2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算一课一练含解析新人教B版必修第一册

PAGEPAGE1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算课时1集合的运算——交集、并集考点1交集1.(2024·陕西宝鸡金台区期中)已知集合A={1,2,3},B={1,3,5},则A∩B=()。A.{1,2,3} B.{1,2}C.{2,3} D.{1,3}答案：D解析：由题意,得A∩B={1,2,3}∩{1,3,5}={1,3}。故选D。2.A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},则A∩B=。

答案：{x|x是等腰直角三角形}解析：依据A∩B={x|x∈A,且x∈B}得A∩B={x|x是等腰直角三角形}。3.(2024·石家庄一中期中)已知集合M={x|-1<x<1},N={x|-1<x<2,x∈Z},则M∩N=()。A.{0} B.{0,1}C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<2}答案：A解析：因为N={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},所以M∩N={0}。4.(2024·白银靖远高一(上)期末)若集合A=(-5,2),B=(-3,3),则A∩B=()。A.(-3,2) B.(-5,2)C.(-3,3) D.(-5,3)答案：A解析：在数轴上表示集合A,B,如图所示,则A∩B=(-3,2),故选A。5.(2024·山东曹县第一中学高一月考)若集合M={(x,y)|x+y=0},P={(x,y)|x-y=2},则M∩P等于()。A.(1,-1) B.{x=1或y=1}C.{1,-1} D.{(1,-1)}答案：D解析：∵M∩P中元素是方程组x+y=0,x-y6.(2024·北京汇文中学高一月考)若A=x|x2∈Z,B=y|y+12∈A.B B.A C.⌀ D.Z答案：C解析：∵A={x|x=2n,n∈Z}为偶数集,B={y|y=2n-1,n∈Z}为奇数集,∴A∩B=⌀。故选C。7.(2024·北京东城区高一期中)设I={1,2,3},A,B是I的子集。若A∩B={1,3},则称(A,B)为一个“志向配集”,求符合此条件的“志向配集”的个数。[规定(A,B)与(B,A)不同]答案：解:写出I的子集,推断满意A∩B={1,3}的集合,∴符合条件的“志向配集”有:(1)A={1,3},B={1,3}。(2)A={1,3},B={1,2,3}。(3)A={1,2,3},B={1,3}。故符合条件的“志向配集”共3个。8.(2024·江西赣州中学高一期中)已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a}。若A∩B=⌀,求实数a的取值范围。答案：解:因为A∩B=⌀,所以可分两种状况探讨:B=⌀和B≠⌀。当B=⌀时,a≥3a,解得a≤0;当B≠⌀时,a<3a,a≥4或a<3a,3a综上可得实数a的取值范围是aa≤23或a≥4。考点2并集9.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B=()。A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{1,2} D.{0}答案：A10.(2024·成都石室中学期中)已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5},则M∪N=()。A.{x|x<-5或x>-3} B.{x|-5<x<5}C.{x|-3<x<5} D.{x|x<-3或x>5}答案：A解析：结合数轴,可知M∪N={x|x<-5或x>-3}。故选A。11.(2024·山东蒙阴一中高一月考)若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()。A.1 B.-1C.1或-1 D.1或-1或0答案：D解析：由A∪B=A可得B⊆A,∴B中元素可以为-1,1或B为空集,可求得对应的m为1或-1或0。12.(2024·辽宁本溪高级中学高一月考)已知集合A={x|-5<x≤2}。(1)若B={x|x≥m},A∪B=B,求实数m的取值范围;答案：由A∪B=B,知A⊆B,所以m≤-5,即实数m的取值范围为{m|m≤-5}。(2)若B={x|x<m},A∪B=B,求实数m的取值范围。答案：由A∪B=B,知A⊆B。又B={x|x<m},所以m>2,即实数m的取值范围为{m|m>2}。13.若集合A={2,4,x},B={2,x2},且A∪B={2,4,x},则x=。

