2025高考数学专项复习：深入奔驰定理与四心问题的五大经典题型（含答案）

2025高考数学专项复习深入解析：奔驰定理与四心

问题的五大经典题型含答案

深入解析：|奔驰定理与四心问题的五大经典题型

►题型归纳

【题型1奔驰定理】............................................................................3

【题型2重心问题】...........................................................................6

【题型3垂心问题】...........................................................................9

【题型4内心问题】...........................................................................12

【题型5外心问题】...........................................................................15

►命题规律

1、奔驰定理与四心问题

奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的

面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中的重要问题，是高考的热点内容，在高考复

习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1奔驰定理】

奔驰定理

如图，已知P为△ABC内一点，且满足〃，品八五6,则有的

面积之比为

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用

平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作

用.

【知识点2四心问题】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念:三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

②重心的向量表示:如图，在△ABC中，点P为△ABC重心PAPH-P(6.

③重心坐标公式：设人(①-Ui),B(rr2,y2)＞。(①3,夕3)，则4ABC的重心坐标为尸

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念:三角形各边上高线的交点叫做垂心.

②垂心的向量表示:如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心「百.而~PBPCPJ*.

(3)内心的概念及向量表示

①内心的概念:三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

②内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量所在的直线上，点P为

网

△ABC内心ABPC4BC(!I'li6.

(4)外心的概念及向量表不

①外心的概念:三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距

离相等.

②外心的向量表示:如图，在△ABC中，点P为△ABC外心•rii\/1('.

___________F

2.三角形的四心与奔驰定理的关系

⑴。是△ABC的重心、…1:1I(7i•OH■0(6.

⑵。是△ABC的垂心：，「、、，，S,tanIt.iiitan(tan4Of♦tanffUff•t.m((X-0.

(3)0是△ABC的内心：、…、，，S,u(7f■bOH■c(H6.

(4)0是△ABC的外心：

»sin2J:sin2fi:sm2C<>sm2，s\i\2B()B•sin2f(JC«0•

►举一反三

【题型1奔驰定理】

1.(2024方三•全国•专题练习)已知点48,C,P在同一平面内，同=点同，QR=^-QB,RP=^-RC,

OOO

贝IS△ABC'S"BC等于()

C.24：5D.29：6

2.(23-24高一下•广西前宁•期末)已知。为4ABC内一点，且满足3方+4OB+5OC=2AB+3BC+

况,则毅理=()

b/XABC

3.(23—24高一下•湖北•期中)奔驰定理：已知。是4ABC内的一点，4BOC,/\AOC,^AOB的面积分别

为SA，SB，S。,则SA•温+SB•3+S。•元=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为

这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC

内一点，且满足：(51+2而+3反=3存+2/+R,则毅理=(

)

4.（23—24南三上・河南南用・期中）奔驰定理：已知。是人48。内的一点，bBOC,^AOC,AAOB的面积

分别为SA，SB，S0,贝U+SR•无+So•而=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定

理”若O是锐角A4BC内的一点，4B,。是A4BC的三个内角，且点O满足•昆=昆•济=

5d•51,则必有（）

A.sinA-OA+sinB•OB+sinC,OC=0B.cosA-OA+cosB-OB+cosC-OC=0

C.tanA•OA+tanB-OB+tanC,OC=0D.sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C,OC=0

【题型2亶心问题】

5.(2024•贵州六叁水•三模)已知点。为△ABC的重心，怒=4刀+〃(%，则4+〃=()

A.-3B.-2C.1D.6

6.(2024•陕西西安•一模)已知点P是△ABC的重心，则()

A.AP=^AB+^ACB.AP=^-AB+^-AC

6644

C.AP=^-AC+^-BCD.AP^^-AB+^BC

oooo

7.（23—24高一下•四川巴中•阶段练习）已知点G为△ABC的重心，RE分别是ABAC边上一点，O,G,

E三点共线，尸为BC的中点，若初+”1方,则4+工的最小值为（）

A〃

A.6B.7C.-|-D.?

8.（2024高一下•上海•专题练习）设点。是△ABC所在平面内一点，则下列说法错误的是（）

A.若出+西+（5苫=6,则O为△4BC的重心；

B.若（51+质）•与=（3+丸）•熬=0,则。为△ABC的垂心；

C.若（士^+^4段）•反？=0,名~.~1^=4，则4480为等边三角形；

\\AB\MQ/\BA\\BC\2

D.若。N+2OB+3OC=6,则△BOC与△ABC的面积之比为S^oc-S^c=1:6.

