高于300分，已知新能源积分每分可获得0.2万元的补贴，那么5月份如何进货才能使

“4S”店获得的补贴最大？并求出最大值.

21.（9分）如图，小明和小亮利用学过的知识测量操场旗杆的高度.测量时，小明让小亮站在点B处，

此时，小亮影子的顶端与旗杆的影子顶端在点E处重合，且8E的长为2米；小明又让小亮沿着射线

8。的方向走15米到达旗杆的另一侧N处，此时，小亮观测到旗杆顶端C的仰角为45°,已知小亮的

身高为1.6米，请你根据相关测量信息，计算旗杆C。的高度.（结果保留一位小数）

C

✓/b、

/、'、

✓Z、、

Z、

/'、

A,45pM

/I-1

EBDN

22.（10分）已知二次函数-2a+3.

（1）当f=-2时，

①求该函数图象的顶点坐标；

②当时，直接写出x的取值范围.

（2）若点A（3,6）,B（m,6）是该函数图象上不同的两点，求力的值.

（3）当f>0时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移f个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1,

求f的值.

23.（11分）王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的，联系的，发展的眼光看问

题，形成科学的思维习惯.下面是王老师在“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”主题下设计的

问题，请你解答.

（1）定理证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

已知：如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,。为A8D的中点.

求证：.

证明：如图2,延长CO至点E,使。E=CD连结AE、BE.

为AB的中点，

：.AD=BD,

又<DE=CD,

，四边形AC8E是平行四边形

又：,

.♦.□ACBE是矩形，

J.CE^AB,

(将上述求证过程中①②③空格补充完整)

(2)定理运用：如图3在菱形ABCD中，AC与8。相交于点O,8/，4。于£,点。'是43的中点.

①求证：点。'是四边形A80E的外接圆圆心，并画出这个外接圆；

②若COSZJDE。=电，0E=V5,求菱形的周长.

(3)拓展提升

如图4,在Rt^ABC中，BC=3,ZACB=90°,CD是AB边上中线，将沿CD翻折，点A的

对称点记为A'.当CA'垂直于Rt^ABC的一边时，请直接写出CA'的长.

CA

图4备用作图区域

2024年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。

1.（3分）—义的绝对值是（）

11

A.-4B.-2C.-D.2

22

【解答】解：T的绝对值为

乙2

故选：C.

2.（3分）2024年河南春晚从传统文化中寻找韵脚，在科技赋予的丰富场景中，编织出了一幅璀璨的文化

风情图，获得业内专家的点赞.截至2024年2月9日12点，全网阅读量再创新高，突破130亿.数据

“130亿”用科学记数法表示为（）

A.O.13X1O10B.1.3X109C.1.3X1O10D.13X109

【解答】解:130亿1,3X101°.

故选：C.

【解答】解：4不是轴对称图形，故本选项不合题意;

8、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、是轴对称图形，故本选项合题意；

。、是轴对称图形，故本选项不符合题意.

故选：C.

4.（3分）下列计算正确的是（）

A.cr'ai—a^B.（ci2）3—a6

C.（2a）2=2）D.

【解答】解：A、屋.°4=°6,故此选项不符合题意；

B、（/）3=/,故此选项符合题意；

C、（2a）2=4/，故此选项不符合题意；

D、（1-a）2—l-la+a2,故此选项不符合题意;

故选：B.

5.（3分）已知直线。〃儿将一块含30°角的直角三角板（N3AC=30°,ZACB=90°）按如图所示的

方式放置，并且顶点A,C分别落在直线mb上,若Nl=20°,则N2的度数是（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

【解答】解：-：a//b,Zl=20°,

・・・N2=N3AC+N1=3O°+20°=50°,

故选：C.

6.（3分）如图，口ABC。的对角线AC,瓦）相交于点O,的平分线与边A5相交于点尸，E是PD

中点，若A0=4,CD=6,则EO的长为（）

【解答】解：在平行四边形中，AB//DC,AB=CDfOD=OB,

：.ZCDP=ZAPDf

尸平分NADC,

：.ZCDP=ZADP,

：.NADP=NAPD,

.M尸=A0=4,

VCZ)=6,

：.AB=6,

：.PB^AB-AP=6-4=2,

・・・E是P。的中点，。是的中点，

•••EO是△。尸3的中位线，

1

：.EO=^PB=1,

故选：A.