答案：0,1或-2解析：由已知得B⊆A,∴x2=4或x2=x,解得x=0,1,±2,由元素的互异性知x≠2,∴x=0,1或-2。【易错点拨】集合交集、并集的运算,要将两集合的关系转化为元素间的关系,关键要抓住元素,看元素应满意的属性。考点3交集、并集的综合运算与应用14.设S,T是两个非空集合,且它们互不包含,则S∪(S∩T)=()。A.S∩T B.SC.⌀ D.T答案：B解析：∵(S∩T)⊆S,∴S∪(S∩T)=S,故选B。15.下列关系式中,正确的个数为()。①(M∩N)⊆N;②(M∩N)⊆(M∪N);③(M∪N)⊆N;④若M⊆N,则M∩N=M。A.4 B.3 C.2 D.1答案：B解析：由交集、并集的性质可知只有③不对,故选B。16.(2024·山西试验中学高一月考)对于集合A,B,下列关系肯定成立的是()。A.(A∩B)≠(A∪B) B.(A∩B)⊆(A∪B)C.(A∩B)⫋(A∪B) D.A≠(A∩B)答案：B解析：当A={1,2},B={1,2}时,(A∩B)=(A∪B),选项A错误;当A={1,2},B={1,2}时,(A∩B)=(A∪B),不满意真子集的条件,选项C错误;当A={1,2},B={1,2}时,A=(A∩B),选项D错误。17.设M={0,1,2,4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩N)∪(M∩P)=。

答案：{1,4,7}解析：因为M∩N={1,4},M∩P={4,7},所以(M∩N)∪(M∩P)={1,4,7}。18.已知集合A=[-4,2],B=(-1,3],P=(-∞,0]∪52,+∞。求A∪B,A∩P,(A∩B答案：解:A∪B=[-4,2]∪(-1,3]=[-4,3],A∩P=[-4,2]∩(-∞,0]⋃52,+(A∩B)∪P=(-1,2]∪(-∞,0]⋃519.设集合A={a2,a+2,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},A∩B={-3},求a的值。答案：解:∵A∩B={-3},∴-3∈B。∵a2+1>0,∴a-3=-3或2a-1=-3。(1)当a-3=-3,即a=0时,A={0,2,-3},B={-3,-1,1},这时A∩B={-3},符合已知条件;(2)当2a-1=-3,即a=-1时,A中元素a2=a+2=1,不满意集合元素的互异性,∴a=-1舍去。综上可知,a=0。20.(2024·高台第一中学高二月考)已知集合A={x|0<ax-1≤5},B=x|(1)若a=1,求A∪B;答案：若a=1,则A={x|1<x≤6},所以A∪B=x-(2)若A∩B=⌀且a≥0,求实数a的取值集合。答案：若A∩B=⌀且a≥0,则①当A=⌀时,a=0满意条件;②当A≠⌀时,a>0,A=x1由于A∩B=⌀,所以1a≥2,解得0<a≤1综上所述,实数a的取值集合为a0≤a≤12。21.(2024·泰安一中高一期中)设集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}。(1)若A∩B=A∪B,求实数a的值;答案：B={x|x2-5x+6=0}={2,3},因为A∩B=A∪B,所以A=B,则A={2,3},所以2+3=a,2×3=a(2)若⌀⫋(A∩B),且A∩C=⌀,求实数a的值。答案：因为⌀⫋(A∩B),且A∩C=⌀,B={2,3},C={x|x2+2x-8=0}={-4,2},所以-4∉A,2∉A,3∈A,所以32-3a+a2-19=0,即a2-3a-10=0,解得a=5或a=-2。22.已知A={x|a≤x≤-a+3},B={x|x<-1或x>5}。(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;答案：①当A=⌀时,A∩B=⌀,∴a>-a+3,∴a>32②当A≠⌀时,要使A∩B=⌀,必需满意a≤32,-a+3≤5综上所述,a的取值范围是a≥-1。解析：【易错点拨】在解决有关A∩B=⌀,A⊆B等集合问题时,往往忽视空集的状况,肯定先考虑⌀是否成立,以防漏解。(2)若A∪B=R,求a的取值范围。答案：∵A∪B=R,∴-a+3≥5,a≤故所求a的取值范围为a≤-2。解析：【易错点拨】在解决有关A∩B=⌀,A⊆B等集合问题时,往往忽视空集的状况,肯定先考虑⌀是否成立,以防漏解。课时2集合的运算——补集考点1补集的运算1.已知U={1,2,3,4,5},A={2,m},且∁UA={1,3,5},则m等于()。A.1 B.3 C.4 D.5答案：C解析：由已知知m∈U,且m∉∁UA,故m=2或4。又A={2,m},由元素的互异性知m≠2,故m=4。所以选C。2.(2024·河南郑州第一中学月考)设全集U={x∈N|0<x≤8},集合S={1,2,3,4,5},T={3,5,7},则S∩(∁UT)=()。A.{1,2,4} B.{1,2,3,4,5,7}C.{1,2} D.{1,2,4,5,6,8}答案：A解析：∵U={x∈N|0<x≤8}={1,2,3,4,5,6,7,8},∴∁UT={1,2,4,6,8},∴S∩(∁UT)={1,2,4}。故选A。3.(2024·衡水武邑中学高三调研)已知全集U是实数集R。如图1-1-3-1所示的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}之间的关系,那么阴影部分所表示的集合为()。图1-1-3-1A.{x|x<3} B.{x|1<x<2}C.{x|x>1} D.{x|x≤1}答案：D解析：由韦恩图得非阴影部分是由属于U,且属于M∪N的元素构成的,则阴影部分所示的集合为∁U(M∪N)={x|x≤1}。4.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)等于()。A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}答案：D解析：A∪B={x|x≤0或x≥1},所以∁U(A∪B)={x|0<x<1}。故选D。5.(2024·东营河口区一中高一月考)已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁RA)∩B等于()。A.{-2,-1} B.{-2}C.{-1,0,1} D.{0,1}答案：A解析：因为集合A={x|x>-1},所以∁RA={x|x≤-1},则(∁RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}={-2,-1}。考点2交集、并集、补集的综合运算6.已知:U=R,A={x|x≤-2或x>4},B={x|-3≤x<2},C={x|x>6},则((∁UA)∩B)∪C=。