【题型3垂心问题】

9.（23—24高一下・上海浦东新・期中）。是平面上一定点，人，B,。平面上不共线的三个点，动点P满足

OP=OA+A4eR,则P的轨迹一定通过△4BC的

\AB\COSAABC\AC\COSABCA

A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心

10.（23-24高一下•广东东第•期末）已知在△4BC中，。是△4BC的垂心，点P满足：3OP=yOA+

春民+2历，则的面积与△ABC的面积之比是

11.（23—24方一下•山东•期中）设H是△ABC的垂心，且3应+向+5后苏=6,则cos/AE田的值为

（）

A.9c.包

10B56D14

12.（2024南三下•全国•专题练习）如图，已知。是ZVLBC的垂心，且方+2OB+3OC=6,则tan/R4C：

tan/4BC:tan/ACB等于（）

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【题型4内心问题】

13.（2024•四川南充•三模）已知点P在ZVLBC所在平面内，若方•

=0,则点P是△ABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

14.（23—24商一下・四川成都・期末）已知点。是448。的内心，48=4,人。=3,3="您+正房,则4+

“=（）

AAR5

A,3BTC.2D4

15.（2023南三•全国•专题练习）在△48。中，若sinABAC-PA+sinZABC-PB+sinZACB•历=6,则点

P是的（）

A.重心B.内心C.垂心D.外心

16.（2024高三•全国•专题练习）在△ABC中，|京|=2,|怒|=3,|反=4,O是△ABC的内心，且丞5=

加B+〃茹，则4+〃=（）

A9口7「87

A.而B-1O0•互Dn.g

【题型5外心问题】

17.（23-24商一下♦天津北展•期中）0为△48。所在平面内一点，且满足（5N+OB）-BA=（OB+OC）•

闻=（京+列）•怒，则O是△48。的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

18.（23-24高三下•新It•阶段练习）在AABC中，AC=2。，。是AABC的外心，河为的中点，存•

Z3=8,N是直线OM上异于河、O的任意一点，则俞•/=（）

A.3B.6C.7D.9

19.（2024南三•江苏•专题练习）已知O为△ABC的外心，若40,0）,8（2,0）,人。=1,/历1。=120°,且丞5=

4毋+〃公则4+〃=（）

A.工B.2C.1D.学

36

20.（2024•辽宁抚血模拟fit测）在锐角三角形ABC中，4=60°,AB>AC,H为4ABC的垂心，京•方方

=20,0为448。的外心,且京・才3=白|赤卜|不5|,则反7=（）

A.9B.8C.7D.6

►过关测试

一、单选题

21.（2024•全国•二模）点O,P是A4BC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+收5,则直线OP

经过△48。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

22.（23-24高一下•河南安旭•期末）已知O是AABC内的一点，若△BOCAAOCAAOB的面积分别记为

S1,S2,S3,则OA+S2-OB+S3-OC=0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象

地称其为''奔驰定理”.如图，已知。是△ABC的垂心，且+2OB+3OC=6,则tan/BAC：

tanZABCrtanZACB=（）

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

23.（23-24方一下•安徽合JU•阶段练习）点P是锐角ZVLBC内一点，且存在4CR,使最=4（岳+/）,

则下列条件中，不能判断出△ABC为等腰三角形的是（）

A.点P是△ABC的垂心B.点P是△4BC的重心

C.点P是△ABC的外心D.点P是△ABC的内心

24.（2024•安徽•三模）平面上有△ABC及其内一点O,构成如图所示图形，若将△OAB,△O8C,△OCA的

面积分别记作ScS。，Sb，则有关系式Sj方+S•病+&•=6.因图形和奔驰车的logo很相似,

常把上述结论称为“奔驰定理”.已知△48。的内角4,8,。的对边分别为a,b,c,若满足+

瓦+c•无=6,则。为△ABC的（）

25.（23-24高一下•上海奉Jb期中）设。为△48。所在平面内一点,满足OA+2OB+2OC=6,则△ABC

的面积与相。。的面积的比值为（）

A.6B.-1C.y-D.5

26.（23-24高一下•甘甫•期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优

美的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，ABMC,△4WC,△4WB的面积分别为S4,SB,

