2025年福建省厦门市同安区中考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年福建省厦门市同安区中考数学模拟试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）

1.（4分）在实数—百，—摄0,1中，最大的数是（）

A.—V3B.-aC.0D.I

2.（4分）简简单单的七巧板能拼出千变万化的图形.殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传,

被称为“唐图”.下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（）

3.（4分）2023年春节假期，全省文旅系统创新推出系列文旅促消费和惠民措施，文旅市场强劲复苏，据

第三方测算，2023年春节假日全省累计接待游客2087.79万人次，同比增长25.4%,累计实现旅游收入

136.55亿元，同比增长78.0%.按可比口径，上述两项指标分别恢复到2019年同期的98.8%和

102.9%.2087.79用科学记数法表示为（）

A.0.208779X104B.2.08779X103

C.20.8779X102D.208.779X10

4.（4分）下列运算正确的是（）

A.（-2x3）2—4X6B.a2+a2—a4

C.2x+3x=5x2D.（x+2）2=x2+4

5.（4分）把点4（-2,1）向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到瓦点8的坐标是（

A.(-5,3)B.(1,3)C.(1,-3)D.(-5,-1)

6.（4分）如图，点/,B,C在。。上,/ACB=35°,则/4O8的度数是（)

C.65°D.55°

7.（4分）如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点再在河一侧岸边选定点P

第1页（共23页）

和点8,使我，网，测得尸5=40米，NPBA=30。，根据测量数据可计算小河宽度力为（)

A.一石一米B.20米C.20百米D.40百米

8.（4分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁

四名应聘者进行了测试，测试成绩如表所示，如果将学历、经验和工作态度三项成绩按1：1：2的比例

确定四人的最终成绩，并以此为依据录用成绩最高者，那么将被录用的是（）

应聘者甲乙丙T

项目

成绩

学历9896

经验7576

工作态度5868

A.甲B.乙C.丙D.丁

9.（4分）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近

20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇.醇酒一瓶醉三客，薄酒

三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醵酒几多醇？”这首诗是说，

好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下

19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为

（）

f：+y=19fx+y=19

AA.&久+9=33B.5久+3y=33

rx+y=19rx+y—19

°■光+3y=33D，（3%+9=33

10.（4分）在中N3=/D=2,3。=2&,点C,/分别在8。的两侧，且满足8C_L£）C,则四边形

4BCD面积的最大值为（）

A.4+V2B.2+V2C.4D.2

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

第2页（共23页）

11.（4分）式子在实数范围内有意义，则尤的取值范围是.

12.（4分）不等式2x+5>x-1的解集是.

13.（4分）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是.

14.（4分）如图，平行四边形/BCD中，AB=5,AD=3,ZE平分交的延长线于尸点，则CF

15.（4分）数据尤1*2*3*4的方差是7.25,则数据知+2.75。2+2.75*3+2.75,m+2.75的方差为•

16.（4分）如图，在平面直角坐标系xQy中，点/的坐标是（5,0）,点5是函数y="（x>0）图象上的

一个动点，过点3作轴交函数y=—|（x<0））的图象于点C,点。在x轴上（点。在Z点的

左侧），且/O=8C.连接/瓦CD.有五个结论：

①四边形/BCD可能是菱形；

②四边形N5C。可能是正方形；

③四边形/BCD的对角线可能相等；

④四边形/BCD的周长是定值；

⑤四边形/BCD的面积是定值.

17.(8分)计算:(-1)2002+(n-3.14)°+|2-V5|.

18.(8分)已知：如图，AB=DE,BC=EF,AD=CF.求证：ZB=ZE.

第3页（共23页）

BE

19.（8分）先化简，再求值：其中》=四一L

1X[X乙人I乙

20.（8分）如图，在△48C中，AB=AC,ZBAC=1QS°.

（1）在图中作点。关于直线的对称点C'；

（2）连接C'N并延长C'4交3C于点D.求证：ACADsACBA.

21.（8分）如图，在中，//C3-90°,点。为48的中点，△4DC的外接圆交3c于点£,点

O为圆心.

（1）若3£=10,求。。的直径；

（2）取3C中点R连接。咒求证：。尸是。。的切线.

