黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

工大附中九年级上学期开学验收数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1.下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查中心对称图形的定义及识别，“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心”，掌握中心对称图形的定义即可求解．【详解】解：A、不是中心对称，不符合题意；B、不是中心对称，不符合题意；C、是中心对称，符合题意；D、不是中心对称，不符合题意；故选：C

．2.已知：在锐角中，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】据特殊角的正切函数值解答即可．【详解】解：∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．3.如图，内接于，连结接，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查圆周角定理．根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出，再根据圆周角定理解答．【详解】解：∵内接于，，∴，∴．∴．∴．故选：C4.如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则sinα=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：如图，由题意得，OB=3，PB=4，由勾股定理得，OP=5，sinα=，故选D．考点：1．锐角三角函数的定义；2．坐标与图形性质．5.在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则的正弦值（）A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的3倍 C.不变 D.不能确定【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义解答即可．【详解】解：∵中，，将各边长度都扩大为原来的3倍，其比值不变，∴的正弦值不变．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的表示以及求值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．6.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角函数—坡度问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．过点作，垂足为，根据题意可得，，设，则，由勾股定理，列方程即可求解．【详解】解：过点作，垂足为，根据题意得：，，设，则，由勾股定理，得：，解得：（负值已舍去），故选：D．7.如图，在中，，，，若将绕点逆时针旋转后，点A的对应点为D，则的长为（）A.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了旋转的性质以及勾股定理，注意掌握数形结合思想的应用，由在中，，，，可求得的长，然后由绕点逆时针旋转后，点A的对应点为D，可得是等腰直角三角形，继而求得的长．【详解】解：∵在中，，，，∴，∵将绕点逆时针旋转后，点A的对应点为D，∴，∴，故选：D．8.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（）A. B. C.6cos50° D.【答案】B【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cos50°=，进而得出答案．【详解】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，BC=6m，∴cos50°==，∴AC=．故选B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．9.如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．10.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的性质和判定进行判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，∴，，，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断．二、填空题（每题3分，共30分）11.四边形和四边形是位似图形，点与点对应，点与点对应，点是位似中心，如果，，那么__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似（位似）图形对应边的比等于相似比（位似比）即可求解．【详解】解：根据题意，，∴，故答案为：

．12.如图，点D、E分别是边、上的点，且，，那么_________．【答案】【解析】【分析】根据推出，根据推出，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答．详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．13.如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是__________．【答案】8【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，再由相似三角形的性质得，求得该古城墙的高度．【详解】解：由题意知：入射光线与反射光线，，又，，所以即，解得米．故答案为：814.如图，四边形内接于，连接．延长至点，则的度数为___________________．【答案】【解析】【分析】根据圆周角定理可得度数，根据圆内接四边形的性质可得的度数，然后根据邻补角的定义可得结果．【详解】解：∵为圆心，，∴，∵四边形内接于，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形性质，邻补角的性质等知识点，熟知以上性质定理是解题的关键．15.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是________．【答案】【解析】【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出．【详解】解：四边形是矩形，，，由折叠的性质可得：，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键．16.如图，AB是半的直径，点均在半上．于点，若，则的长为___________．【答案】8【解析】【分析】本题考查了直径所对圆周角为直角，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意可得，，可证，设圆的半径为，可列式求解半径的值，在中，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵AB是半圆的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设半圆的半径为，则，∴，∴，解得，，∴，在中，，故答案为：8

．17.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为_________米．【答案】【解析】【详解】试题分析：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD•tan30°=120×=m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD•tan60°=120×=m，∴BC=BD+CD==m．故答案为．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．18.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为_______．【答案】【解析】【分析】连接BD，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD，∵BD2=12+12=2，AB2=12+32=10，AD2=22+22=8，2+8=10，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，∴．故答案为.【点睛】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．19.已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是_________【答案】2或【解析】【分析】本题无图，应根据题意画出图形，分点P既可以在边CD上和在CD的延长线上两种情况求解.【详解】如图所示，由于点P是直线CD上一点，∴点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上，当P在边CD上时，∵BC=2，DP=1，∴；当P在CD延长线上时，∵DP=1，DC=2，∴PC=3，∴．故答案为2或23【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及正方形的性质，解题时要考虑到两种情况，不要漏解．20.如图，中，交AB于点，交AB于点，若，，CD的长为_____________．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合，根据题意可得，可得为等腰直角三角形，可求出，，如图作，根据等面积法可求出，根据题意，可得，列式可求出AD，在中运用勾股定理即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即是等腰直角三角形，∴，∴，∴，如图所示，过点作于点，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，，∵，，即，∴，∴，∴，即，解得，（不符合题意，舍去）或，∴，在中，，故答案为：