S0,且S4•凉+SB•加+S0•应苏=0.若M为△48。的垂心，3MA+4而+5MC=0,则cos/

=（）

A

27.（23-24高三上•辽宁洸相•阶段练习）已知△ABC,1是其内心，内角45。所对的边分别a,b,c,则

（）

A.A?=-y（AB+AC）B.AI=必回+蛆2

3aa

C由=^-+^-D.屈=典+匡

a+b+ca+b+ca+ba+c

28.(23-24南一上•安徽黄山•期末)0为三角形内部一点，a、b、c均为大于1的正实数,且满足aOA+bOB

、、

+cOC=无，若SAO.SQOACSAOBC分别表示^OAB.^AC.AOBC的面积，则S^OAB-.S^OAC-S^OBC

为()

A.(c+1):(6—l)：aB.c:btaC.—:―^—:—^―-D.c2:b2:a2

ao—lc+1

二、多

29.（23-24高一下•山东家庄•阶段练习）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理:

三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直

线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂

心，且河为BC的中点，则()

A.OH=OA+OB+OC

B-S4ABG=S^BCG=S/^ACG

C.AH=3OMD.AB+AC=4：OM+2HM

30.（23-24高一下•福建青田•期中）''奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来,是平面向量中一个非

常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已

知河是△ABC内一点，△BMC,/\AMC,△4WB的面积分别为S4,SB,SC,S.SA-MA+SB-MB+Sc-

MC=Q.以下命题正确的有（）

A.若S4：SB：SO=1：1：1,则Af为的重心

B.若河为△ABC的内心，则•凉+47•加+AB•而方=6

C.若河为△ABC的外心，则（庇+庙）•后=（而+前）•芯=（MA+MC）-AC=O

D.若M为△48。的垂心，3MA+4.MB+5MC=6,则cosZAMB=净

6

31.（23—24高一下•山东皋庄•期中）点。在△ABC所在的平面内，（）

A.若动点P满足赤=方+4M>0）,则动点P的轨迹一定经过4ABC的

|AB|sinB|AC|sinC

垂心

B.若动点P满足丽=刀+'（4>0）,则动点P的轨迹一定经过△ABC的

|AB|cosB|AC|COSC

重心

C.若2a+瓦+3。方=6,SAAOC,S^BC分别表示△49C,△ABC的面积，则1:6

D.已知△ABC三个内角C的对边分别是a,b,c,若a-（H+b・a+c•。方=6,则点。为

△ABC的内心（内切圆圆心）

三、填空题

32.（23-24寄一•全国•课后作业）已知。是平面上一个定点，/,3。是平面上三个不共线的点，动点P满

足条件OP=OA+（'e（0,+8）），则点P的轨迹一定通过4ABC的.

33.（2024•四川成都•一模）已知G为A46C的重心，过点G的直线与边ABAC分别相交于点P,Q,若最

=^AB,则A4BC与^APQ的面积之比为

34.（2024南一下•四川宜宾•竞喜）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形

与“奔驰”（Mercedes-Be”）的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如

图，已知。是△4BC内一点，△6OC,/\AOC,/XAOB的面积分别为S&S^,S°,则S4••防+

S0•。3=6.若。是△ABC锐角内的一点，ABC是△ABC的三个内角，且。点满足（54•如=画・

55=53•52,则下列说法正确的是.（填序号）

A

①。是ZVIBC的外心；②ABOC+A=兀；

③|024,0_8,0。|=cosA：cosB：cosC；@tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

四、题

35.（2024南三•全国•专题练习）根据“奔驰定理”，解决以下问题：

⑴点O为AABC内一点，若S^OB-S^OC-S^AOC=4:3:2,设市5=AAB+nAC,求实数才和“的值;

（2）若。为的外心，证明：s^AOA+sin2BOB+sin2c定=0.

36.（23—24高一下•山西大同•期中）在△48。中，角所对的边分别为a,b,c,H是△ABC内的一点,

--->1>-1---►

4-3

（1）若H是4ABC的垂心，证明：7。2—7b2=a2；

（2）若H是AABC的外心,求ABAC.

37.（23-24高二上•上海闵行•期中）在AABC中，AC=2,=6,AACB=60°,点。为AABC所在平面

上一点，满足OC=mOA+nOB（m,nCR且m+

（1）证明：历=—GA+----CB-,

m+n—1m+n—1

（2）若点O为A4BC的重心，求小、介的值；

⑶若点。为的外心，求小、打的值.

38.（23-24高一下•广东梅州•期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分

法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指

出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重

心的距离等于垂心到重心距离的一半.为证明以上结论，我们作以下探究：

如图，点O、G、H分别为△4BC的外心、重心、垂心.

