2024年高考数学总复习：函数及其表示

第一节函数及其表示

最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简洁函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境

中，会依据不同的须要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简洁的分段函数，

并能简洁地应用(函数分段不超过三段).

学问梳理

1.函数与映射

函数映射

两个集合

设4夕是两个非空数集设/,8是两个非空集合

A,B

假如依据某个对应关系f,使对于集合A中假如按某一个确定的对应关系£使对.于集

对应关系

的任何一个数x,在集合6中都存在唯一确合/中的每一个元素x,在集合6中都有唯

f：AT

定的数f(x)和它对应二的元素y与之对应

名称称f：6为从集合A到集合B的一个函数称f：A-8为从集合A到集合B的一个映射

函数记法函数P=F(x),x^A映射：/：AT

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数尸/'(x),xGR中，x叫作自变量，x的取值范围力叫作函数的定义域;与x的值相对应的y值叫作

函数值,函数值的集合"(x)叫作函数的值域.

⑵函数的三要素：定义域、对应关系和值域.

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.

3.分段函数

⑴若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分

段函数.

⑵分段函数的定义域等于各段函数的定义域的法集，其值域等于各段函数的值域的北集，分段函数虽由

几个部分组成，但它表示的是一个函数.

4.简洁函数定义域的类型

(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；

(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；

(3)F(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；

⑷若f(x)=x°,则定义域为｛xlxWO｝；

(5)指数函数的底数大于0且不等于1；

(6)正切函数y=tanx的定义域为］VAn+5，4Gz，.

5.必会结论

(1)函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系.

(2)函数问题允很多对一，但不允许一对多.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.

(3)推断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一样.

典型例题

考点一函数的概念

【例1】(1)下列四个图象.中，是函数图象是()

②

③

A.①B.①③④

C.①②③D.③④

【答案】B

【解析】②中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；①③④中每一个x的

值对应唯一的y值，因此是函数图象.故选B.

(2)(2024•新课标全国卷II)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10处的定义域和值域相同的是

A.y=xB.C.y=2xD.y=~j=

【答案】D

【解析】函数丫=105的定义域为(0,+8),又当x>o时，y=io"=x,故函数的值域为(0,+8).只有

。选项符合.

(3)有以下推断：

v|r

①/'(x)与g(x)={1x>o—1K0表示同一函数；

②函数y=f(x)的图象与直线x=l的交点最多有1个；

③_f(x)=x—2x+l与g(»=d—21+1是同一函数；

④若_f(x)=|x—1I—|x|,则

其中正确推断的序号是.

【答案】②③

【解析】对于①，由于理徽刊”)=区■的定义域为WX€K目前),而函数,(¥)=

X

(16。-1K0的定义域是R,所以二者不是同一副如对于②，若k1不是产fGr)定义

域内的值.则直线x=l与尸fGr)的图象发育交有，如果x=l是尸Mr)定义域内的值，由快瞰定义可知,

直线jr=l与尸八")的。只有一个交点，用户ZGr)的歌与图戈x=l最多有一个交点；对于G),f(x)

与，力的定义域、值域和对应关系均相同，所以武力和Xt)表示同一幽力对于④，由于*+-

；=0,所以=.0)=1.学■科网

综上可知，正礴的尹居斤是②③.

规律方法函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同

一函数.值得留意的是，函数的对应关系是就结果而言的(推断两个函数的对应关系是否相同，只要看对

于函数定义域中的随意一个相同的自变量的值，依据这两个对应关系算出的函数值是否相同).

【变式训练1】

(1)下列四组函数中，表示同一函数的.是()

A.y=x~\与y=y]~x~l―%

B.尸产与尸岩

C.p=41gx与y=21gV

X

D.

【答案】D

【解析】A中两函数对应关系不同；B、C中的函数定义域不同，选D.

(2)下列所给图象是函数图象的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】(2)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x=xo时，y

的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.

(3)(2024•浙江卷)设函数f(x)=x3+3x2+l.已知a已0,且f(x)—f(a)=(x—b)(x—a):x£R,则实数

a—,b=.

【答案】a=-2,b=l

【解析】因为f{x)~f(d)—xa—3a,(x—6)(x—a)2=(x—6)(/—2EX+3)=V—(2w+6)/+(才

+2aZ?)x—ab,所以{3=-2a—力才+2仍=0—a—Za——ab,解得a=—2,b=l.

考点二求函数的定义域

命题角度一给定函数的定义域问题

【例2】(1)[2024•安徽模拟]函数y=ln的定义域为

【答案】(0,1]

x+1

1+->0,——>0,

【解析】要使函数有意义，需，X即<x

」一/20,

f—]x>Q

即I—"一।'解得（KxWl,所以定义域为（0,1].