22.（10分）五谷杂粮中的营养素非常丰富，其中的纤维素和矿物质是普通白米的数倍，所含的维生素a

维生素31、维生素82、维生素C、维生素E和钙、钾、铁、锌等微量元素，更为丰富，五谷杂粮是膳

食纤维的主要来源，且大都含有较多的不饱和脂肪酸，能够提供人体必需的大多数营养素，晨曦中学为

进一步改善学生午餐的营养结构，计划用五谷杂粮替代普通白米作为主食，并通过搭配不同的配菜，使

得每一餐的口味独特且营养丰富，现配餐公司搭配了/、B、C、D、E、尸六种套餐，考虑到准备食材

的效率与经济性,配餐公司将在这六种套餐中选取三种供学生选择,为了了解学生对这六种套餐的喜好,

配餐公司拟以问卷的形式抽取240份样本进行统计分析，工作人员考虑了两种抽样方案：

方案一：随机抽取七年级男生、女生各120人进行问卷调查；

第4页（共23页）

方案二；随机抽取七、八、九年级学生各80人进行问卷调查；

（1）已知晨曦中学是一所初中校，各个年级学生数相同，请判断以上的两种抽样方案哪种更合理？并

说明理由；

通过抽样结果统计得到，大部分学生更倾向于43、C这三种套餐，单价分别是：8元、10元、15元.为

了做好下阶段的经营与销售，配餐公司试运行一周后，根据这周/、8、C三种套餐购买情况的数据制

成的统计表如下，又根据过去平均每份套餐的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：

套餐数量（份）

A1700

B2300

C800

请你根据以上信息，解答下列问题:

（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求学生每天选择不同套餐交替使用，求该校学生小明两天的午餐

是套餐A与套餐B组合的概率；

（3）经分析与预测，学生购买套餐种类与数量相对稳定，根据上级规定，配餐公司平均每份套餐的利

润不得超过3元，否则应调低套餐的单价，请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要

调低套餐的单价？

23.（10分）关于x的一■元二次方程7-2x+m=0与/-bx-机=0.

（1）若6=4且一元二次方程/-2x+%=0与/-bx-m=0有相同实数根，求加的值；

（2）若庐=-5加+2,证明：一元二次方程，-2x+m=0与X?--〃?=0至少一个方程有实数根.

24.（12分）某校数学兴趣小组经常开展拓展活动，小刚在学完《24.1.1圆》一节之后，突发奇想地将点/

绕定点。旋转一周，所形成的图形为圆，改为将线段绕定点O（定点。在线段所在的直线上，

且点/在。，8之间）旋转一周，并发现所形成的图形是圆环，他认为这个圆环面积为S圆环=ir（OS2

第5页（共23页）

-0/2),这一结论得到了同组人员的证明.

(1)如图1,于点。，经测量线段/B=7,。/=9,那么线段绕定点。旋转一周所形成的圆

环面积为;若尸为/上一动点，当线段8=12时，线段绕着点P顺时针旋转72°时，

线段48所扫过的面积为；

(2)在(1)的条件下，小冲通过大量的数据分析之后，大胆猜想：无论点P运动到何处，线段以

点P为旋转中心，旋转一周，所形成的圆环面积始终相等，请你证明他的猜想；

(3)如图2,在菱形/5CD中，点£,F,〃分别在线段CM,OB,0D上，不与端点重合，若AE=BF

=HD,且BO-/C=2.小智想在菱形NBCr(内找出一点尸，使得线段/E,BF,绕点尸旋转一周

所形成的圆环面积相等，若能，请帮他指出点P的位置，若不能，请说明理由.

(a%2+bx+c(x之0)

25.(14分)定义：对于给定的二次函数y=ax2+6x+cQW0),把形如y=,，—、的函数称

—ax2+b%+c(x<0)

为二次函数y=ox2+6x+c(°W0)的对联函数.如图，已知矩形/BCD的顶点坐标分别为/(1,I),5

(1,3),C(-3,3),。(-3,1).