（1）求证：GA+GB+GC=0,

⑵求证：OG=^-（OA+OB+OC）；

O

⑶求证：OH=OA+OB+OC.

注:①重心:三边中线的交点,重心将中线长度分成2：1；

②垂心:三条高线的交点，高线与对应边垂直；

③外心:三条中垂线的交点（外接圆的圆心）,外心到三角形各顶点的距离相等.

39.（23-24高一下•山西•阶段练习）奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车

logo相似，因此得名.如图，P是△ABC内的任意一点，角4,8,。所对的边分别为a,b,c,总有优美等

式：-R4,S/^psc+PB•S"AC+尸。"S"AB=0-

⑴若P是△ABC的内心，2b=3a=4c,延长AP交于点。，求罂；

⑵若P是锐角△4BC的外心，A=2B,屈=力中+4用，求2+4的取值范围.

___________F

深入解析:奔驰定理与四心问题的五大经典题型

►题型归纳

【题型1奔驰定理】............................................................................3

【题型2重心问题】...........................................................................6

【题型3垂心问题】...........................................................................9

【题型4内心问题】...........................................................................12

【题型5外心问题】...........................................................................15

►命题规律

1、奔驰定理与四心问题

奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的

面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中的重要问题，是高考的热点内容，在高考复

习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1奔驰定理】

奔驰定理

如图，已知P为△ABC内一点，且满足/,PH,/,/Y6,则有的

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用

平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作

用.

r知识点2四心问题】

1.四心的概念及向■表示

（1）重心的概念及向量表示

①重心的概念:三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

②重心的向量表示:如图，在△ABC中，点P为△ABC重心PAPH-P(6.

③重心坐标公式：设人(①-Ui),B(rr2,y2)＞。(①3,夕3)，则4ABC的重心坐标为尸

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念:三角形各边上高线的交点叫做垂心.

②垂心的向量表示:如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心「百.而~PBPCPJ*.

(3)内心的概念及向量表示

①内心的概念:三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

②内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量所在的直线上，点P为

网

△ABC内心ABPC4BC(!I'li6.

(4)外心的概念及向量表不

①外心的概念:三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距

离相等.

②外心的向量表示:如图，在△ABC中，点P为△ABC外心•rii\/1('.

___________F

2.三角形的四心与奔驰定理的关系

⑴。是△ABC的重心、…1:1I(>i•OH■0(6.

⑵。是△ABC的垂心：，「、、，，S,Ian(t.iiitan(tanHZI■tan//(>//■tanf(X-0-

(3)0是△ABC的内心:、；、、，，S.u(T(■b()H■t(H6.

(4)0是△ABC的外心：

»sin2J:sin2fi:sm2C<>sm2，s\i\2B()B•sin2f(JC«0•

►举一反三

［题型1奔驰定理】

1.(2024方三•全国•专题练习)已知点A,8,C,P在同一平面内，同=点同，QR=^-QB,RP=^-RC,

OOO

贝ISAABC'S"BC等于()

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

【解题思路】先根据向量的线性运算得到4方+64+9历=6,然后再利用奔驰定理即可求解.

【解答过程】由谓=!(万可得：屈—尸心=£(屈—丽)，

OO

整理可得:屈=皆屈+1■闲=皆屈+■!■刀，

oooy

由反方=:怒可得RP=9(户方-PR),整理可得：PR=-^-PC,

OO/

所以一4历=4屈+高历，整理得：4B4+6PB+9PC=0,

239

由奔驰定理可得：SA71BC：SApBC=(4+6+9):4=19:4,

故选：R

2.（23-24方一下•广西南宁•期末）已知O为△ABC内一点，且满足3方+4OB+5OC=2AB+3BC+

㈤，则登理=（）

SAABC

A.4B.；C.4D.-f-

5445

【解题思路】由题意可得4OA+5OB+3OC=6,方法一:延长至8点，令质=^-OA+^-OB=

99

卷五，从而可得AH,B三点共线，进而可求解；方法二：利用奔驰定理求解即可.

【解答过程】因为3<51+4无+5历=29+3尻+（5瓦

所以3d1+4宿+5历=2（瓦一dl）+3（而一无）+（OA-OC）,

即4d2+5无+3元=6.

方法1:4演+5无=3团,即家沃+家运=」放5,

999

延长放5至H点,令质=1不+枭%=今元，即三点共线，

999

所］SAAOB_HO_1

豆二一记一丁

AOB

方法2:由奔驰定理，SBOc'-SAOG'.SAOB=4:5:3,故^————

S^ABC4+5+34

故选B.

