2024年人教版八年级上册数学同步训练：约分与通分（原卷版）

第02讲约分与通分

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握最简分式的概念，并能够熟练的进行判断。

①最简分式2.掌握公因式的概念能够熟练的求分子分母的公因

②公因式与约分式，然后利用分式的性质进行约分。

③最简公分母与通分3.掌握最简公分母的概念，能够熟练的求最简公分母，

然后利用分式的性质进行分式之间的通分。

思维导图

公因式的假念与求法

约分的方法

最筒分式

■簿公分用的9念与求法

通分博方法

知识清单

知识点01公因式

1.公因式的概念：

一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的O

2.公因式的求法：

对分子分母进行因式分解，然后求出系数的与最低次累。他们的乘

积为公因式。

题型考点：①求分子分母的公因式。

【即学即练1】

1.分式虫彳-中分子、分母的公因式为.

20mn

【即学即练2】

2.2

2.在分式*了+xy中,分子与分母的公因式是_______,

2xy

知识点02最简分式

1.最简分式的概念:

分子分母没有的分式叫做最简公因式。

题型考点：①判断最简分式。

【即学即练1】

3.下列分式中，是最简分式的是（）

A.也px~~1三

B-21c.卫D.

X2X-12xX-1

【即学即练2】

4.下列分式中，属于最简分式的是（)

A,且B.白

3xX-1

Cx+1D.2x

X2+2X+1x2+l

【即学即练31

5.如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式是最简分式,那么我们称这个分式为“和谐分

式”.下列分式中，是“和谐分式”的是（）（填序号即可）.

2-b2

；②生；③4■；④a

①/a-bx-y(a+b)2

A.①B.②C.③D.④

知识点03约分

1.约分的概念：

根据分式的,把分子分母的约去，这个过程叫约分。

2.约分的步骤：

①对分式中能的分子或分母先进行因式分解。

②约去分子分母的公因式即可。

题型考点：①约分。

【即学即练1】

22

6.分式约分为.

-10xE乙

【即学即练2】

7.下列约分正确的是（）

A^a-b

A.-----------=+b------

a_bab_a

【即学即练3】

8.若分式（x-1）（x+2）可以进行约分化简,则该分式中的/不可以是（）

（x-A）x

A.1B.xC.-xD.4

知识点04最简公分母与通分

1.通分的概念：

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值________的的分式的

过程叫做通分。这个相同的分母叫做o

2.最简公分母的求法：

最简公分母=所有系数的义所有因式的O对能进行因式分解的分母先因

式分解，在确定所含有的因式。

3.通分的步骤：

①将所有能分解因式的分解因式。

②求出O

③利用在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成o

题型考点：①求公分母。②对分式进行通分。

【即学即练11

9.分式一:，当，2^的最简公分母是（）

xy2x3xy

A.3xyB.6x3）^C.6x6y6D.

【即学即练2】

io.分式t―的最简公分母是（）

x+5xx-25

A.x(x+5)B.(x+5)(x-5)

C.x(x-5)D.x(x+5)(x-5)

【即学即练3】

11分式x+12.

.刀式■一的最简公分母是()

112'21'Z

X-XX-1x+2x+l

A.(x2-x)(x+1)B.(x2-1)(x+1)2

C.x(x-1)(x+1)2D.x(x+1)2

【即学即练4】

12.通分：

(1)工与③(2)上与

2,3ab2.

3y2y2ab

【即学即练5】

13.通分：

(1)J—工~~2,(2)1,3,x

2222

x-yx+2xy+yx-y2x+2J+2x+l

题型精讲

题型01最简分式的判断

【典例1】

下列各式中，最简分式是（）

2,2

A.34(x打)Bx+y

92

85(x-y)xy+xy

22D.(X-

ry-x

x+yy2-x2

【典例2】

下列分式是最简分式的是（）

22

A.6(x-y)B.

8(x+y)x-y

2,2x2+y2+2xy

rx+yn

22'22

xy+xyx-y

【典例3】

下列分式是最简分式的个数为（)

③*④

x+y3a%x-4x'-5x-6

A.1个B..2个C.3个D.4个

【典例4】

222上,,2

下列分式：坐y-x_x+y,xy+x。,其中最简分式的个数有（）

3xx-yx-^y2x+4xy

A.1个B.,2个C.3个D.4个

题型02公因式与公分母

【典例1】

要将5xq化成最简分式,应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（）

20x2y

A.xyB.5xyC.5xyzD.20孙

【典例2】

22222

下列各式①警；②y-x；③丫；④匹_；⑤在型中分子与分母没有公因式的分式

27ax+yx+ymx-3

是—.（填序号）.

