2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳如东中学高二上学期开学阶段测试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳如东中学高二上学期开学阶段测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过A1,−3,B−2,0两点的直线的倾斜角是A.45∘ B.60∘ C.2.设a∈R，则“a=−2”是“直线l1：ax+2y−1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，则实数a的取值范围为(

)A.13,17 B.−∞,13∪17,+∞4.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线;当0<e<1时，轨迹为椭圆.当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线，则方程(x−4)2+y2A.15 B.45 C.545.已知点A(1,1)，且F是椭圆x24+y23=1的左焦点，A.6 B.5 C.4 D.36.若直线l:kx−y−2=0与曲线C:1−(y−1)2=x−1有两个不同的交点，则实数A.(43,2] B.(43,4)7.已知直线l1:kx+y=0(k∈R)与直线l2:x−ky+2k−2=0相交于点A，点B是圆(x+2)2+A.32 B.52 C.8.已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1，F2，若C1，C2在第一象限内的交点为P，且满足∠POF2=2∠PF1F2，设e1，e2A.e1e2=2 B.e12二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.直线x−y−3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是92

B.若三条直线x+y=0，x−y=0，x+ay=3−a不能构成三角形，则实数a的取值集合为{−1,1}

C.经过点(1,2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−3=0或x−y+1=0

D.过(x1,10.法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆，已知椭圆C:x23+y2=1，其蒙日圆为圆M，过直线l:x−y−4=0上一点P作圆M的两条切线，切点分别为A.圆M的方程为x2+y2=3

B.四边形PAMB面积的最小值为4

C.PA⋅PB的最小值为82−1211.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F0,2，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的有(

)

A.椭圆的长轴长为42

B.线段AB长度的取值范围是4,2+22

C.▵ABF面积的最小值是4

D.▵AFG的周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l的倾斜角是直线x−4y+3=0的倾斜角的2倍，且l经过点P3,2，则直线l的方程为

．13.已知在平面直角坐标系xOy中，点A−2,0，B4,0，点P满足PAPB=12.则当P,A,B14.设F1，F2是椭圆3x2+4y2=k(k>0)的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是x+y−1=0，3x−y+4=0，且它的对角线的交点是M(3,3)，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．16.(本小题12分)已知双曲线C:x2a2−y2(1)求双曲线C的虚轴长；(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点Q−3,6的双曲线的标准方程．17.(本小题12分)

已知点M(3,1)，圆O1：(x−1)2+(y−2)2=4．

(1)若直线ax−y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求18.(本小题12分)

如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，与y轴正半轴交于点P0,1.过原点O不与x轴垂直的动直线l与C交于A，B两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，证明：k1⋅19.(本小题12分)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年——325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l′表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．已知图乙中，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1−c,0,F2c,0c>0(1)点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆C在点P处的切线为l,F2在l上的射影H满足OH=2，利用椭圆的光学性质(2)在：(1)的条件下，设椭圆C上顶点为Q，点A,B为x轴上不同于椭圆顶点的点，且xA+xB=4，直线AQ,BQ分别与椭圆C交于点M,N(M,N异于点Q)，QT⊥MN，垂足为T答案解析1.D

【解析】解：设直线的倾斜角为α，则0∘⩽α<180∘，所以倾斜角α=135故选：D．2.A

【解析】解：当a=−2时，两直线方程分别为l1：−2x+2y−1=0与直线l2：x−y+4=0，满足两直线平行，充分性成立．

若直线l1：ax+2y−1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行，

则aa+1−2=0，解得a=1或a=−2，

当a=1时，l1：x+2y−1=0，l2：x+2y+4=0，满足平行关系，

∴必要性不成立，

∴“a=−2”是“直线l1：ax+2y−1=03.B

【解析】解：∵点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，所以3a−4×6−232+−42>5所以实数a的取值范围为−∞,1故选：B．4.B

【解析】解：因为(x−4)2+y2|25−4x|=15，变形可得(x−4)2+y2|2545.D

【解析】解：设F2是椭圆x24+y23=1的右焦点，则F2(1,0)，

则|PF|+|PF2|=2a=4，则|PF|=4−|PF2|，

如图所示：

所以，|PF|+|PA|=4−|PF2|+|PA|

=4−(|PF2|−|PA|)

≥4−AF6.A

【解析】解：直线l:kx−y−2=0恒过定点(0,−2)，曲线C :1−(y−1)2=x−1表示以点 (1,1)为圆心，半径为1，且位于直线x=1当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k=2，直线记为l1当l与半圆相切时，由|k−3|k2+1=1分析可知当43<k≤2时，l与曲线故选：A．7.C

【解析】解：由kx+y=0x−ky+2k−2=0，消去参数k得(x−1所以A在以C(1,1)为圆心，2又点B是圆(x+2)2+(y+3)2=2|CD|=∴AB的最大值为CD故选：C．8.D

