晋城市2024年高三第三次模拟考试数学试卷（含答案解析）

试卷类型:A卷

晋城市2024年高三第三次模拟考试试题

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的

1.已知复数z输足2—zi=l+i,则z=

A.-1-iB.l-iC.l+iD.-l+i

2.已知集合A=（a：eZ|H+l>0},B={H|Z&Z},若AflB中有2个元素，则a的取值范围是

A.[2,4）B.[l,2）C.[2,4]

3.某学生通过计步仪器,记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：

558860548799985199011011111029112071263412901

13001130921312713268135621362113761138011410114172

14191142921442614468145621462115061156011590119972

估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为

A.14292B.14359C.14426D.14468

4.若函数y=/1（工）-1是定义在R上的奇函数，则f（-D+y（0）+f（D=

A3B.2C.-2D.-3

5.有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑

球,现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概

率为

6.已知F1,Fz分别是双曲线C居一狼=1（6>。）的左、右焦点,M是双曲线C右支上的一个动

点，且的最小值是8乃，则双曲线C的渐近线方程为

A.y=±*8.?=±笈2C.y=±-x口k土条

7.已知圆O：/+y=i,过点A（2,0）的直线Z与圆。交于B,C两点,且9=的，则=

A.2B.5C.72D.噂

8.如图，圆01和圆Q外切于点P，A,B分别为陋】和圆Q总动V'St厂、2

点,已知圆01和圆。的半径都为1,且谈•河=一1，贝。国+（

成产的最大值为

B.4

A.2

D.2V3

C.272

【高三数学第1页（共4页）】

二、选搽题沐题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9,一般地，任意给定一个角aSR,它的终边0P与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还

是纵坐标"都是唯一确定的,所以点P的横坐标力、纵坐标y都是角a的函数.下面给出这

些函数的定义：

①把点P的纵坐标y叫作a的正弦函数，记作sina,即ksina;

②把点P的横坐标工叫作a的余弦函数，记作cosa,即2=cosa;

③把点P的纵坐标》的倒数叫作a的余割，记作esca,即—•=esca;

④把点P的横坐标土的倒数叫作a的正割，记作seca,即2=seca.

下列结论正确的有

A.esc^=-72

4PG,y)XT''X

B.cosa,seca=l

C.函数/(x)=cscx的定义域为｛久I巧缺晟

D.sec2a+sin2a+esc2a+cos2

10.如图1,在等腰梯形ABCD中,AB〃CD,EF±AB,CF=EF=2DF=2,AE=3,EB=4,将

四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A'D'位置,且平面A‘D'FEJ_平面ECFE,连接

A'BQ'C,如图2,则

D.直线A'»与平面BCFE所成的角为点图1图2

11.已知函数/(^)=e|2+i|,函数，且4Vo，定义运算a®b=设函数

无(力=穴外区g(z)，则下列命题正确的是

A.h(x)的最小值为春

Li

B.若无电)在［0,山2］上单调递增，则k的取值范围为(一8,—21n21

C.若女幻=加有4个不同的解，则次的取值范围为(1,eT52+a)

D.若h(xy)=m有3个不同的解为,xz,例，则21+亚+23=0

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.已知F为抛物线C：：/=2扭：(力＞0)的焦点，点P(1,—2)在抛物线C上，直线PF与抛物线

C的另一个交点为A,则\AF\=_A一•

13.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2shiA=6sinC,(a+c)z=18+62，则

△ABC的面积为▲.

14.已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为1+J2,高为100,现有若干个半径为其的实心

球，则该圆柱形容器内最多可以放入一^__个这种实心球.

【高三数学第2页(共4页)】

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知数列匕力的前n项和为S„，且S„=jn(n+1).

(1)求｛%｝的通项公式；

」一,曾为奇数，

⑵若数列也｝满足AT"求值｝的前2〃项和r2n.

2","为偶数，

16.(15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD内存在一条直线EF与AB平行,PAJ_平面ABCD,直

线PC与平面ABCD所成的角的正切值为亨,PA=BC=2乃,CD=2AB=4.

Li

(1)证明：四边形ABCD是直角梯形.

(2)若点E满足度=2电，求二面角P-EF-B的正弦值.

17.(15分)

某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况,

用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设A="抽取的学生期末统考

中的数学成绩不及格”,B="抽取的学生建立了个性化错题本”，且P(A|B)=4，P(B|N)

52

63

⑴求P(A)和尸(A|B).

(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值a=0.005的独立性检验，分析

学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关.