3.（23—24高一下•湖北•期中）奔驰定理：已知。是△ABC内的一点，△BOC,/\AOC,/\AOB的面积分别

为必，SB，S。,则1.51+S］而+So.5^=也"奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论,因为

这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形4BC

内一点，且满足：温+2瓦+3历=3存+2/+R,则杂理=（）

【解题思路】直接根据向量的基本运算得到3海+3+25方=6,再结合“奔驰定理”即可求解结论.

【解答过程】解：•••O为三角形ABC内一点，且满足为+2OB+3OC=3AB+2BC+CA,

OA+26B+3OC=3（OB-OA）+2（OC-OB）+（OA-OC）^3OA+OB+2OC=0,

---SA-OA+SB-OB+SC-OC=0.

.S^AOBS^OB_1

S^ABCSMOB+SAB。。+SMOCSA+Sg+S（j3

故选：。.

4.（23—24高三上・河南南相・期中）奔驰定理：已知0是人4瓦7内的一点，人80。，^AOC,AAO8的面积

分别为SA，SB,S0,贝I」ST（5X+SB•瓦+So•元“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定

理”若O是锐角内的一点，4B,。是A4BC的三个内角，且点O满足•晶=昆・济=

收5・51,则必有（）

A.sinA-OA+sinB-OB+sin。OC=0B.cosA-OA+cosB-OB+cosC•OC=0

C.tanA-OA+tanB•OB+tan。OC=0D.sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C,OC=0

【解题思路】利用已知条件得到O为垂心,再根据四边形内角为2兀及对顶角相等，得到乙408=兀-C,

再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到瓦|：|。^|=cosAcosR：cosC,进而求出SA-.SB-.

S0的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.

【解答过程】如图，因为刀•无=无•而=（5方

所以朝・（。氏一。3）=0=＞瓦・刀=0,同理。氏・於=0,。3-4点=0,

所以。为A4BC的垂心。

因为四边形DOEC的对角互补，所以AAOB=兀一C,

：.OA-OB=函cos（兀-C）=-\OA\\OB\cosC.

同理，西•瓦=-|阮||05|cosA,

：.OC-OA=-\OC\\OA\cosB,

：.\OA\\OB\cosC=\OB\\OC\cosA=\OC\\OA\cosB.

.宿|cosC|而||（^|cos/|0d||51|cosB

\OA\\OB\\OC\\OA\\OB\\OC\\OA\\OB\\OC\

|OA|:|OB|：|OC|=cosA：cosB：cosC.

又S『J萌|反反11(兀一⑷=^-\OB\\OC\sinA

SB=^-\OA\\dC\sin^-B)=^-\OA\\OC\sinB

Sc=y|OB||dl|sin(7r—C)=^-\OB\\OA\sinC

sin/.sin8sin。_sinAsin8sinC

S^SB：SC=tanA:tanB:tanC.

\OA\'\OB\'\OC\cosAcosBcosG

由奔驰定理得tanA,OA+tanB-OB+tanC*OC=0.

故选C

【题型2重心问题】

5.(2024•贵州六叁水•三模)已知点。为△ABC的重心，灰=4方+〃西，则义+〃=()

A.-3B.-2C.1D.6

【解题思路】作出图形，将(5N,国作为基底，先把衣用(51，昆,旅表示，再将反?也用51,无表示,

将等式整理得到推导出彩=—2方一质，结合平面向量基本定理算出入〃的值，进而算出答案.

【解答过程】根据向量加法三角形运算法知AC=AB+BC=AO+OB+阮(*);

尸为中点，则BC=2BF=2(BO+OF)(**)；

点。为△ABC的重心，则OF=^-AO,

代入(**)得到，纪=2(反5+。而)=2反5+员5,

代入(*)得到，於=历+如+2郎+13=—251一如,

结合AC=AOA+jnOB,可得/!=一2,〃=—1,所以4+〃=-3.

故选：A.

6.(2024•陕西西安一模)已知点P是△ABC的重心，则()

A.AP=^AB+^ACB.AP=^-AB+^-AC

6644

C.AP=^-AC+^-BCD.AP=^-AB+^-BC

oooo

【解题思路】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.