【典例3】

分式一「，T—的最简公分母是（）

x2-y2x+xy

A.x2-y2B.x2+xy

C.（x+y）（x-y）D.x（x+y）（x-y）

【典例4】

分式」_、」—、―二的最简公分母是(

)

x+yx-yx2_y2

A.(x+y)(x-y)B.(x+y)(x-y)(x2-y2)

C.(x+y)(x2-/)D.(x-y)(x2-y2)

【典例5】

已知分式一—,—2丁，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且生打，则x

2x2-2x+1b

的值为（）

题型03约分

【典例1】

a32

约分旦

•的结果是（）

2x2y

A.3xB.3xyC.Sxy2D.3x2y

【典例2】

22

计算因工•的结果为（）

x-xy

x-y

A.也B.三C.D.x-y

XXX

【典例3】

如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.下列分式中,

是“和谐分式”的是()

22

A.三工B.x+y

x-yx2-xy+y

C4x+2ynx2-2xy+y2

2-2

x-4y2x-2y

【典例4】

x2-lJ

则？等于()

X2+2X+1X+1

A.x+1B.x-1C.x+2D.x-2

【典例5】

小丽在化简分式±L时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是()

x2-lx+1

A.X2-2x+lB.X2+2X+1C.x2-1D.x2-2x-1

题型04通分

【典例1】

分式23a2的分母经过通分后变成2(a-b)2Q+6),那么分子应变为()

a-b

A.6a(a-b)2(a+6)B.2(Q-b)

C.6aQQ-b)D.6a(Q+6)

【典例2】

将分式」V与分式—通分后—的分母变为-a)2,则一^的分子变为()

I-aa-2a+la-2a+l1-a

A.1~aB.l+<7C.~\~aD.-1+Q

【典例3】

若将分式也与,产通分,则分式电的分子应变为()

mtn2(m-n)m+n

A.6m2-6mnB.6m-6n

C.2(m-几)D.2(m-n)(m+n)

【典例4】

按照下列要求解答：

2上

（1）约分：2r鸟;(2)通分：1—.

x-y2x'y3xy2

【典例5】

通分十一，21

2

x-6x+9X-9,3X-9

强化训练

1.下列分式中，最简分式是（）

2-2

A.江B.a+b

4x2a+b

C.-D.3-x

4-x2x2-6x+9

2.下列说法正确的是（）

A.代数式2t鱼是分式

2冗

B.分式「^中x,y都扩大3倍，分式的值不变

3x-2y

2_Q

C.分式±的值为0,则X的值为-3

x-3

D.分式¥一是最简分式

X-1

3.下列结论中，正确的是（）

A.x为任何实数时，分式空"总有意义

X

B.当、=±2时，分式1-4的值为o

X2-5X+6

2

C.---------------和---y----丁的最简公分母是6冽（2x-y）（y-2x）

2m（2x-y）6m（y-2x）

D.将分式组工中的x,y的值都变为原来的10倍，分式的值不变

y-2x

4.化简分式答与的结果是（）

A.a+bB.1c.7D.

7a+ba-b7

2

也为整数的有

5.若机为整数，则能使m-2m+lm()

m/-11

A.1个B.2个c.3个D.4个

9

6.若.-l-+--2--a--+---a-~--=--1--+--a-，则x等于（)

a2-lx

A.a+2B.a-2C.a-1D.Q+1

7.把‘]—J•通分过程中，不正确的是(

x-2(x-2)(x+3)(x+3)2

A.最简公分母是(x-2)(x+3)2

B.1-(x+3产

“x-2(x-2)(x+3]

C_____1_____=_____x+3_____

(x-2)(x+3)(x-2)(x+3)2

D2_____2x-2____

(x+3产(x-2)(x+3)2

8.把—与一、通分后，—的分母为(1-a)(a+1)2,则勺分子变为()

a+2a+lI-aa+2a+l1-a

A.1-aB.1+QC.-\-aD.-1+Q

2

9.约分：①聿一=______，②尸=_____.

20abX2-6X+9

10.有分别写有X,x+1,X-1的三张卡片，若从中任选一个作为分式42一的分子，使得分式为最简分式,

X-1

则应选择写有的卡片.

11.以下三个分式卢:，「^的最简公分母是___________________.

2x+2x2+xx2-l

2_

12.已知x为整数，则能使代数式匚工的值为整数的x值之和为______.

x+1

13.通分

(1)(2)

2

4xy6xy2a+6a-9

3a-ll-a

-9-(4)

a-9