期末统考中的数学成绩

个性化错题本合计

及格不及格

建立

未建立

合计

【高三数学第3页(共4页)】

（3）为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36%的样本

（假设根据新样本数据建立的列联表中,所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的4

倍,且新列联表中的数据都为整数）.若要使得依据a=0.001的独立性检验可以肯定（2）

中的判断,试确定左的最小值.

参考公式及数据川=（.+»（：腐部;）“十°严一+叶c+"

a0.010.0050.001

工U6.6357.87910.828

18.（17分）

平面几何中有一定理如下:三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）

的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知△ABC的垂心为D,外心为

E,D和E关于原点O对称,A（13,0）.

（1）若E（3,0）,点B在第二象限，直线BC_Lx轴，求点B的坐标；

⑵若A,D,E三点共线，椭圆1号+$=15>6>0）与AABC内切,证明:D,E为椭圆T

的两个焦点.

19.（17分）

已知函数f（6=asina+icosx.

（1）若a=0,求曲线夕=/（为在点处的切线方程;

（2）若工£（一兀,兀），试讨论穴外的零点个数.

【高三数学第4页（共4页）］

A卷答案

晋城市2024年高三第三次模拟考试试题

数学参考答案

1.A【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.

因为2—zi=l+i,所以c==^=-l-i.

-I

2.B【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养.

因为ADB中只有2个元素，则AnB={0,H,所以14，V2.

3.C【解析】本题考查统计，考查数据分析的核心素养.

由30X75%=22.5,可知样本的第75百分位数为第23项数据，据此估计该学生垃近30天每

天走的步数数据的第75百分位数为14426.

4.A【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养.

设F(.r)=/(1)一1,则F(x)+F(—1)=0,即/(x)-1+/(一1)-1=0,所以/(1)+/(—1)

=2.因为F(0)=/(0)—1=0,所以=(—l)+f(0)+f(l)=2+l=3.

5.B【解析】本题考查概率，考查逻辑推理的核心素养.

所求概率？=第*2=4.

6.C【解析】本题考查双曲线,考查数学运算的核心素养.

解法一:不妨设B(—c,0)，B(c，0)，MCro，%),且劭>2,贝ij/一|2=(ao+c)2+

式一［(工。，)2+旬=4口。28一所以8c=8疝，解得c=向"=笈，故双曲线C的渐近线方

程为y=±考

解法二：IMF/?一［MF?「=(|-IMF?I)(|MF1|+IMF?|)=4(IMF1|+IMF?|)=

4(4+2|MFzI)>4［4+2(c—2)］=8c,所以8c=8而，解得c=而,〃=夜，故双曲线C的渐近

/|OC|2+|OA|2-2|OC|•|OA|•cos/COA=76，所以|BC|二喀.

8.D【解析】本题考查平面向■，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.

~P\•普=(两+ZH)•(屈+型)=菊•肥+珂•通+刑••砸

=-1+弱•(碗—郎)+引•◎=-1,所以［取•显|=|弱•(碗一型)|《

【高三数学•参考答案第1页(共7页)】•

|&也一郎所以|小演•|Z+|O3|2-2QA•霓当即•可5|z+

2G・m一240,解得一1一点•确《-1+禽.

|超+冲|2=［两+逐+屈+碇［2=|编+确|2=|互|2+|碇|2+2码・

确=2+2罚•G<2+2X(-1+点)=2底

9.ABD【解析】本题考查三角函数,考查数学抽象的核心素养.

esc苧=-^7-=-72,A正确.cosa,seca=cosa,---=1,B正确.

4.OKCOSa

sinT

函数f(z)=cscx的定义域为｛■ZIZHAK,&GZ),C错误.

sec2a+sin2a+csc2a+cos2a=H----+\=1+.~~g~=l+5,当sin2a=

cosasma?sin-acosa.sin2a，

±1时，等号成立,D正确.

10.ABD【解析】本题考查立体几何初步,考查直观想象的核心素养.

因为平面A'D'FE_L平面BCFE,平面A'D'FEn平面BCFE=EF,BE_LEF,所以3£：_1平

面A'D'FE,所以BEJ_A'D',A正确.

因为A'E〃D'F,BE〃CF,A'EnBE=E,D'FnCF=F，所以平面A'EB〃平面OFC,B正确.

因为露六焉'所以多面体A，EBCD，F不是三梭台，c错误.

延长A'D',EF相交于点G（图略）,NA'GE为直线A'D'与平面BCFE所成的加因为A'E

〃D'F,所以霆解得GF=1,GE=3.12!!/人'6£=镖=1,则/4（七=£,口

正确.

11.AC【解析】本题考查基本初等函数，考查逻辑推理及直观想象的核心素养.

