工程电磁场（第2版）课件 第一章 数学基础

CHAPTER数学基础第一章2第一章

数学基础本章内容1.1矢量函数1.2标量场的方向导数与梯度1.3矢量场的通量与散度1.4矢量场的环量与旋度1.5哈密顿算子与矢量恒等式1.6亥姆霍兹定理1.7知识点拓展31.1

矢量函数标量:只有大小，在取定其单位后可以用一个数来表示，例如长度、质量、时间、能量等矢量:不仅有大小之分，而且有方向之别，例如位移、力、速度、电场强度、磁场强度等1.1.1标量与矢量41.1

矢量函数直角坐标系

圆柱坐标系

球坐标系

1.1.2矢量的表示51.1

矢量函数直角坐标系中圆柱坐标系中球坐标系中

61.1

矢量函数矢径单位矢径距离矢量

线元矢量

71.1

矢量函数1.矢量的加减运算平行四边形法则三角形法则矢量求差1.1.3矢量的基本代数运算81.1

矢量函数2.矢量的乘法运算标乘点乘叉乘混合积91.1

矢量函数3.混合积与三重矢积混合积满足轮换性质若混合积为0，则三矢量共面！三重矢积101.1

矢量函数1.矢量函数的定义对于定义域中每一个自变量都有相应的矢量函数A的某个确定量（大小和方向都确定的一个矢量）和它对应，则矢量A称为该自变量的矢量函数。例如静电场中，对于自由空间中位于坐标原点的点电荷，在其周围空间产生的电场可以表示为：1.1.4矢量函数的微分与积分111.1

矢量函数2.矢量函数的微分定义圆柱坐标系和球坐标系中???121.1

矢量函数3.矢量函数的积分积分和微分互为逆运算。一般标量函数积分的运算法则对矢量函数同样适用。圆柱坐标系和球坐标系中???131.1

矢量函数【例题1-1】求

在0→2π区间对

f的定积分。其中a为常数。解：【例题1-2】求在球面上的面积分。将

代入上式，即有：解：141.1

矢量函数1.1.5场论1.场的概念在一个空间区域中，某物理量的分布可以用一个空间位置和时间的函数来描述。若某个物理量在某区域中每一点处、在每一时刻都有确定值，则在该区域中就存在该物理量的场，该物理量称为场量。概括来讲，场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数。物理量可能是一个标量或矢量，因而，场也可能是一个标量场或矢量场。根据场所表示的物理量随时间变化的情况，可分为静态场和时变场。注意！场的性质是它自己的属性，和坐标系的引进无关151.1

矢量函数2.标量场如果所研究的量是标量，则物理量的空间分布对应于标量场，即每一时刻、每一位置都对应一个标量值，如温度场、密度场、气压场和电位场。若自变量是坐标(x,y,z)和时间t，则静态标量场记为u=u(x,y,z)，时变标量场记为u=u(x,y,z,t)。3.矢量场如果所研究的量是矢量，则物理量的空间分布对应于矢量场，即每一时刻、每一位置都对应一个矢量值，如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场。若自变量是坐标(x,y,z)和时间t，则静态矢量场记为A=A(x,y,z)，时变矢量场记为A=A(x,y,z,t)161.2

标量场的梯度如等温面、等电位面等

对空间任意点：1.2.1标量场的等值面和等值线1.2.2方向导数171.2

标量场的梯度181.2

标量场的梯度方向导数方向单位矢量定义1.2.3梯度1.梯度(gradient)的定义191.2

标量场的梯度Hamilton算子图1.2.3梯度的定义201.2

标量场的梯度2.梯度的性质211.2

标量场的梯度3.梯度的基本运算公式（C为常数）（C为常数）221.2

标量场的梯度4.梯度在圆柱坐标系和球坐标系中的计算式圆柱坐标系中的梯度计算式：球坐标系中的梯度计算式：231.2

标量场的梯度得证241.2

标量场的梯度251.2

标量场的梯度261.3

矢量场的通量与散度1.3.1矢量场的矢量线（力线）矢量场中的一些曲线，曲线上每一点的切线方向代表该点矢量场的方向，该点矢量场的强度由附近矢量线的密度来确定。F的矢量线微分方程271.3