[TWxWL

(2)函数f(x)a~；\1ka>0且aWl)的定义域为^

【答案】(0,2]

11一号一1|>0,10WJ<2,

【解析】由I，=>0<^2,

[a,—IWO[x^Q

故所求函数的定义域为(0,2].

1

V~

(3)函数f(x)=ln---+方的定义域为()

X—1

A.(0,+°°)B.(1,+°0)

C.(0,1)D.(0,1)U(1,+8)

【答案】B

'X1

7>°，X~

【解析】(1)要使函数/>(X)有意义，应满意〈X—1解得x>l,故函数f(x)=ln—的定义域为(1,

X—1

320,

+°0).

命题角度二抽象函数的定义域问题

【例3】(1)已知函数F(x)的定义域是[0,1],则函数Hlgx)的定义域是.

【答案】[1,10]

【解析】令方=lgx,则az)=/1(lgx).依据题意得0W方W1,所以OWlgxWL解得1W后10,即广(Igx)

的定义域是[1,10].

y—I—1

(2)若函数尸/<x)的定义域是[0,2024],则函数式.)=—f—的定义域是()

A.[-1,2024]B.[-1,1)U(1,2024]

C.[0,2024]D.[-1,1)U(1,2024]

【答案】B

【解析】由0Wx+lW2024,得一1WM2024,又正确.

(3)若函数/■(3+1)的定义域为[—1,1],则/Ugx)的定义域为()

A.[-1,1]B.[1,2]

C.[10,100]D.[0,1g2]

【答案】C

【解析】因为『(Y+1)的定义域为[-1,1],则一IWxWl,故OWx'Wl,所以1WX2+1W2.

因为/'(V+l)与Algx)是同一个对应法则，

所以lWlgW2,即10^^100,

所以函数Aigx)的定义域为[10,100].

命题角度三已知函数的定义域求参数范围

mv—1

【例4】(1)(2024•衡水联考)若函数y=就不嬴百的定义域为R,则实数0的取值范围是()

A.0,|[B.0,I)

"3"]「3、

C.[o,-JD.[o,-J

【答案】D

【解析】要使函数的定义域为R,则mx+4mr+3#0恒成立，

①当〃=0时，明显满意条件；

②当rWO时，由zl=(4ffl)2-4fflX3<0,

33

得由①②得OWrV1

(2)若函数F(x)*x+6的定义域为{x|启2},则3+6的值为.

Q

【答案】一5

【解析】函数F(x)的定义域是不等式a^+abx+b^O的解集.不等式a^+abx+b^O的解集为

{x\1,

<<3<0,3

-

常2

1+2=-b,解

所以<

b

1X2=-,b——3,

Ia

39

所以a+b=---3=--

—2*V]

【变式训练4】⑴(2015•全国I卷)已知函数/U)=,']、'且/•(&)=-3,则/"(6—a)

[―log2(x+l),X>1,

=()

7531

A--4B---4C--4D--4

【答案】A

【解析】当aWl时，f(a)=2"T—2=-3,即2"T=-1,不成立，舍去；

当a〉l时，f(a)=—log2(6?+l)=—3,即log2(a+l)=3,

7

解得a=7,止匕时_f(6—a)=F(—1)=2-2—2=1％.故选A.

g+L后0,

(2)已知函数/U)=产则不等式/U)》一1的解集是.

、一(x—1)2,x>0,

【答案】3—44启2}

V

【解析】当后0时，由题意得]+12—1,

解之得一4WxW0.

当x〉0时，由题意得一(x—l)?》一1,解之得0<^r^2,

综上f(x)2-1的解集为{x|—4WxW2}.

[—2x+1,xNl,

(3)[2024•广东广州模拟]设函数广(x)=i八则广(广(4))=________；若F(/<—1,

[log2l1-x,XI,

则3的取值范围为.

【答案】5'，l)u(1,+°°)

【解析】f(4)=-2X42+l=-31,

/1(/(4))=f(-31)=log2(l+31)=5.

当ael时，由-2a?+1〈一1,得才>1,解得a>l；

当水1时,由log2(l—a)<—1,得log2(l—aXlog?],

课堂总结

1.已知函数的解析式求函数的定义域，就是构建使解析式有意义的不等式(组)求解，切不行将所给解析式

化简后再求定义域.

2.利用换元法求函数解析式时，换元后应留意参数的取值范围.

3.解决分段函数问题的策略是分段击破，即对不同的区间进行分类求解，然后整合，要留意检验所求结果

是否适合自变量的取值范围.另外图象法也是解决很多分段函数的一种重要方法，应引起同学们留意，敏

捷运用.

课后作业

L若函数y=F(x)的定义域为〃={x|—2WxW2},值域为4{y|0Wf2},则函数y=f(x)的图像可能是

CD

【答案】B

【解析】A中函数的定义域不是[—2,2],C中图像不表示函数，D.中函数值域不是[0,2],故选B.

