2024年高考数专项复习：数列

3、数列2024年高考数专项复习数列的概念

1.数列的概念

___________________________叫做数列.

2.数列的通项公式

数列｛an｝的与n之间的关系可以用一个公式来表示，

这个公式就叫做这个数列的通项公式.

3.数列与函数

数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,…，4)

的函数，当自变量____________依次取值时对应的一列函数值.数列的

通项公式是相应函数的解析式，它的图象是.

4.数列的分类

(1)根据数列的项数可分为、.

(2)按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：

①递增数列；②递减数列；③摆动数列；④常数列.

5.递推公式

如果已知数列仿口｝的第1项(或前几项)，任一项初与它的前一项an-1

(或前几项)间的关系可以来表示，那么这个公式就

叫做这个数列的递推公式.

题型一归纳通项公式

例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)-1,7,一13,19,…

(2)0.8,0.88,0.888,…

(3)1,0,0,0,4，0,•••

(碌1'看'招,…

探究1①此类问题常常将数列的各项结构形式分解成若干个基本数列

对应项的“和”、“差”、“积”，再进行分析归纳.

②有些数列的通项公式可以用分段函数形式表示.

③应熟记一些基本数列的通项公式.

题型二必与血的关系

例2已知数列｛加｝的前Z7项和为必，求｛加｝的通项公式.

①Sn=2n2—3z?

②

探究2%与&的关系式an=Sn—Sn-i的条件是“22,

求即时切勿漏掉〃=1即的=&的情况.一般地，

=

当〃i=Si适合%=5〃一S〃-1时，anSn—S„-i；

Si(%=1)

=

当的=Si不适合a〃=S〃一&-1时，an*c_c/

Sn—Sn-i(〃力2).

思考题2数列｛斯｝的前〃项和S”,的=1,即+i=；S"（〃=l,2,3,…），

求S”及an

题型三递推数列的通项

例3⑴设数列｛%｝中，的=2,a„+i=a„+n+l,则通项时=.

⑵为=1,竽="+1,则通项时=.

（3）。1=1,G〃+I=3G〃+2,则通项时=.

（4）«„>0,今工=’双，则通项“=.

小结：

1.已知数列的前几项，写出数列的通项公式，

主要从以下几个方面来考虑：

①符号用（-1）〃或（一1）。+1来调节，这是因为A和A+1奇偶交错.

②分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母

的关系.

③对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他

方法来解决.

④此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察规律、

类比已知数列、转化成特殊数列（等差、等比）等方法.

2.曲与an之间两种转化途径，注意27=1和〃N2两种情况.

3.由的求an时，注意。=1和〃>1两种情况，最后看二者是否统一.

等差数列

1.数列的概念

___________________________叫做数列.

2.数列的通项公式

数列｛an\的与n之间的关系可以用一个公式来表示，

这个公式就叫做这个数列的通项公式.

3.数列与函数

数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,…，/?｝）

的函数，当自变量___________依次取值时对应的一列函数值.数列的

通项公式是相应函数的解析式，它的图象是.

4.数列的分类

(1)根据数列的项数可分为、.

(2)按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：

①递增数列；②递减数列；③摆动数列；④常数列.

5.递推公式

如果已知数列仿力的第1项(或前几项)，任一项初与它的前一项an-1

(或前几项)间的关系可以来表示，那么这个公式就

叫做这个数列的递推公式.

题型一归纳通项公式

例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)-1,7,一13,19,…

(2)0.8,0.88,0.888,…

(3)1,0,T，0,0,0,•••

探究1①此类问题常常将数列的各项结构形式分解成若干个基本数列

对应项的“和”、“差”、“积”，再进行分析归纳.

②有些数列的通项公式可以用分段函数形式表示.

③应熟记一些基本数列的通项公式.

题型二Sn与an的关系

例2已知数列｛an｝的前A项和为切，求｛az?｝的通项公式.

①Sn=2n"2—3/?

②Sn=3~n+b

探究2%与Sn的关系式a.=S"—S『i的条件是"》2,

求即时切勿漏掉”=1即可=&的情况.一般地，

=

当适合an—Sn—S”-i时，anSn-S”-i；

[Si(〃=1)

当不适合a“=S"—S“-i时，,、八

[Sn—Sn-i(〃力2).

思考题2数列｛厮｝的前〃项和S.，ai=l,即+i=|S"(〃=l,2,3,…),

求S”及an

题型三递推数列的通项

例3⑴设数列｛时｝中，«1=2,即+1=%+叶1,则通项“=.

⑵的=1,竽="+1,则通项时=________.

%

—，—i_cm心田币—

小结：

2.已知数列的前几项，写出数列的通项公式，

主要从以下几个方面来考虑：

①符号用(一D"或(一1)。+1来调节，这是因为Z7和27+1奇偶交错.

