重庆市南开中学2025届高三数学模拟试题文含解析

PAGE22-重庆市南开中学2025届高三数学模拟试题文（含解析）留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，再求.【详解】解：由得，，因为，所以，因为，所以，故选：B【点睛】此题考查了集合的交集运算，考查肯定值不等式，属于基础题.2.设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简，再得出的共轭复数.【详解】故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法以及求共轭复数，属于基础题.3.下列函数中，值域是R且是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据基本函数的值域及其奇偶性一一分析选项中的函数即可.【详解】A项中，的值域是，但不是奇函数；B项中，的值域是，是奇函数；C项中，的值域是，且是奇函数；D项中，的值域是，不是奇函数.故选：C.【点睛】本题主要考查基本函数的值域和奇偶性，属于简洁题.4.向量，若，则（）A. B. C.0 D.6【答案】A【解析】【分析】由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求出的值．【详解】解：向量，，，若，则，，，则，故选：A．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．5.已知，命题“若，则或”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依据四种命题真假性的相互关系，推断出真命题的个数.【详解】由于，则，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若，则且”，如，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.所以真命题的个数为.故选：B【点睛】本小题主要考查四种命题的真假性的推断，属于基础题.6.2024年被誉为“5G商用元年”．6月，5G商用牌照正式发放；9月，5G套餐开启预约；11月，5G套餐公布；12月，5G手机强势营销．据统计2024年网络上与“5C”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2024年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（）A.相关活动是5G信息走势的关键性节点 B.月均信息量超过600万条C.第四季度信息量呈直线增长态势 D.月信息量未出现持续下降态势【答案】B【解析】【分析】依据信息量走势图的信息，对选项进行逐一分析推断，得出答案.【详解】A.由图可知6月，9月，12月都是图象的走势改变的关键点，所以推断正确.B.2024年与“5G”相关的信息量高达6875.4万条，则月均信息量不超过600万条，所以推断不正确.C.由图可知10月、11月、12月的信息量呈直线增长态势，所以推断正确.D.由图可知月信息量未出现连续几个月持续下降态势，所以推断正确.故选：B.【点睛】本题考查对图表信息的处理，关键是读懂图表，属于基础题.7.椭圆，过原点O斜率为的直线与椭圆交于C，D，若，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用直线斜率和弦长求出点的坐标，然后将点代入椭圆方程，解出，从而得到椭圆方程.【详解】由题意可知，直线的方程为，直线倾斜角为，不妨设点在第一象限，则，因此可得，又点在椭圆上，所以，所以椭圆的标准方程为，故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，结合了直线与弦长等相关学问，难度不大.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求几何体的体积.【详解】解：依据几何体的三视图转换为直观图为：如图所示的三棱锥，所以，故选：B【点睛】此题考查三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题.9.定义在R上的奇函数满意，且时，，则（）A. B.1 C.7 D.【答案】A【解析】【分析】由题可得，然后结合奇偶性，即可利用解析式求出答案.【详解】，，又是奇函数，且时，，，，故选：A.【点睛】本题综合考查了函数奇偶性和对称性的应用，考查简洁的指、对数计算，难度不大.10.点P在函数的图象上，若满意到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用导数求得函数导数为处的切点坐标，依据点到直线的距离公式列方程，由此求得的值.【详解】对于函数，定义域为，在上为减函数，令，解得，故函数导数为处切点坐标为，点到直线的距离为，解得或.结合图象可知，要使满意到直线的距离为的点有且仅有3个，则不符合，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数求与切线有关的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.重庆誉为“桥都”，数十座各种各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长，两端引桥各有，主桁最高处距离桥面，则将下列函数等比放大后，与主桁形态最相像的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设余弦函数为，结合三角函数的图象与性质，求得，再结合选项，即可求解.【详解】设主桁（图中粗线）部分对应的余弦函数为，可得函数的周期为，即，又由，解得，所以函数的解析式为，按的比例等比变换，可得，对比选项，可得与函数相像.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中娴熟应用三角函数的图象与性质，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算实力.12.若P是双曲线在第一象限上一点，为双曲线C的左右焦点，，到直线距离相等，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先依据双曲线的定义得，，再到直线距离相等得在的角平分线上，在依据等面积法，有，化简即可求解.【详解】如图，由双曲线的定义得，，所以，又因为到直线距离相等，所以在的角平分线上，即，所以，另一方面，设到的距离为，则，所以，整理得，所以.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，留意利用定义和合理的转化问题是关键，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．16题第一空2分，其次空3分．13.若变量x，y满意约束条件，则的最大值为__________．【答案】3【解析】【分析】画出可行域和目标函数，依据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域，，即，表示直线在轴截距的倍，依据图象知，当直线过点，即时，最大为.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的计算实力和应用实力，画出图象是解题的关键.14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则边上的高为________．