(解答过程】设BC的中点为。，连接4。，点P是△ABC的重心，则P在上,

且AP=^-AD=0x5(AB+AC)=卷(2AB+BC)=告AB+卷BC

OUZiooo

由此可知A,。错误，。正确,

故选：D

7.（23—24高一下•四川巴中•阶段练习）已知点G为△ABC的重心，RE分别是ABAC边上一点，O,G,

E三点共线，尸为BC的中点，若#=疝5+〃施，则4+工的最小值为（）

A〃

A.6B.7C.yD.?

【解题思路】根据重心性质可得力=得彳苕，再由三点共线得出等+与=1（4>0,〃>0）,根据“1”的变

/OO

形技巧利用均值不等式求最值.

【解答过程】由点G为△ABC的重心，斤为8C的中点知,

AF=^-AG=AAD+nAE,

所以怒=F助+华巅，

OO

因为。,G,E三点共线，。,E分别是48,4。边上一点,

所以铝+华=1口>0,〃>0),即/1+〃=弓仅>0,〃>0),

OO/

中广契+〃居+。=知+号+?）瓷（5+20心，

当且仅当当=（,即41,〃=£时等号成立,

故选：A.

8.（2024高一下•上海•专题练习）设点。是△ABC所在平面内一点,则下列说法错误的是（）

A.若。N+3+己方=6,则。为△4BC的重心；

B.若（51+近）•存=（比+元）♦配=0,则。为△4BC的垂心；

C.若（』f-+用9）•就=则△ABC为等边三角形；

\\AB\\AC\/\BA\\BC\2

D.若51+2无+3OC=6,则ABOC与/\ABC的面积之比为S^OC-S^ABC=上6.

【解题思路】利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形垂心定义

判断选项B;利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C-,求得△BOC与△ABC的面积之比判

断选项D.

【解答过程】对于A,如图，取边中点。，连接AB边上的中线CD,则。1B=2OD,

又•••方+质+而=6,/.200+00=0,：.\OC\=2\OD\,

：.O为△ABC的重心,故选项A正确；

对于B,如图，取AB边中点。，边中点E,连接OD,OE,

则况+3=2亦3+比=2围，

•/(OA+OB)-AB=[OB+OC)-BC=0,

：.2OD-AB=2OE-BC=0,

：.OD-AB=OE-BC=0,：.OD±AB,OE±BC,

：.OD±AB,OE_LBC,

：.OD,OE分别是43,BC边上的垂直平分线，

/.OA=OB=OC,O为AABC的外心，故选项B错误；

对于C,作角A的内角平分线AE与8c边交于点E,

竺।为AB方向的单位向量，为AC方向的单位向量,

|回|AC|

・••普r+

：.AE.LBC,：.AE±BC,：.AC=AB,ZVIBC为等腰三角形，

cosB=2,且BC(0,兀)，；.8=日，

/O

：.ZVIBC为等边三角形，故选项。正确;

c

对于。，设而=2宿，OC'=3OC,

由方+2西+3元=6,得+而+南=6,

则由选项A可知，O为LAB'C'的重心，设/\AB'C的面积SAAB,C,=a,

^AAOC=^AAOB'=S^oc'~，

又­.•OB=JOB,oc=^-oc,

/o

•#,S/vioc=百SAAOC，—3a,S^AOB=5Ss，=9SABOC=~Q^AB'OC=-^ga，

*5ZXABC=S/^AOC+SAAOB+Sgoc~~2a,

S的C：SAABC==上6,故选项。正确.

loO

［题型3垂心问题】

9.（23-24高一下•上海浦东新•期中）0是平面上一定点，A,B,。平面上不共线的三个点，动点P满足

ABAC

OP^OA+A\AB\cosZABC+\AC\cosABCA"CA,则P的轨迹一定通过△ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【解题思路】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零

推出向量垂直即可.

（解答过程】如图所示，过点A作4D，BC,垂足为D点、.

AB\BC\|AB|COS（7T-B）

则BC--国，

\AB\cosAABC\AB\COSAABC

AC

同理国，

\AC\cosAACD

・・,动点P满足罚=或+乂―AB-----+------],AER.

(\AB\ZcosABC\AC\COSZBCA)

—+,AER.

\AB\COSZABC\AC\cosZACD

：.AP-BC=1।/'.AB_+BC-AC_1=\(-\BC\+\BC\\=0,

I\AB\cosAABC\AC\COSAACD)

：.AP.LBC,

因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心.

故选：D

10.(23-24高一下•广东东莞♦期末)已知在△4BC中，O是△4BC的垂心，点P满足：3OP=^OA+

^OB+203,则的面积与4ABC