7.（3分）若关于x的一元二次方程/+2尤+相=0有实数根，则根的值不可能是（

A.2B.1C.-1D.-2

【解答】解：••・关于x的一元二次方程/+2x+m=0有实数根，

A=4-4机20

解得：加W1.

故选：A.

8.（3分）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种，据悉蟋蟀鸣叫的次数与气

温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如表：

气温（℃）・・・13151719

蟋蟀鸣叫次数（次/分钟）・・・708498112

若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为（）

A.9℃B.10℃C.11℃D.12℃

【解答】解：由表格可知，气温升高2℃,蟋蟀鸣叫次数增加14次/分钟，

蟋蟀鸣叫次数是气温的一次函数.

设蟋蟀鸣叫次数为y（次），气温为x（℃）.

设y与x之间的函数关系式为（k、6为常数，且M0）.

将x=13,y=70和尤=15,y=84分别代入y=Ax+b,

m（13k+b=70

付115k+b=84'

解得仁二

与x之间的函数关系式为y=Jx-21.

当y=49时，得7x-21=49,解得尤=10,

该地当时的气温约为10℃.

故选：B.

9.（3分）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式

1

为丫=一套/，正常水位时水面宽A8为36帆，当水位上升5%时水面宽CD为（）

图1

图2

A.10mB.12mC.24mD.48m

【解答】解：・・・A5=36米，

・••当％=18时，j=—X182=-9,

当水位上升5米时，y=-4,

把y=-4代入抛物线表达式得：-4=--X2,

解得尤=±12,

此时水面宽0=24(m),

故选：C.

10.(3分)已知矩形A8C。的两条对角线AC,BD交于点0.动点尸从点A出发，沿矩形的边按A2-BC

的路径匀速运动到点C.设点P的运动速度为1单位长度/秒，运动时间为x秒，线段OP的长为y,y

与x函数关系的大致图象如图所示，其中a,6分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，则a+6的值为

()

y(单位长度)

A.6B.7C.8D.9

【解答】解：根据题意，当x=0时，点A与点尸重合，止匕时04=0尸=5,

.•.AC=B£)=10,

：.AB2+BC2^100,

当x=14时，点尸与点。重合，

：.AB+BC=14,

结合图象可知，ABVBC,

：.AB^6,BC=8；当尸运动到AB中点时，。尸取最小值，此时a=。=也=*BC；

1

当P运动到2C中点时，0P取最小值，此时b=。。加加=*48；

：.a+b=+BC）=/x14=7,

故选：B.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）某种水果售价是每千克5元，小红按八折购买了a千克，需付4a元.

【解答】解：根据题意可知，某种水果售价是每千克5元，小红按八折购买了a千克，

则需付：5X0.8a=4a（元），

故答案为：^a.

12.（3分）若不等式Gn-3）尤<3-m的两边同除以Gn-3）,得x>-1,则m的取值范围为m<3.

【解答】解：：不等式（"Z-3）尤<3-相的两边同除以（机-3）,得尤>-1,不等号的方向改变，

'.m-3<0,

解得m<3.

故答案为：机<3.

13.（3分）“四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发

明.如图，这是小东同学收集到的中国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张

卡片背面朝上，洗匀放好.从这四张卡片中随机抽取两张，抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“印刷

术”的概率为--

-6-

【解答】解：印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明分别记为A、B、C、D,

画树状图如下：

开始

共有12种等可能的结果，其中抽到的卡片恰好是“造纸术”和“印刷术”的结果有2种，

，抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率为义=

126

,,,1

故答案为：

6

14.（3分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AB为。。的切线，点E为切点，线段AC经过圆心。且

与。。相交于。，C两点，若sinA=*AZ）=2,则BC的长为6.

【解答】解：连接05如图，设。。的半径为一，则。E=r,AO=2+r,

TAB为OO的切线，点E为切点，

・•・OELAB,

：.ZAEO=90°,

...0EV3

••s1nA=而=由=宁

解得r=3,

：.OA=5,

.•.AC=OA+OC=8,

在RtzXACB中，：sinA=^=焉，

设BC=3尤，则AB=5尤,

.'.AC=4x,

即4x=8,

解得％=2,

：.BC=6.