(1)已知二次函数y=x2-2x+c,若点。(0,4)在这个二次函数图象上，求该二次函数的对联函数；

(2)在(1)的条件下，求出这个二次函数的对联函数图象与矩形的边的交点坐标；

(3)当二次函数-bx(6>0)的对联函数的图象与矩形/BCD只有2个交点时，求b的取值范围.

yA

I----------1--I----------15---1——I----------1--I

IlliIlli

-।----------14-

i尸

II

_I----------iQ_

i产

Illi

I---------1--I---------L2

I।|।

第6页(共23页)

2025年福建省厦门市同安区中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）

1.（4分）在实数一®-1,0,1中，最大的数是（）

A.-V3B.*C.0D.1

【解答】解：•，wV—

最大的数是1,

故选：D.

2.（4分）简简单单的七巧板能拼出千变万化的图形.殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传,

被称为“唐图”.下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（）

【解答】解：选项/,C中的图形是轴对称图形，选项3中的图形是中心对称图形，选项。中的图形

不是轴对称图形，也不是中心对称图形.

故选：B.

3.（4分）2023年春节假期，全省文旅系统创新推出系列文旅促消费和惠民措施，文旅市场强劲复苏，据

第三方测算，2023年春节假日全省累计接待游客2087.79万人次，同比增长25.4%,累计实现旅游收入

136.55亿元，同比增长78.0%.按可比口径，上述两项指标分别恢复到2019年同期的98.8%和

102.9%.2087.79用科学记数法表示为（）

A.0.208779X104B.2.08779X103

C.20.8779X102D.208.779X10

【解答】解：2.08779X103.

故选：B.

4.（4分）下列运算正确的是（）

A.（-2x3）2=-6B.a2+a2—a4

C.2x+3x=5x2D.（x+2）2=x2+4

第7页（共23页）

【解答】解：/、原式=43,原计算正确，故此选项符合题意；

B、原式=2/，原计算错误，故此选项不符合题意；

C、原式=5x,原计算错误，故此选项不符合题意；

D、原式=，+4X+4,原计算错误，故此选项不符合题意.

故选：A.

5.（4分）把点/（-2,1）向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到2,点2的坐标是（

A.（-5,3）B.（1,3）C.（1,-3）D.（-5,-1）

【解答】解：'：A（-2,1）向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到2,

；.1+2=3,-2+3=1；

点2的坐标是（1,3）.

故选：B.

6.（4分）如图，点B,。在O。上，/ACB=35°,则的度数是（

A.75°B.70°C.65°D.55°

【解答】解：'：ZACB=35°,

：.ZAOB=2ZACB=70°.

故选：B.

7.（4分）如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点a再在河一侧岸边选定点尸

和点2,使我，尸2,测得总=40米，/PBA=30°,根据测量数据可计算小河宽度为为（

A.—米B.20米C.20百米D.40百米

【解答】解：•.•我工网,

AZAPB=90°,

在中，尸5=40米，ZPBA=30°,

第8页（共23页）

：.AP=BP'tan30a=40**=当^（米）,

,一一,40V3,

，小河宽度PA为一W一米，

故选：A.

8.（4分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁

四名应聘者进行了测试，测试成绩如表所示，如果将学历、经验和工作态度三项成绩按1：1：2的比例

确定四人的最终成绩，并以此为依据录用成绩最高者，那么将被录用的是（）

应聘者甲乙丙T

项目

成绩

学历9896

经验7576

工作态度5868

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解:由题意可得，

9x1+7x14-5x2

甲的成绩为:,‘_—6.5,

1+1+2

8xl+5xl+8x2

乙的成绩为：——.y.——=7.25,

1+1+2

9xl+7xl+6x2

丙的成绩为:—7，

1+1+2

6x14-6x1+8x2

丁的成绩为:—7,

1+1+2

：6.5<7=7<7.25,

，乙将被录取，

故选：B.

9.（4分）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近

20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇.醇酒一瓶醉三客，薄酒

三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醵酒几多醇？”这首诗是说，

好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下

19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为

)

第9页（共23页）

A俨+>=19（x+y=19

匕％+3,=33（3%+3y—33

俨+y=19俨+y=19

C.1；22D.1

（/+3y=3313%+“=33

rx+y=19

【解答】解：.根据题意，可列方程组为।1

13%+“=33

故选：D.