②分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母

的关系.

③对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他

方法来解决.

④此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察规律、

类比已知数列、转化成特殊数列(等差、等比)等方法.

2.2?与初之间两种转化途径，注意27=1和两种情况.

3.由的求即时，注意。=1和〃>1两种情况，最后看二者是否统一.

等比数列

知识要点：

一、等比数列的判定及证明

证明一个数列是等比数列的方法主要有两种：一是利用等比数列的定义，

即证明a"an=q(qWO,nGN+)；二是利用等比中项法，即证明6m)“2=

anan+2W0(〃GN+).在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件

式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结

论.判断一个数列不是等比数列只需举出一个反例即可.

例1、设数列改数的前n项和为Sn,已知ai=l,S„+i=4a„+2.

⑴设b“=an+i—2a",证明：数列｛bj是等比数列；

(2)求数列｛4｝的通项公式.

二、等比数列中基本量的计算

等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，解决此类问题的关

键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善

于运用整体代换思想简化运算的过程.尤其要注意的是，在使用等比数列

的前〃项和公式时，应根据公比g的情况进行分类讨论.

例2、(1等比数列｛an｝中，|al|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an=()

A.(-2)"-1B.—(—2)“T

C.(-2)°D.-(-2)n

(2)设S?为等比数列｛的｝的前〃项和，已知3&=a—2,3£=a—2,则

公比Q=()

A.3B.4

C.5D.6

(3)(2010年高考辽宁卷)设｛斯｝是由正数组成的等

比数列9Sn为其前〃项和•已知°2。4=1，53=7>

则s5=()

变式训练1数列｛an｝中，ai=l,a2=2,数列｛为•劣+J是公比为q

(q>0)的等比数列.

(1)求使anan+i+an+ian+2>an+2an+3(nGN+)成立的q的取值范围；

⑵若b„=a2n-i+a2n(nGN+),求｛bn｝的通项公式.

三、等比数列的前〃项和及其性质

等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变

形，三是前〃项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变

化特征即可找出解决问题的突破口.

例3、在等比数列｛aj中，ai最小，且ai+a»=66,a2•a„-i=128,

前n项和Sn=126,

⑴求公比q；

⑵求n.

2.等比数列其他性质.

(1)若数列｛%｝是等比数列,则｛叫｝(存0),｛m｝,｛片｝,

｛5｝也是等比数列，若也｝是等比数列，则｛6也｝也

是&比数列.

⑵数列"机，〃机+4，+249°帆+34，…仍成等比数列.

(3)若等比数列｛册｝的项数为2〃,则||=q,其中S偶，

S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和.

(4)皆=广(机，〃£N+).

a帆

四、等比数列的综合问题

在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、

等比数列的定义、通项公式及前〃项和公式是解决问题的关键.

例题4

变式训练2(2009年高考山东卷)等比数列｛%｝的

前〃项和为S”，已知对任意的〃£N+,点(〃，Sn)

均在函数尸"+『3>0且厚1,仇r均为常数)的

图像上.

⑴求r的值；

1

⑵当。=2时，记瓦,="(〃WN+),求数列｛儿｝的

前n项和Tn.

方法感悟

1.等比数列的判定方法有以下几种：

(1)定义：乎1=以4是不为零的常数，〃WN+)今｛明｝

是等比数列：

(2)通项公式:G.=C/(C、Q均是不为零的常数,〃£N

+)台｛%｝是等比数列.

(3)等比中项公式：G”+la/jan+2(G，JGn+l/Gn+2/°，

〃£N+)台｛“”｝是等比数列.(如例1)

2.方程观点以及基本量(首项和公比al,q)思想仍然是求解等比数列问题

的基本方法：在al,q,n,an,Sn五个量中，知三求二.

3.等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基

础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快

捷地解决许多等比数列问题.

4.解决等比数列的综合问题时，首先要深刻理解等比数列的定义，能够

用定义法或等比中项法判断或证明一个数列是等比数列；其次要熟练掌握

等比数列的通项公式与前n项和公式，能够用基本量方法和等比数列的性

质解决有关问题.

数列的求和问题

知识要点：

(1)等差、等比数列求和

(2)裂项相消法

(3)倒序相加法

(4)错位相减法

(5)常用的求和公式

典型例题

例1.已知列｛x“｝的首巧=3,Xn=2"»p+n.q

(nGN*,p,q是常)，且,巧事成等差列。

(1)求p,q的值；

(2)求列｛xj的前n和S.

例2.已知数列｛4｝的前几项和为S"，S=n2.

⑴求证：数列｛4｝为等差数列；

(2)求和:——++」—(九22).

%Cl?。2"31"八

例3.求S=1+2%+3x2+4%3++(3+1)•

的值.

例4.已知数列｛4