15.（3分）正方形ABC。中，A3=6,点E在边CD上，且CE=2,点/在边上，当△AEF为等腰三

1

角形时，5方的长为4或二.

【解答】解：・.•正方形A8CQ中，AB=6,

：.AB^BC=CD=DA=6fZB=ZC=ZD=90°,

,:CE=2,

:.DE=6-2=4,

：.AE=V62+42=2V13,

①当AF=AE=2m时，如图,

由勾股定理得BF='AF2—AB?=4；

②当AE=EF=2V13时，

由勾股定理得CF=一CE2=V52^4=4V3>6,不符合题意，舍去;

③当AP=E/时，如图，

"：AB2+BF2=AF2CF2+CE2=EF2,

，36+%2=(6-x)2+4,

解得x=I，

：.BF=I，

综上所述，族的长为4或点

故答案为：4或3

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.（10分）（1）计算：V9+（i）-1-4sin60°-（TT-2）°；

（2）化简：^^一（1-磊）.

【解答】解：（1）原式=3+3-4x^—1

=6-273-1

=5-2V3；

7

（2）原式=组答一时尸

a+1a+1

=（Q―2）2、,+1

―a+1a-2

~~a-2.

17.（9分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲乙两班联合举办

了“航天知识”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生.统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成

绩）进行了收集、整理，分析.下面给出了部分信息.

【收集数据】

甲班10名学生竞赛成绩：85,78,86,79,72,91,79,71,70,89

乙班10名学生竞赛成绩：85,80,78,85,80,73,90,74,75,80

【整理数据】

班级70«8080«9090«100

甲班631

乙班451

【分析数据】

班级平均数中位数众数方差

甲班80797951.4

乙班80ab26.4

【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：

(1)填空：a=80,b=80；

(2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；

(3)甲班共有学生50人，乙班共有学生55人.按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估

计这两个班可以获奖的总人数是多少？

【解答】解：(1)乙班成绩从低到高排列为：73,74,75,78,80,80,80,85,85,90,故中位数

众数6=80,

故答案为：80,80；

(2)乙班成绩比较好，理由如下：

两个班的平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成

绩比较好；

(3)根据题意得：

46

50x+55x=53(人)，

答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是53人.

18.(8分)如图，点E是正方形的边上一点，连接AE.

(1)请用无刻度的直尺和圆规作AE边上的高(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)延长BG交CD于点尸，若A8=4,BE=\,求。尸的长.

【解答】(1)解：作图如图1所示.

图I

(2)证明：延长BG交CD于点R如图2,

图1

:四边形A8CO是正方形，

AZABE=ZBCF=90°,AB=BC=CD=4,

：.ZABG+ZCBF^90°,

VZAGB=90°,

/.ZBAG+ZABG=90°,

:.NBAE=NCBF,

在△ABE和△BCF中，

NBAE=乙CBF

AB=BC,

./.AE=ABCF

:.AABE咨ABCF(ASA),

：.CF=BE=1,

：.DF=3.

19.(9分)如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点A(V3,1).

(1)求双曲线对应的函数关系式.

(2)将线段0A绕点。顺时针旋转150°,得到线段。1'，判断点A,是否在该双曲线上？说明理由;

并求点A运动的路径长I.

(3)连结44',请直接写出△AOA'的面积.