答案：{x|-2<x<2或x>6}解析：∁UA={x|-2<x≤4},∴(∁UA)∩B={x|-2<x<2},∴((∁UA)∩B)∪C={x|-2<x<2或x>6}。7.(2024·辽宁鞍山一中高一月考)设全集U={(x,y)|x,y∈R},集合M=(x,y)|y+2x-2=1,N={(x,y)|y≠x-4},那么(∁U答案：{(2,-2)}解析：由y+2x-2=1,得y=x-4(x≠2),M表示直线y=x-4上挖掉点(2,-2)后全部点组成的集合,则∁UM表示直线y=x-4外的全部点与直线y=x-4上的点(2,-2)所组成的集合;N表示直线y=x-4外的全部点组成的集合,则∁UN表示直线y=x-4上的全部点组成的集合,∴(∁UM)∩(∁8.(2024·北京东城区高一月考)下列五个命题中,正确命题的个数为()。①A⊆B⇒A∪B=B;②A∪B=B⇒A∩B=A;③A∪B=B∪C⇒A=C;④A∪B=I⇒(∁IA)∩(∁IB)=⌀;⑤A∩B=⌀⇒(∁IA)∪(∁IB)=I(其中I表示全集)。A.2 B.3 C.4 D.5答案：C解析：①当A⊆B时,明显有A∪B=B,所以①正确。②A∪B=B⇒A⊆B⇒A∩B=A,所以②正确。③反例:A={1,2,3},B={2,3,4},C={1,2},满意A∪B=B∪C,但A≠C,所以③错误。④A∪B=I⇒∁I(A∪B)=⌀⇒(∁IA)∩(∁IB)=⌀,所以④正确。⑤A∩B=⌀⇒∁I(A∩B)=I⇒(∁IA)∪(∁IB)=I,所以⑤正确。故选C。9.如图1-1-3-2,I是全集,M,P,S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是()。图1-1-3-2A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩(∁IS) D.(M∩P)∪(∁IS)答案：C解析：依题意,由题图知,阴影部分对应的元素a具有性质a∈M,a∈P,a∈∁IS,所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁IS),故选C。考点3补集的应用10.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆∁RP,则实数a的取值范围是。