2.下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.F(x)=Ix|,g(x)=yp

B.f(x)=yp,g(x)=(爪)2

/-I

C.广(x)=---g(x)=x+l

x~\

D.f{x}=y[x+l•y/x-l,g(x)=y/x—l

【答案】A

【解析】A中,g(x)=|x|,=g(x)；B中，F(x)=|x|(x£R),g(x)=x(x20),

・••两函数的定义域不同；

C中,_f(x)=x+l(xWl),g(x)=x+l(x£R),・,•两函数的定义域不同；

D中，f(x)=y)x+l•yjx—1(x+120且x—120),f{x}的定义域为{x\x21}；

g(x)=y]x—l(/—1^0),g(x)的定义域为{x|x》l或后一1}.

・••两函数的定义域不同.故选A.

3.函数7=^1—^的定义域为()

2x一3才一2

A.(―8,1]B.[-1,1]

1

-

C.[1,2)U(2,+8)D.2

【答案】D

1—解之得一iw启1且£一；.

【解析】由题意，得

2x—3x—2W0.

2二。,xNO,则标T))等「于()

4.(2015•陕西卷)设广(x)=

113

A.-1B.-C.-D.~

【答案】c

因为一2〈0,所以/■(—2)=2-2=：＞0,所以f(f(—2))=迎=1-4=1-泊，

【解析】故选C.

5.(2015•全国n卷)已知函数/1(才)=石才3-2X的图象过点(一1,4),则a

【答案】-2

【解析】由题意知点(一1,4)在函数F(x)=af—2x的图象上，所以4=—a+2,则a=-2.

(—2x+1(x21)，

6.设函数F(x)={设函数f(F(4))=________.若_f(a)=—l,则a=________.

[Iog2\1X)\X\17,

【答案】51或g

\~2x+1(x21)，

【解析】・・・*x)=।­、//八・・・F(4)=—2X4?+1=—31,F(a4))=a—31)=logz32=5；

[log2\1X)\Xx1/,

当3三1时，由广(a)=—2/+1=—1,得石=1(a=-1舍去)；当水1时，由F(H)=log2(l—a)=—1,得1

1刖1

-3=5，即a=­.

7.已知函数F(x)的定义域为(一1,0),则函数A2x+1)的定义域为()

A.(-1,1)B.(T,一另

C.(-1,0)D.住,1)

【答案】B

【解析】：f(x)的定义域为(一1,0),—l<2x+l<0,—1K—万.

8.[2015•浙江卷]存在函数/<x)满意：对随意xGR都有()

A./(sin2x)=sinxB./(sin2x)=V+x

C.f{x+1)=|x+11D./,(/+2A)=|x+11

【答案】D

【解析】取特殊值法.

7T

取k0,5,可得仪0)=0,1,这与蹒的定义矛盾，所以选项A错误j

取jr=O,K,可得/(O)=O,TT；+TC,这与函数的定义矛盾，所以选项B错误；

取jr=l,-1,可得式2)=2,0,这与隹胞的定义矛盾，所以选项C错误j

般Ax)=寸*+1,则对任苣*€R都有fG+2JT)=W+2x+l=I上+11,欲选1#D正确.

综上可如，故选D.

9.[2014•山东卷]函数f(x)।2=的定义域为()

7log2X—1

A.(0,B.(2,+°0)

-

1

-u-+

2-28

D.-

【答案】C

故所求的定义域是（）

2即log2jr>l或log2X<—1,解得x>2或0<xV；,0,1u

【解析】(log2^)—1>0,

(2,+°°).

X—a2,xWO,

10.[2014•上海卷]设F(x)={,1,、若HO)是Ax)的最小值，则》的取值范围为()

x-r-+a,x>0.

、x

A.[—1,2]B.[—1,0]

C.[1,2]D.[0,2]

【答案】D

【解析】,・•当W0时，F(x)=(x—a),,又F(0)是F(x)的最小值，・・・-0.

当x>0时，f{x)=x+-+a^2+a,当且仅当x=l时等号成立.

x

要满意"0)是F(x)的最小值，需2+22『(0)=才，即才一a—2W0,解得一lWaW2,

・・.a的取值范围是0WaW2.故选D.

11.[2024•江西模拟]已知函数/1(x)=51”,g(x)=女/—x(a6R).若/[g(l)]=l,则刘=()

A.1B.2

C.3D.-1

【答案】A

【解析】・・・/[久1)]=/*匕-1).=5-"=1,・・・一=1.选A.

flog24—x,x<4,

12.[2024•天津六校联考]已知函数f(x)=,ci、则/(0)+y(log32)=()