10.（4分）在△N8D中AB=4D=2,BD=20,点、C,/分别在AD的两侧，且满足2C_LDC,则四边形

/8CO面积的最大值为（）

A.4+V2B.2+V2C.4D.2

【解答】解：画出图形如下，过点4作4E_L8Z）于点£,

；AB=AD=2,BD=2五,

：.BE=DE=V2,

由勾股定理，得AE=7AB2-BE2=J22-(V2)2=V2,

S^ABD—^BD'AE—aX2A/2xV2=2,

S四边形ABCD=S&AB/S&CBD=2+S&CBD,

...求四边形/BCD面积的最大值，只要求出S^CBD的最大值即可，

,:BD=26,BCLDC,

...点C在以5。为直径的圆上，

1

当AD边上的高=半径直时，SKBD最大,最大值为：-X2V2xV2=2,

四边形面积的最大值为：2+2=4.

故选：C.

第10页(共23页)

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x，4.

【解答】解：由题意得，X-4N0,

解得x24.

故答案为：x24.

12.（4分）不等式2x+5>x-1的解集是x>-6.

【解答】解：移项得，2x-x>-1-5,

合并同类项得，x>-6,

故答案为：x>-6.

13.（4分）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是5n.

【解答】解：弧长=芭器符=5m

±oU

故答案为：5TT.

14.（4分）如图，平行四边形48co中，4B=5,AD=3,/E平分交2C的延长线于尸点，则C尸

=2.

【解答】解：如图，・・ZE平分ND4B,

AZ1=Z2,

平行四边形45CQ中，AB//CD,AD//BC,

.\Z2=Z3,Z1=ZF,

又・・・N3=N4（对顶角相等），

AZ1=Z3,Z4=ZF,

：.AD=DE,CE=CF,

9：AB=5,AD=3,

：.CE=DC-DE=AB-AD=5-3=2,

：.CF=2.

故答案为：2.

第11页（共23页）

D

C

AB

15.（4分）数据X1，X2,X3,X4的方差是7.25,贝（I数据xi+2.75,m+2.75,X3+2.75,g+2.75的方差为2.75.

【解答】解：•.•新数据是在原数据的基础上，每个数据增加2.75所得，

•••新数据的波动幅度与原数据相同，

数据xi+2.75,X2+2.75,刈+2.75,-+2.75的方差为7.25,

故答案为：7.25.

16.（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点/的坐标是（5,0）,点2是函数>=（（x>0）图象上的

一个动点，过点2作轴交函数>=一,（x<0））的图象于点C,点。在x轴上（点。在/点的

左侧），且4D=3C.连接ZB,CD.有五个结论：

①四边形/瓦力可能是菱形；

②四边形N8CD可能是正方形；

③四边形/BCD的对角线可能相等；

④四边形48CD的周长是定值；

⑤四边形/BCD的面积是定值.

【解答】解：①轴，

C.AD//BC,

又；AD=BC,

，四边形/5CD是平行四边形，

设点8（a,―）,则C（―S-）,

a3a

：.BC=a-（—/）=AB—J（5—

第12页（共23页）

当。=5时，8C=孚

此时，AB<BC,

随着a的变化，可能存在BC=AB的情况，

四边形/BCD可能是菱形，故①正确，符合题意；

②由①得，当x=5时，2C=冬

J.BC^AB,

...四边形/BCD不为正方形，故②错误，不符合题意；

③如图，过点。作CELx轴于点£,过点2作3尸，x轴于点尸，则四边形EF3C为矩形,

四边形/BCD的对角线可能相等是正确的，故③正确；

④由①中得，当点2的横坐标为5时，2。=孚AB=

、206236

・・・C四边形438=2(BC+AB)=2(y+-)二芯,

当点2的横坐标为1时，B(1,6),C(-1,6),

:.BC=AB=7(5-l)2+62=2V13,

4Q226

•••C四边形/BCD=2(BC+AB)=2(-+2V13)=+4V13*—,

四边形/BCD的周长不为定值，故④错误，不符合题意；

⑤如图，过点C作C£J_x轴于点E,过点8作3x轴于点凡则四边形EF3C为矩形,

'：BC//AD,

••S四边形45cz)=S四边形-2|+|6|=8,

四边形/5CD的面积为定值，故⑤正确，符合题意;

故答案为：①③⑤.

第13页(共23页)

17.（8分）计算：（-1）2002+（h-3.14）°+|2-V5|.