．三、解答题（共60分，21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分）21.先化简，再求代数式的值，其中．【答案】；.【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊锐角的三角函数值得出的值，代入计算可得．【详解】解：原式，，当时，原式．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值．22.在下列网格图中，每个小正方形的边长均为个单位长度，在中，，，．（1）试在图中做出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形，点与点是对应点；（2）若点的坐标为，试在图中画出直角坐标系；（3）根据（2）的坐标系作出与关于原点对称的图形，点与点是对应点，点与点是对应点，并标出点的坐标．【答案】（1）作图见详解（2）作图见详解（3）作图见详解，【解析】【分析】本题主要考查旋转作图，平面直角坐标系的特点，关于原点对称的图形的特点，（1）根据旋转中心作图方法进行作图即可求解；（2）根据点与坐标系的特点即可求解；（3）根据图形关于原点对称的特点即可求解．【小问1详解】解：如图所示，即所求图形；【小问2详解】解：点的坐标为，直角坐标系如图所示，【小问3详解】解：如图所示，即为所求图形，∴．23.一艘海轮位于灯塔的北偏东60°方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的处．（1）求的度数；（2）求海轮所在的处与灯塔的距离（结果保留根号）．【答案】（1）（2）海轮所在的B处与灯塔P的距离海里【解析】【分析】本题主要考查方位角的计算，含30°角的直角三角形的性质，（1）根据题意可得海里，根据含30°，角的直角三角形的性质即可求解；（2）根据题意可得，是等腰直角三角形，由此即可求解．【小问1详解】解：如图所示，根据题意，，海里，，∴，，∴；【小问2详解】解：由题意可知，，且海里，∴海里，海里，∵，∴是等腰直角三角形，∴海里，∴（海里），∴海轮所在的B处与灯塔P的距离海里．24.如图，在中，，．（1）如图1，点在边上，，求的值；（2）如图2，点在的延长线上，点在AB上，连接，且，求证：．【答案】（1）（2）证明过程见详解【解析】【分析】本题主要考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，正弦的计算，相似三角形的判定和性质的综合运用，（1）根据题意，设，则，在中，运用勾股定理可得，根据正弦的计算方法即可求解；（2）根据等腰直角三角形的性质可得，且，可证，根据相似三角形的性质即可求解．【小问1详解】解：∵，，设，则，在中，，∴；【小问2详解】证明：∵，，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴．25.禹驰商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需800元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若禹驰商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，求禹驰商店至多购进A种纪念品多少件？【答案】（1）购进A、B两种纪念品每件各需100元、50元（2）禹驰商店至多购进A种纪念品53件【解析】【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元，根据题意，列出二元一次方程组，然后解方程组即可得出结论；（2）设禹驰商店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据题意，列出一元一次不等式，即可求出结论．【小问1详解】设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元由题意可知：解得：答：购进A种纪念品每件需100元，购进B种纪念品每件需50元．【小问2详解】设禹驰商店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件由题意可知：解得：∵a为整数∴a的最大值为53答：禹驰商店至多购进A种纪念品53件．【点睛】此题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键．26.如图，在中，AB为直径，弦于点，连接．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，过点作于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点在弧AD上，，连接，，，求的长．【答案】（1）证明过程见详解（2）证明过程见详解（3）的长为【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，由此可证，根据全等三角形的性质即可求证；（2）连接BD，根据垂径定理可得点是AD中点，由此可得是中位线，可得，由（1）可得，根据弦、弧的关系，可得，由此即可求证；（3）根据题意，连接，根据圆的基础知识，可证，可得，运用勾股定理可得AB的值，在中可求出的值，的值，由（2）的结论可得的值．【小问1详解】证明：∵AB是直径，弦，∴，且，∴，∴；【小问2详解】证明：如图所示，连接BD，∵AB是直径，∴，，，∴，点是AD的中点，且点是AB的中点，∴，即，由（1）可得，，∴，∴，∴，∴；【小问3详解】解：如图所示，连接，由（1）可知，，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵AB是直径，∴，在中，，∴，∵，∴，在中，，∴，在中，，由（2）可得，，∴的长为．【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理，圆周角定理，直径所对