【解析】解：∵∠POF2=2∠PF1F2，∴∠OPF1=∠PF1F2，∴OP=c，∴PF1⊥PF2，

设|PF1|=m，|PF2|=n，则m9.AD

【解析】解：选项A，直线l与x，y轴的交点分别为(3,0)，(0,−3)，所以S=12×3×3=92，即A正确；

选项B，分两种情况：

①三条直线相交于一点，即原点(0,0)，此时3−a=0，所以a=3；

②直线x+ay=3−a与x+y=0或x−y=0平行，则−1a=1或−1，所以a=−1或1，

所以实数a的取值集合为{−1,1,3}，即B错误；

选项C，当直线经过原点时，其方程为y=2x；

当直线不经过原点时，设其方程为xa+ya=1，所以1a+2a=1，解得a=3，此时直线l的方程为x+y−3=0，

综上，直线l的方程为y=2x或10.BD

【解析】解：当切线的切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可以得到两切线的交点为(3,1)，

所以蒙日圆M的方程为x四边形PAMB面积为：2S△PAM=|PA|⋅|AM|=2|PA|，

只需求出PA的最小值，

而PM的最小值为点M(0,0)到直线l:x−y−4=0的距离d=41+1=22设∠APM=θ，则sin θ=2|PM|，

所以PA⋅PB=|又|PM|2+32而PM的最小值22，

故|PM|2的最小值8当点P为(1,−3)时，点P，A，M，B四点共以PM为直径圆上，所以这个圆的方程为x−1x+y+3y=0，与圆M方程联立，可得直线AB的方程为x−3y−4=0，故D正确．

11.ABD

【解析】解：由半圆的圆心在原点、半圆经过点F(0,2)，知半圆的方程为x2+y2=4y⩽0，

由半圆的直径与椭圆的短轴重合，知椭圆的短半轴长为2，即b=2，而c=2，所以a=22，

所以半椭圆的方程为y28+x24=1y⩾0，所以椭圆的长轴长为2a=42，A正确；

当线段AB在x轴上时，长度最短为4，当线段AB在y轴上时，长度最长为2+22，

所以线段AB的长度取值范围是4,2+22，B正确；

当直线12.8x−15y+6=0

【解析】解：设所求直线l的倾斜角为θ，直线x−4y+3=0的倾斜角为α，则θ=2α，且tanα=14所以可得直线l的方程为y−2=815(x−3)故答案为：8x−15y+6=0．13.12

【解析】解：设Px,y，

则由PAPB=即4x+22+4y2=x−42+∴P点轨迹是以−4,0为圆心，4为半径的圆，如图所示：

当P在圆心Q−4,0的正上方或正下方时，

P到AB的距离最大，且为半径4∴S故答案为：12．14.2

【解析】解：将椭圆化为标准方程可得，x2k3+y2k4=1，

所以a2=k3，b2=k4，c2=a2−b2=k12，

所以a2=4c2，b2=3c2，所以a=2c，b=3c，

根据正弦定理可得，2R=|F1F2|sin∠F1PF215.解：联立方程组x+y−1=03x−y+4=0解得x=−34y=74，

所以平行四边形ABCD的顶点A(−34,74)，

设C(x0,y0)，由题意，点M(3,3)是线段AC的中点，

所以x0−342=3y0+742=3，解得x0=274y0=174，【解析】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，考查方程思想与运算能力，属于中档题．

依题意，由方程组x+y−1=03x−y+4=0可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是M(3,3)，可求得C16.解：(1)由题意，易知PF2=2，F1在Rt▵PF2F由双曲线的定义可知，PF1−PF2∵双曲线C的两个焦点分别为F1−3,0，又∵a2+故双曲线C的虚轴长为2(2)由(1)知双曲线C的方程为x2−设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为x2将点Q−3,6的坐标代入上述方程，得λ=−9故所求双曲线的标准方程为y2

【解析】本题考查双曲线的顶点、实虚轴，双曲线的标准方程，属于中档题．

(1)由双曲线的定义可知，|PF1|−|PF2(2)设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为x2−y2217.解：(1)根据题意，圆O1：(x−1)2+(y−2)2=4，圆心为(1,2)，半径r=2，

若弦AB的长为23，则圆心到直线ax−y+4=0的距离d=22−(3)2=1，

又由圆心为(1,2)，直线ax−y+4=0，

则有d=|a+2|a2+1=1，解得a=−34；

(2)根据题意，分2种情况讨论：

【解析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．

(1)由直线与圆的位置关系可得圆心到直线ax−y+4=0的距离d，结合点到直线的距离公式可得d=|a+2|a2+1=1，解可得a18.解：(1)由题意得ca=22，且b=1，由a2=b2+c2，解得a=2,c=1，

∴椭圆C的标准方程为x22+y2=1；

(2)由于A，B关于原点O对称，故可设A(x0,y0)，B(−x0,−y0)，且x022+y02=1；

k1⋅k2=y0−1x0⋅−y0−1−x0=y02−1x02=−x022x02=−12，

即k1⋅k2为定值−12；

(3)设直线PA的方程为y=k【解析】本题主要考查椭圆方程、定值的知识，属于较难题．

(1)用x22+y2=1求椭圆C的标准方程；

(2)由题可设A(x0,y0)，B(−x0,−y0)，其中x022+y02=1；证明k1⋅k2为定值，并求出该定值；

(3)设直线PA的方程为19.解：(1)由题知4a=833c在▵PF2F则PF2=PF在▵F1F2F∴a2=4,(2)由对称性可知直线MN的斜率不为0，所以可设直线MN:x=my+n，联立直线MN与x则Δ>0⇒4+m2y