答案：{a|a≥2}解析：M={x|-2<x<2},∁RP={x|x<a}。∵M⊆∁RP,∴由数轴知a≥2。11.(2024·陕西黄陵中学月考)已知集合A={x|x2-x+a=0},B={x|x2+3x+2a=0}。若两个集合中至少有一个集合不是空集,则实数a的取值范围为。

答案：a≤9解析：假设两个集合都是空集,即两个方程均无实根,则有Δ1=1-4a<0,Δ2=9-8a<0,即a>112.设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁UA)∩B=⌀,则实数m的取值范围是。

答案：{m|m≥2}解析：∵A={x|x≥-m},∴∁UA={x|x<-m}。又∵(∁UA)∩B=⌀,∴-m≤-2,即m≥2。13.已知集合A={x∈Z|x2+ax+12b=0}和B={x∈Z|x2-ax+b=0},且满意(∁RA)∩B={2},A∩(∁RB)={4},求实数a,b的值。答案：解:由条件(∁RA)∩B={2}和A∩(∁RB)={4},知2∈B,但2∉A,4∈A,但4∉B。由此可得方程组4解得a=8∴a的值为87,b的值为-12解析：【易错点拨】在解答含有参数的问题时,千万别忘了检验,否则很可能会因为不满意“互异性”而导致结论错误。14.学校向50名学生调查对A,B两事务的看法,有如下结果:赞成A的人数是全体人数的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的三分之一多1人,问:对A,B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?答案：解:赞成A的人数为50×35=30,赞成B的人数为30+3=33记50名学生组成的集合为U,赞成事务A的学生全体为集合A;赞成事务B的学生全体为集合B,如图所示。设对事务A,B都赞成的学生人数为x,则对A,B都不赞成的学生人数为x3+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x依题意有(30-x)+(33-x)+x+x3解得x=21,则x3+1=8所以对A,B都赞成的学生有21人,都不赞成的有8人。15.(2024·山东博兴一中高一月考)设全集U=R,M={x|3a<x<2a+5},P={x|-2≤x≤1},若M⫋∁UP,求实数a的取值范围。答案：解:∁UP={x|x<-2或x>1},因为M⫋∁UP,所以分M=⌀,M≠⌀两种状况探讨。(1)当M≠⌀时,如图所示,可得3a<所以a≤-72或13≤a(2)当M=⌀时,应有3a≥2a+5⇒a≥5。综上可知,a≥13或a≤-716.(2024·山西怀仁一中期末)设全集U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}。若(∁UA)∩B=⌀,求实数m的值。答案：解:由已知,得A={-2,-1},由(∁UA)∩B=⌀,得B⊆A,∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀。又x2+(m+1)x+m=(x+1)(x+m)=0,即B中必含有元素-1,∴B={-1}或B={-1,-2}。①若B={-1},则m=1。②若B={-1,-2},则m=2。综上可得m=1或2。17.已知全集U={不大于20的质数},M,N是U的两个子集,且满意M∩(∁UN)={3,5},(∁UM)∩N={7,19},(∁UM)∩(∁UN)={2,17},求集合M,N。答案：解:由题意知U={2,3,5,7,11,13,17,19}。由(∁UM)∩(∁UN)={2,17},可知M,N中均没有2,17。