【解答】解：（一1）2002+（冗-3.14）°+|2-V5|

=1+1+（V5—2）

=1+1+V5-2

=V5.

18.（8分）已知：如图，AB=DE,BC=EF,AD=CF,求证：NB=NE.

【解答】证明：・・・/Q=CF,

：.AC=DF,

在4ABC与4DEF中,

AB=DE

BC=EF,

AC=DF

：.AABC^ADEFCSSS）,

：.ZB=ZE.

19.（8分）先化简，再求值：（1一冷）小奎|，其中x=&一L

【解答】解：原式=有/变络D

_x-12

-x+1x—1

_2

=%+1；

当x=V2-1时，

原式=75芯=5=企.

20.（8分）如图，在△NBC中，AB=AC,ZBAC=108°.

（1）在图中作点C关于直线的对称点C'；

（2）连接C'/并延长C'/交于点D.求证：ACADsACBA.

第14页（共23页）

A

(2)证明：设C。与A4的延长线交于点E,

由对称可得，AC'=AC,CC'A.BA,

为等腰三角形，/4EC=90°.

;AB=AC,ZBAC=108°,

：.NB=/ACB=36°,/EAC=72°,

：.ZCAE=ZEAC=72°,

：.ZCAD=180°-ZCAE-ZEAC^36°,

：.ZCAD=ZB,

'：/ACD=NBCA,

:.△CADs^CBA.

21.(8分)如图，在中，//C3-90°,点。为48的中点，△4DC的外接圆交3c于点E,点

。为圆心.

(1)若3E=10,求。。的直径；

(2)取3C中点R连接£(凡求证：。尸是O。的切线.

第15页(共23页)

【解答】（1）解：是圆的直径，

ZADE=90°,

；。是48中点，

...DE垂直平分/瓦

：.AE=BE=}0,

：.Q0的直径是10.

（2）证明：•.•。是N3中点，。是NE中点，

是△4BE的中位线，

：.OD//BC,

VZACB=90°,。是48中点，

：.CD=^AB,

：.CD=BD,

•―是8C中点,

：.DF±BC,

C.DFLOD,

二。9是圆的切线.

22.（10分）五谷杂粮中的营养素非常丰富，其中的纤维素和矿物质是普通白米的数倍，所含的维生素a

维生素81、维生素32、维生素C、维生素E和钙、钾、铁、锌等微量元素，更为丰富，五谷杂粮是膳

食纤维的主要来源，且大都含有较多的不饱和脂肪酸，能够提供人体必需的大多数营养素，晨曦中学为

进一步改善学生午餐的营养结构，计划用五谷杂粮替代普通白米作为主食，并通过搭配不同的配菜，使

得每一餐的口味独特且营养丰富，现配餐公司搭配了/、B、C、D、E、尸六种套餐，考虑到准备食材

的效率与经济性,配餐公司将在这六种套餐中选取三种供学生选择,为了了解学生对这六种套餐的喜好,

配餐公司拟以问卷的形式抽取240份样本进行统计分析，工作人员考虑了两种抽样方案：

方案一：随机抽取七年级男生、女生各120人进行问卷调查；

方案二：随机抽取七、八、九年级学生各80人进行问卷调查；

第16页（共23页）

（1）已知晨曦中学是一所初中校，各个年级学生数相同，请判断以上的两种抽样方案哪种更合理？并

说明理由；

通过抽样结果统计得到，大部分学生更倾向于4B、C这三种套餐，单价分别是：8元、10元、15元.为

了做好下阶段的经营与销售，配餐公司试运行一周后，根据这周/、2、C三种套餐购买情况的数据制

成的统计表如下，又根据过去平均每份套餐的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：

套餐数量（份）

A1700

B2300

C800

请你根据以上信息，解答下列问题:

（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求学生每天选择不同套餐交替使用，求该校学生小明两天的午餐

是套餐A与套餐B组合的概率；

（3）经分析与预测，学生购买套餐种类与数量相对稳定，根据上级规定，配餐公司平均每份套餐的利

润不得超过3元，否则应调低套餐的单价，请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要

调低套餐的单价？

【解答】解：（1）方案二更合理.

