工程电磁场（第2版）课件 第三章 静态场边值问题求解

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静态场边值问题求解本章内容3.1静态场边值问题及解的唯一性定理3.2镜像法3.3分离变量法3.4知识点拓展———矩量法33.1

静态场边值问题及解的唯一性定理3.1.1静态场问题的类型分布型问题

正向问题

反向问题边值型问题

第一类边值问题（狄里赫利问题）第二类边值问题（诺诶曼问题）

第三类边值问题（混合型问题）

43.1

静态场边值问题及解的唯一性定理3.1.2静电场问题的唯一性定理静电场的唯一性定理：已知场域V内的自由电荷分布和电介质特性，已知场域V的边界S上的

或

，那么场域V内的位函数具有唯一确定的解，即第一、二、三类边值问题下的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。53.1

静态场边值问题及解的唯一性定理3.1.3静态场边值问题的解法①.解析法（得到一个函数表达式）

②.数值法（建立数学模型，利用计算机进行求解，得到研究区域中离散点上的场强或位函数值）

镜像法、分离变量法、复变函数法、格林函数法等时域有限差分法（FDTD）有限元法（FEM）矩量法（MoM）等63.2

镜像法3.1.3静态场边值问题的解法镜像法的理论根据是唯一性定理镜像电荷的引入原则是满足原有的边界条件镜像电荷处在所研究区域之外在所研究区域内电位函数所满足的泊松方程或拉普拉斯方程的形式不变

73.2

镜像法3.1.3静态场边值问题的解法用镜像法求解静电场问题的关键是寻找合适的镜像电荷，镜像电荷的确定要遵循以下两个原则：①所有镜像电荷必须位于所求的场域之外；②镜像电荷的个数、位置及电荷量的确定需要满足所求的场域的边界条件。镜像法只能用于一些特殊边界的情形83.2

镜像法1.无限大导体平面与点电荷边界x=0处

93.2

镜像法导体板上感应电荷电量总和正好等于我们所设的镜像电荷的电量镜像电荷等效了导体边界对电磁场的影响，或者说，等效了导体上的感应电荷的影响103.2

镜像法2.无限大导体平面与线电荷113.2

镜像法由于a<<D，a<<h，

123.2

镜像法3.相交无限大导体平面与点电荷n>1为整数镜像电荷的总数为（2n-1）133.2

镜像法4.接地导体球与点电荷考察143.2

镜像法153.2

镜像法5.对地绝缘的带电导体球与点电荷第一步处第二步球心处163.2

镜像法6.无限长导体柱面与线电荷173.3

分离变量法分离变量法的基本解题步骤是：①根据已知导体与媒质分界面的形状，选择适当的坐标系；②将偏微分方程分离为若干个常微分方程，求出包含待定系数的通解；③利用给定的边界条件，确定通解中的待定系数，得到所求问题的特解。183.3

分离变量法3.3.1直角坐标系下的分离变量法当截面边界与直角坐标系的xoy坐标平面平行时只与x有关只与y有关1920有两种解的形式：sinx、cosx只有一个零值

没有零值

有无穷多个零值

21所以解的形式为：22将边界条件(1)代入通解中(x=0时，),得将边界条件(2)代入上式中(x=a时，),得23将边界条件(3)代入上式中(y=0时，),得将边界条件(4)代入上式确定

(y=0时，)利用三角函数的正交性,

两边都乘以积分24253.3

分离变量法3.3.2圆柱坐标系下的分离变量法若目标边界与圆柱坐标系的坐标面平行方程两边同除以只与r有关只与f有关26上述假设得到的解不合理。2728

条件(3)条件(2)条件(1)29303.4

知识点拓展———矩量法建立在积分方程基础上矩量法本身是一种稳定的计算方法线元基函数发展到面元基函数加速方法，精细方法等等其主要计算步骤包括：①建立描述电磁问题的积分方程；②利用基函数将待求函数进行离散并代入积分方程；③利用检测函数对离散后的积分方程进行检测并得到矩阵方程；④求解矩阵方程和相关的电磁场物理量。31知识点总结(1)静电场问题有3种类型

第一类边值问题：已知边界上各点的位函数φ值。第二类边值问题：已知边界上各点的

值。第三类边值问题（混合型问题）：已知部分边界表面的

值和其他边界表面的

值。(2)唯一性定理满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解唯一。(3)静电场中的镜像法

镜像电荷的确定要遵循以下两个原则：①所有镜像电荷必须位于所求的场域之外；②镜像电荷的个数、位置及电荷量的确定需要满足所求的场域的边界条件。32知识点总结(4)直角坐标系下的分离变量法