【解答】解：(1)设双曲线解析式为y=

•双曲线经过点A(V3,1),

k=V3,

•••双曲线解析式为产条

(2)如图，圆弧与x轴交于点2,与y轴交于点C,

VA(V3,1),

/.ZAOB=30°,

:线段0A绕点O顺时针旋转150°,

.♦.NA'OC=30°,

,JOA^OA',

"(-1,-V3),

•.,-IX(-V3)=V3=k,

.•.点在该双曲线上，

OA=J(遮/+l2=2,

/.点A运动的路径长/=叫萨=等；

loUD

(3)A(V3,1),A'(-1,-V3),

直线A4'的解析式为y=x+l-百，

设直线交y轴于点。，

点的坐标为(0,1-百)，

.•.0D=V3-1,

-1-1

**•S/\AOA'=S/\AOD~^~S/\A'0D=(V3+1)=](V3—1)(V3+1)=1.

20.（9分）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多.某品

牌的“4S”店主销纯电动汽车A和插电混动汽车2,两种主销车型的有关信息如表：

车型纯电动汽车A插电混动汽车B

进价/（万元/辆）2512

新能源积分/（分/辆）82

（1）4月份该“45”店共花费620万元购进A,2两种车型，且全部售出共获得新能源积分180分，求

4月份购进A,B型号的车分别有多少辆？

（2）因汽车供不应求，该“4S”店5月份决定购进A,8两种车型共60辆，且所进车辆全部售出后获

得新能源积分不高于300分，已知新能源积分每分可获得0.2万元的补贴，那么5月份如何进货才能使

“4S”店获得的补贴最大？并求出最大值.

【解答】解：（1）设4月份购进A型号的车机辆，8型号的车〃辆，

根据题意得：窿党和蓝2。，

解得：Cio-

；.4月份购进A型号的车20辆，8型号的车10辆；

（2）设购进4型号的车无辆，获得的补贴为w万元，则购进8型号的车（60-尤）辆，

•••所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于300分，

；.8x+2（60-x）（300,

解得xW30,

根据题意得：w=8X0.2x+2X0,2（60-%）=1.2尤+24,

V1.2>0,

随x增大而增大，

当尤=30时，w取最大值1.2X30+24=60,

此时60-尤=60-30=30,

购进A型号的车30辆，8型号的车30辆，获得的补贴最大为60万元.

21.（9分）如图，小明和小亮利用学过的知识测量操场旗杆C。的高度.测量时，小明让小亮站在点B处,

此时，小亮影子的顶端与旗杆的影子顶端在点E处重合，且的长为2米；小明又让小亮沿着射线

8。的方向走15米到达旗杆的另一侧N处，此时，小亮观测到旗杆顶端C的仰角为45°,已知小亮的

身高为1.6米，请你根据相关测量信息，计算旗杆C。的高度.(结果保留一位小数)

C

✓小、

✓/、、

Z、

Z、

/'、

A,45rM

/I-1

EBDN

【解答】解：如图，连接AM交C。于点P,则AM_LC。，PD=48=MN=1.6米，

C

✓、

/、'、

✓、

✓ZX、

A/_______________

八11

EBDN

设CP=x米，

VZPMC=45°,

・・・PM=CP=x米，

.\AP=(15-x)米，

'CAB//CD,

.ABBE

••—,

CPPA

•_1_.6____2__

••—,

x15-x

解得尤心6.67,

尸=6.67米，

：.CD=CP+PD=6.61+1.6^8.3(米)，

答：旗杆CD的高度约为&3米.

22.(10分)已知二次函数＞=/-2d+3.

(1)当/=-2时，

①求该函数图象的顶点坐标；

②当y23时，直接写出x的取值范围.

(2)若点A(3,6),B(m,6)是该函数图象上不同的两点，求力的值.

(3)当/>0时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移f个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1,

求/的值.

【解答】解：(1)当t=-2时，则二次函数为/+4X+3,

①：y=/+4x+3=(x+2)2-1,

该函数图象的顶点坐标为(-2,-1)；

②：y=x2+4x+3=(x+2)2-1,

.,•抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2,

，尤<-2时，y随尤的增大而减小，x>-2时，y随x的增大而增大，

令/+4x+3=3,即S+Ax=0,

解得x=0或工=-4,

抛物线/+4x+3与直线y=3的交点为(-4,3),(0,3),

...当y23时，x的取值范围是-4或x20.

(2)-2tx+3,

对称轴为直线x=—需=K

;点A(3,6),B(机，6)是该函数图象上不同的两点，

.'.6=9-6什3,

解得t=l,

m--1.

(3),.,y=x2-2比+3=(x-r)2+3-p,

・・・将函数y=W-2比+3图象沿y轴向上平移/个单位得到y=G-力2+3-P+/,向下平移/个单位得到

尸(x-力2+3-t1-t

・••最低点为(t,-於+3+，)或(t,-金+3-/),

**.-P+3+/=l或-金+3+/=-1,

解得九=2,t2=~1(舍去)，

-?+3-.=1或-P+3-