矢量场的通量与散度1.3.2矢量场的通量281.3

矢量场的通量与散度291.3

矢量场的通量与散度1.3.3散度若在某一区域内的所有点上，矢量场的散度都等于0，则称该区域内的矢量场为无源场。1.散度(divergence)定义301.3

矢量场的通量与散度2.散度的表达式直角坐标系中圆柱坐标系中球坐标系中311.3

矢量场的通量与散度3.散度的基本公式321.3

矢量场的通量与散度1.3.4高斯散度定理331.3

矢量场的通量与散度341.3

矢量场的通量与散度351.4

矢量场的环量与旋度1.4.1矢量的环量1.4.2矢量的旋度1.旋度的定义361.4

矢量场的环量与旋度2.旋度的表示式直角坐标系圆柱坐标系球坐标系371.4

矢量场的环量与旋度3.旋度与散度的区别381.4

矢量场的环量与旋度四、旋度的基本运算公式391.4

矢量场的环量与旋度1.4.3斯托克斯定理将一矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分4041421.5

哈米尔顿算子与矢量恒等式1.5.1哈密顿算子及其一阶微分恒等式431.5

哈米尔顿算子与矢量恒等式1.5.2哈密顿算子及其二阶微分恒等式证明：441.5

哈米尔顿算子与矢量恒等式1.5.2哈密顿算子及其二阶微分恒等式证明：451.5

哈米尔顿算子与矢量恒等式1.5.3无旋场、无散场和调和场无旋场无散场调和场沿任一闭合回路的线积分（环量）为0。一个无旋场的线积分与积分路径无关，而仅由积分的起点和终点坐标确定。

如果是无源场，则在场中对任一闭合曲面的面积分（通量）为0

461.6

亥姆霍兹定理474849501.7

知识点拓展1.7.1格林定理令而格林第一定理511.7

知识点拓展两式相减得格林第二定理521.7

知识点拓展1.7.2柱贝塞尔函数称为柱贝塞尔方程，简称贝塞尔方程。因为上述方程为二阶微分方程，存在两个线性无关解。贝塞尔方程的两个解可以用两个无穷级数表示为53知识点总结54知识点总结(1)矢量的基本代数运算55知识点总结

梯度：在标量场中，将最大变化率矢量G定义为标量场u=u(x,y,z)在P点处的梯度。在直角坐标系中，有56知识点总结(3)矢量场的通量与散度通量：矢量场

F

在某一闭合曲面

S上的面积分，称为该矢量场通过此曲面的通量，即散度：表示从空间某点的单位体积内散发出来的矢量场F的通量，也反映了矢量场

F

在该点通量源的强度，即高斯散度定理：任何一个矢量

F

穿出任意闭合曲面S的通量，总可以表示为

F

的散度在该曲面所围体积V的积分，即57知识点总结(4)矢量场的环量与旋度环量：矢量场

F

沿某一闭合曲线(闭合路径)的线积分，称为该矢量场沿此闭合曲线的环量，即

旋度：矢量场的旋度是一个矢量，其大小等于各个方向上环量面密度的最大值，其方向为当面积的取向使得环量面密度呈最大时该面积的法线方向。它描述了矢量场

F

在该点的涡旋源强度。58知识点总结斯托克斯定理：矢量场F的旋度

在任意曲面S上的通量，等于F沿该曲面周界

l

的环量，即(5)3种特殊的场无旋场：在某区域中，旋度恒为零的矢量场A，即

，称为无旋场，又称保守场或位场。无散场：在某区域中，散度恒为零的矢量场B，即

，称为无散场，又称管形场或无源场