【答案】【解析】分析】先利用余弦定理求出角C，然后利用面积法可求出边上的高.【详解】解：由余弦定理得，，,设边上的高为，则,所以,故答案为：【点睛】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题.15.《九章算术》商功章中探讨了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为________立方米．【答案】【解析】【分析】由题意可知此几何体是由一个圆柱和一个圆锥组合而成的，其体积是两个几何体的体积之和.【详解】解：由题意可知，此几何体是底面半径为3，高为2的圆柱和底面半径为3，高为1的圆锥组合而成的，所以其体积为，故答案为：【点睛】此题考查求组合体的体积，利用了圆柱和圆锥的体积公式，属于基础题.16.已知，向右平移个单位后为奇函数，则________，若方程在上恰有两个不等的根，则m的取值范围是________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】化简函数，其中，依据三角函数的图象变换和三角函数的性质，求得，求得，把方程在上恰有两个不等的根，转化为函数与在上的图象有两个不同的交点，结合三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，函数，其中，因为向右平移个单位后，可得，又由为奇函数，所以，即，又因为，所以，所以.由方程在上恰有两个不等的根，即方程在上恰有两个不等的根，即函数与在上图象有两个不同的交点，因为，即，又由，且，且，所以，所以当，函数取得最大值，最大值为5；当，即，函数取得最小值，最小值为；当，即，函数，要使得函数与在上的图象有两个不同的交点，则，即实数的取值范围是.故答案为：，.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，三角函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算实力，属于中档试题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.正项等比数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先推断公比不为1，再由等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）可得，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】解：（1）若公比，不成立；则由于正项等比数列，，所以，所以所以，解得或（舍去）所以；（2）【点睛】本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及方程思想和化简运算实力，属于中档题．18.在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如下．（1）计算a，b，c；（2）在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人．（）写出各组中抽取人数；（）访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．【答案】（1）；（2）（）3，2，2；（）.【解析】【分析】（1）依据题意列出方程组，解方程组即可得到答案.（2）（）首先求出抽样比，再每层抽取即可.（）利用古典概型求概率即可.【详解】（1）由题知：，解得：.（2）（）记同时观看了《机长》和《祖国》的为组，共有人，同时观看了《机长》和《攀登者》为组，共有人，同时观看《祖国》和《攀登者》为组，共有人.抽样比所以组抽取人，设为，组抽取人，设为，组抽取人，设为.（）在抽样的7人中，没有观看《祖国》的有2人，为.从人中选人共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，则人都没有观看《我和我的祖国》的只有一种，概率是.【点睛】本题主要考查古典概型，同时考查了分层抽样，考查了学生分析问题的实力，属于简洁题.19.正三棱柱中，D为中点，．（1）求证：平面平面；（2）若与平面所成角为，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取和中点，连接，依据等腰三角形的性质，证得，在线面垂直的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，证得面，进而证得平面平面；（2）由（1），得到与平面所成角，即为，进而求得，再利用三棱锥的体积公式，求得，即可求解.【详解】（1）取中点，连接，取中点，连接，由于是正棱柱，面，从而由于D中点，，所以，，在中，因为为的中点，所以又因为E，F分别为中点，所以且，则四边形为平行四边形，所以，由正棱柱，可得面，所以，所以，又由，所以面，又因为面，所以平面平面.（2）由（1）知面，可得与平面所成角，即为，又由，则，所以所以，，则，又由而，所以【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明，以及四棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的体积公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算实力.20.已知圆和动圆交于A，B两点．（1）若直线过原点，求a；（2）若直线交轴于Q，当面积最小时，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由圆和动圆交于A，B两点，得到,解得的范围，再由两圆相减，求得公共弦直线方程，依据直线过原点，即可求得实数的值；（2）由公共弦的直线方程，求得点的坐标，求得取最小值时的值，得到额方程，再结合圆的弦长公式，即可求解.【详解】（1）由圆和动圆，可得圆心坐标分别为，半径都是，因为圆和动圆交于A，B两点，可得圆心距小于半径之和，,即，解得，又由两圆相减，可得公共弦直线，因为直线过原点，可得，解得，检验成立，所以实数的值为.（2）由直线，令，即，解得，即则，所以当且仅当时取得等号，且满意，此时直线，又由圆心到直线距离为，所以弦长为.【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系，以及直线与圆的弦长公式，精确计算是解答的关键，着重考查推理与运算实力，属于中档试题.21.已知．（1）若的一条切线为，求此时的k；（2）求使得有解的最大整数k．【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】（1）若设切点横坐标为t，则，化简得，通过构造函数得，从而可得切点坐标为，再将切点坐标代入函数式中可得k的值；（2）等价于，要使得有解，即求的最大值，而，所以单减，通过赋值得到在有唯一零点，进而有，然后利用导数求范围即可.【详解】解：（1）设切点横坐标为t，，所以恒单减，而所以，从而得（2）由题意，要使得有解，即求的最大值，从而单减，而所以在有唯一零点，所以在单增，单减则，而所以由于，所以整数k最大值为0．【点睛】此题考查导数的几何意义及综合应用，通过导数探讨函数的单调性、零点等，属于较难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为：（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