(11

产-z,4彳，

匹产T；=1e-

/(x)=e|-r+*1=gU)♦与|=

ei,MV-A,2

22,

令，解得z，＞-2!n_2.

乙o

当一誓《AVOn寸，作出函数f（外和gGr）的图象，如图1所示.

O

此时,九（才）=€（］）.

【高三数学•参考答案第2页（共7页）】

e-珈2+N若灰］）在［o/n21k单调递增，则m=去In2—1-）>ln2,解得Z<-2ln2.

乙乙

因为当一组上《儿V0时，/］（］）在［0,+8）上单调递增，所以k的取值范围为（一8,

*5

-21n21U］一红髻,0），B错误.

O

若h（H）=m有3个不同的解©,现，工3,则结合图象可得^'i+x2+a：3=2X-^-+（—2k—x0）

4

=—y（ln2+等）或0,1+a-2+^3==2X4--A=O,D错误.

若灰才）=］〃有4个不同的解,则〃4（1,e-2（ln2+掷）,C正确.

12,2【解析】本题考查抛物线，考查数学运算及直观想象的核心素养.

由题意可得（-2）2=2/）Xl,解得〃=2,则F（1,O）,直线P尸与彳轴垂直,A（1,2）,|AF|=2.

13.挈【解析】本题考查正弦定理和余弦定理，考查数学运算的核心素养.

乙

因为/sinA=6sinC,所以ac2=6c,即ac=6.因为（a+c）2=18+〃，所以a2+c2—lr=18—

__a2+c2-Zr_1._"734.1.__1.口_3禽

加0c=6c,cosnB=--赤-----=2,sinBR一故Sc&w—5acsinB---

14.49【解析】本题考查立体几何初步,考查直观想象的核心素养.

如图，将第1个实心球。犯近该圆柱形容器侧面放过，球Q上的点到该圆

柱形容器下底面的最大距商为2将第2个实心球Q也整近该圆柱形容

播恻面放壮，过点O,作OiA垂直于该圆柱形容器的母线，垂足为A,过点

O2作5B垂直于该圆柱形容器下底面，垂足为8,设O1AnOzB=C.AC=

BC=&,C0尸2,CO2=JOI堡-C5=2,

球02上的点到该圆柱形容器下底面的最大距商为2+2x/2.

同理可得球。3上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为4+272.

由此规律可得，每多放一个球，母上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的

最大距离加2.

因为48X2+2A/2<100<49X2+2^,

所以该圆柱形容器内坡多可以放入49个这种实心球.

15.解：（1）当〃=1时,《=Si=l.......................................................................................1分

11

当”》2时S_i=*7〃（〃+1）一■尹GLD=〃,..............................................3分

当〃=1口寸，也符合魇=〃.....................................................4分

综上,a”=7i.........................................................................................................................5分

⑵“竹号一圭）"为奇数，..............................................7分

12一〃为偶数,

则72）,=（仇+仇+…+^-1）+（仇+仇+…+%）...............................8分

=*1一•1）十号-4）+（1'7）+…+（高一土）H*+2+・.+2新…10分

"筹+”12分

【疡三数学•参考答案第3页（共7页）】

〃I4用一4

分

2〃+13-13

16.(1)证明：因为AB〃EP,EFU平面PCD,所以AB〃平而PCD.................................1分

因为ABU平面ABCD,平面ABC。。平面PCD=CD,所以AB〃CD......................2分

连接AC,因为PAJL平面ABCD,所以NPCA是PC与平面ABCD的夹角，........3分

贝iJtan/PCA=^=^^=^，解得AC=4...............................................................4分

因为AB=2,BC=2四，所以，所以ABJ_BG................................5分

因为A8¥CD,所以四边形ABCD是宜角梯形...................................6分

(2)解:取CD的中点M,连接AM,以人为坐标原点建立如图所示的空间直向坐标系，

贝|」？(0,0,2痣),。(2反一2,0)。2禽,2,0),8(0,2,0),兄5=(0,2,0),死=(2四,2,

-2>/3),P/5=(273,-2,-2X/3).................................................................................8分

由屈=2瓦5,得E(峥,一|■，零),则旗=(峥，一当，毕)................9分

*500JJJ

设平面PCD的法向苗为n=,

伍•定=2窝H+2y—2伍z=0,一g

则<可取n=(l,0,D.11分

n•。小=2虑2一2_y—2焉N=0,

同理可求得平面ABE的一个法向量为加=(1,0,—2).…12分

设二面角P-EF-B的平面角为6,

n•inyiO^.〃3

则18s夕|=[cos〈n,〃D|=|前厨|t一丁,9方……

................................................14分

故二面角的正弦值为电黑.