理由如下：从统计意义的角度考虑，方案二比较合适，因为每个年级都抽到，选取的样本具有代表性，

属于简单随机抽样，所以方案二更合理；

（2）画树状图如下：

开始

第一次

第二次

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一共有6种等可能的情况：AB,AC,BA,BC,CA,CB.其中“AB”组合共有2中情况，

:.P（学生小明两天的午餐是套餐/与套餐3组合）

（3）根据统计表和条形统计图得知：

A套餐卖出1700份，每份的利润为2元，

3套餐卖出2300份，每份的利润为4元，

C套餐卖出800份，每份的利润为3元，

因此，总利润为：2X1700+4X2300+3X800=15000（元），

平均利润为：150004-（1700+2300+800）=3.125（元平

3.125>3,

因此应调低午餐单价.

23.（10分）关于x的一元二次方程，-2x+加=0与/-&-m=0.

（1）若6=4且一元二次方程7-2x+冽=0与/-&-冽=0有相同实数根，求加的值；

（2）若庐=-5机+2,证明：一元二次方程,-2x+加=0与，-bx-加=0至少一个方程有实数根.

【解答】（1）解：•»=4且一元二次方程7-2x+加=0与/一孔-冽=。有相同实数根，

・・・可设相同实数根为％=夕，

得到/-22+加=0,①

p2-4p-m=0,②

①-②得：22+2加=0,

解得p=-m,

将p=-m代入①，得m2+2m+m=0,

解得冽=0,或加=-3,

即m的值为0或-3；

（2）证明：（反证法）・・・庐=-5加+220,

.*.m<

假定当b2=-5m+2时，一元二次方程7-2x+m=0与x1-bx-m=0都没有实数根，

则A1=（-2）2-4加=4-4m<0,③

A2=（-5m+2）+4机=-m+2<0,④

解③得：m>l,

解④得：m>2,

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这与m＜春矛盾，

故假设不成立，

一■元二次方程f-2x+m=0与x2--加=0至少—个方程有实数根.

24.（12分）某校数学兴趣小组经常开展拓展活动，小刚在学完《24.1.1圆》一节之后，突发奇想地将点/

绕定点。旋转一周，所形成的图形为圆，改为将线段绕定点。（定点。在线段所在的直线上，

且点/在。，8之间）旋转一周，并发现所形成的图形是圆环，他认为这个圆环面积为S圆环=n（O52

-0/2）,这一结论得到了同组人员的证明.

（1）如图1,于点。，经测量线段42=7,。/=9,那么线段绕定点O旋转一周所形成的圆

环面积为1757T；若尸为/上一动点，当线段。尸=12时，线段N3绕着点P顺时针旋转72°时，

线段48所扫过的面积为35Tl；

（2）在（1）的条件下，小冲通过大量的数据分析之后，大胆猜想：无论点P运动到何处，线段以

点P为旋转中心，旋转一周，所形成的圆环面积始终相等，请你证明他的猜想；

（3）如图2,在菱形48CD中，点£,F,〃分别在线段CM,OB,OD上，不与端点重合，若AE=BF

=HD,且3D-/C=2.小智想在菱形/5CD内找出一点尸，使得线段BF,印）绕点尸旋转一周

所形成的圆环面积相等，若能，请帮他指出点尸的位置，若不能，请说明理由.

【解答】解：（1）以。为圆心，04、08为半径作两个同心圆.

第19页（共23页）

B

9

\OB=OA+AB=\6f

・・・S圆环=n(OB2-OA2)=n(162-92)=175TT.

当旋转72°时，如图所示，两个阴影部分面积相等.

:•线段•所扫过的面积=卷*72(PB?-PM?)=5(16^-9^-122)=35tt.

(2)如图：

当圆心为P时，

5圆环=7T(.PB2-PA2)=n{OB2+OP2-OP2-OA2)=n(162-92).

当圆心为「时，

S圆环=TT(P'B2-P/2)=n<^OB2+OP'2-OP'2-OA2)=n(162-92).

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故无论点尸运动到何处，线段以点尸为旋转中心，旋转一周，所形成的圆环面积始终相等.

(3)如图当。尸=1时，此时点尸满足要求.

・・•菱形/BCD中，

：.AC=2OA,BD=2OB,ACLBD,

•：BD-AC=2