P-EF-B15分D

17.解：(1)因为P(A回=4，P(B|7)="1,所以P(A|B)=vtP(B|A)=4.

OOO01分

P(A\B)•P(B)=P(B|A)・P(7),解得P(3)="1,所以P(A)=J.…

oo2分

P(A)=P(B)•P(A|B)+P(B)・P(A|B),解得P(A|B)=《.........分

04

(2)

期末统考中的数学成绩

个性化借题本合计

及格不及格

建立20424

未建立4812

合计241236

....................................................................................................................................6分

零假设为H。：期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关.

【高三数学.参考答案第4页供7码公众号―运髯者种指南

根据列联表中的数据，经计算得到片=啮第若志/=9>7.879=10.005.……9分

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为期末统考中的数学成

绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005................10分

C”=1(a+l+c+〃)•kd-kb•kc)?__£(a+:+c+〃)(ad-be)2—

Xk(。+。)•£(c+d)•Ma+c)•k(b干d)(a+4)(c+〃)(a+c)(0+〃)

=9Zr>10.828,解得党里...............................................13分

要使新列联表中的数据都为整数,则需必£Z................................14分

又因为，心也誓当江8,所以然的最小值为5,故Zi的最小值是乐..........15分

Zf

18.(1)解：因为E(3,0),所以D(—3,0)........................................1分

设BC与才轴的交点为F(一"〃0),由题意可得|AD|=2|EF|,即13+3=2G〃+3),解得/〃

=5...................................................................3分

设股一5,〃)，因为|BE|=|AE|,所以|BF|2+|EF[2=|AE|2,

则(3+5)2+〃2=(=一3)2,解得〃=6.

所以3(—5,6)..........................................................5分

⑵证明：因为D和E关于原点。对称，且A,D,E三点共线，所以A,D,E,O四点共线，即

点A,D,E,0都在二轴上......................................................6分

因为AD是ZWBC的高，所以AD_LBC,即BC±JC轴.

因为△ABC的外心为E,所以|BE|=|CE|,所以点B与点C关于:r轴对称.......7分

设BC与x轴的交点为尸(一“，0),B(一〃7切)，C(一〃?，一〃)，D(—s,0),E(5,0),

由感意可得|AD|=2|EF|,即13+s=2G〃+s),化荷得s=13—2〃?..............9分

直线CD的斜率为』=就示,直线AB的斜率为一局，

所以产下・(一在-)=-1,化简得/=(3加一13)(777+13)①..............11分

3〃z—1313十〃7

直线AB的方程为)=一修云小一13).

椭圆丁号+奈=l(a>〃〉0)与ZWC内切，所以a=〃i......................12分

^[62（13H-/H）2+w2;r]2：Z—26/；22772o:+169w27z2—w2Z>2（13+w）2=0............13分

4=（26〃/7产）2—4[〃2（13+〃?）2+〃?27,[[]69〃/72一〃[2〃（]3+〃7）21=0,.............分

即169〃2（13+加）2—〃2（13+〃力"一〃97产（13+加）2=0.

因为（13+7"）2H=0,所以169〃2—〃（13+/"）2—"y7产=0,

【高三教学•参考答案第5页(共7页)1

即（13+“）（13一/〃）77—〃（13+〃7）2=0,即（13一m），/2—62（13+;n）=0.

结合①可得〃2=（13—"?）（3〃?-13）..........................................16分

设描圆T的焦距为2c,则/="标一〃2=〃产一（］3—〃］）（3］〃-13）=（2］〃-13）2=/,

所以D，E为相圆T的两个焦点...............................................17分

19.解：（1）当"=0时"CZ）=NCOSZJ（0）=0......................................1分

/（Z）=COSH—j.-sinX-,f（0）=1...............................................2分

故曲线y=f（z）在点（0,1（0））处的切线方程为...........................4分

（2）因为/（一元）=一/（力,所以/（尤）为奇函数.

又因为/（0）=0,所以只需要讨论八外在（0,兀）上的零点.......................5分

f1（z）=（a+l）cosx-zsin/,f（0）=a+l.

令函数g（c）=r（z）=（a+l）cos尤一arsinx,g（.x}=-（a+2）sinx-xcosx......6分

①当a+l＞0,即”＞一1时，分段讨论：

当aW［自，式）时,/GzOVO.

当zG（0,为州寸,g'（z）V0,所以g（z）在（03）上单调递减，即/（z）在（0市）上单调递减.

乙乙乙

因为/（0）=4+1＞0,/（君）=一与＜0,所以存在死£（0啬）,使得，5）=0.