2024年中考数学集训：矩形的判定与性质

考点23矩形的判定与性质

命题点1矩形的判定

1（2023岳阳）如图，点〃在口相口的边”上，吩/请从以下三个选项中

①/1=N2,②AM=DM,③/3=N4,选择一个合适的选项作为已知条件，使口/皿为矩

形.

⑴你添加的条件是（填序号）；

⑵添加条件后，请证明口力也为矩形.

2（2023新疆）如图,和W相交于点O/ABO=/DCOHQB=OC£F6刻是AO.DO

的中点.

⑴求证：。£=。叶

⑵当//=30。时，求证:四边形应皆是矩形.

3（2023贵州）如图，在Rt△力欧中,NCR0。，延长CB至〃使得BD=CB过点4。分别

作AE〃BD,DE〃BA,AE与庞相交于点E.下面是两位同学的对话:

/小星：由题目的已知

条件，若连接BE,则

：可证明BEJ.C0.

:小红：由题目的已知：

:条件，若连接CE,则；

:可证明

1CE=OE.I7

⑴请你选择一位同学的说法，并进行证明;

⑵连接思若”书VX卷总求”的长.

命题点2矩形性质的相关证明与计算

4（2023杭州）如图,矩开乡/皿的对角线阳劭相交于点0.若/408=60°取喘=

)

DV3-1cV3

D.------C.D

A-I22-T

A

（第4题）（第5题）（第6题）

5（2023黄冈）如图，矩形相切中,四=3,a%以点6为圆心，适当长为半径画弧，分别

交国劭于点£内再分别以点£方为圆心次于的长为半径画弧交于点修乍射

线助过点。作郎的垂线分别交坳”于点财侧小的长为（）

A.VloB.VT1C.2V3D.4

6（2023宁波）如图,以钝角三角形N心的最长边W为边向外作矩形式班;连接AEM

设△/切△力应;△力切的面积分别为SS,S,若要求出s-s-S的值，只需知道（）

A.△月龙的面积B.△力切的面积

C.4ABC的面积D.矩形BCDE的面积

7（2023贵州）如图，在矩开?"切中，点£为矩形内一点，且AB=Y,AD=^,

/BAE和。，/BCE=60。厕四边形力叱的面积是.

8（2023陕西）如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC4点£在边上，且⑷=3/〃分别是边

N4以上的动点，且朝创尸是线段方上的动点，连接PM.PN.若班/¥2,则线段PC

的长为.

9（2023温州）如图，已知矩形ABCD,彘£在力延长线上，点厂在W延长线上，过点F

作FH1EF交切的延长线于点〃连接AF交"于点G,GE=GH.

⑴求证:龙二或

⑵当署时，求）的长.

卜H6

V.BCF

10（2023烟台）【问题背景】

如图⑴，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形/皿进行如

下操作:⑦分别以点4c为圆心，以大于匏。的长度为半径作弧，两弧相交于点E,F,

作直线砂交以于点〃连接1。②|各△4?。沿N。翻折，点8的对应点落在点。处,

连接力「并延长，交切于点a

【问题提出】

在矩形/皿中，物书,48=3,求线段％的长.

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下.

方案一：连接制如图⑵，经过推理、计算可求出线段&的长.

方案二:将△相。绕点。旋转180°至△ACO处,如图⑶，经过推理、计算可求出线

段％的长.

请你任选其中一种方案求线段）的长.

答案

1第一种答案：

⑴①

⑵证明：丁四边形力皿是平行四边形,

.\AB=CD,AB//CD.

AB=DC,

在△月砌和r中,=Z2,

,BM=CM,

.：LAB侬△ZO(SAS),.：ZA=ZD.

；AB〃CD,；.NA+/D=\8G°,

/.ZA=ZD^Q。，二口力比P是矩形.

第二种答案:

⑴②

⑵证明：:四边形力是平行四边形，

.".AB=CD,AB//CD.

AB=DC,

在△/砌和△加J/■中/AM-DM,

BM=CM,

.：△力^^△〃WSSS）,.：N4=N〃

VAB//CD,/.ZA+ZD=180°,

.：/4=/%90。，二口力“是矩形.

2证明:⑴在△麴〃和△%口中，：,/力80=/比次90°,BO=CO,ZAOB=ZDOCI

.：△加兹△〃制

•：OA=OD.

丁£6分另U是力，。。的中点，

11

.".OE^OA,OF^OD,

・：OE=OF.

（2）\-BO=CO,OE=OF,

•：四边形应底是平行四边形（依据:对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

:在Rt△相。中,£是/。的中点，

；.BE=AE=EO.

又VZA=3Q°,.".ZAOB=60°，.:是等边三角形，

.'.OB=OE,

；.EF=BC,

.：四边形皮底是矩形（依据:对角线相等的平行四边形是矩形）.

3⑴选择小星.

证明：：2£〃坳庞〃曲

.：四边形/瓦应是平行四边形，.:月斤被

又BD=CB,

.".AE=BC,

•:四边形月鹿是平行四边形.

又/ACB秘°,

,:四边形力鹿是矩形，.:BELCD.

选择小红.

证明:连接跳：

VAE//BD.DE//AB,

.：四边形/火是平行四边形，

.".AE=BD,AB=DE.

又BD=CB,

.：AE=BC,

.：四边形力鹿是平行四边形.

又VZACB^Q°,

•:四边形/鹿是矩形，

.".AB=CE,

.".CE=DE.

⑵由穿3,可设力力用/。=3%则BDWx,CDAx.

/IC3

在Rt△4?。中，根据勾股定理彳导A0=C0+AO,

即（5/）H4x）H3x）：解得产爪（负值已舍去）,

・：/。=3才=3鱼.

4D1四边形是矩形•:处兹小々（依据:矩形的对角线相等且互相平

分），/ABCWO。，又VZA0B=6Q°，.:8AOB是等边三角形，.：/切CWO°,.：煞雪,

故选D.

5A7四边形相切是矩

形.，AD〃B&AD=BCa,CD=AB3/BCD5°，.:劭国声¥书.设此GV交于点G.

由作图可知N%C=

N奶G又

BG=BG,/BGC=/BGM冯0°4BG8△方颂ASA）,.：BM=BC4,.：DM市-4=1.VAD//B

0.A....DNDMmnDN1

C,•.XDnMNrsXABMmfCr,.•前即丁N，

:.DNA,；.CN=^/CD2+DN2^10.

6C如图，过点A作笈的平行线，交旗的延长线于点Fm交加的延长线于点G则

四边形BCGF为^!,•,.FG=BCAFLBE.AGLCD,

.：S^BE•AF8夕D•AG,:.S\+*BE{AF+AG

)•BC^SBCDEI•:S=S/\ABc+S矩形

BCDE~1S\+$)=S/^ABC~^S矩形BCDEi•:S^Sl~S>=5k胸5s矩形BCDE~

2s矩形BCDE=S/\ABC-故选C.

AG

oF

ED

7V3-f

【解析】如图，连接阳过点£分别作应U在于点££C力。于点&EHLCD于点H,

则四边形EFDH为矩形.在Rt△/以中

________RC

AMB2+BC23,tanN上。焉S,.：N阴CWO°,.：/4％=30°,ACAE=ABAE-ZB

AD

AC=15°,又/DAE=/BAD-/BAE=15。，二月£平分N的C同理四平分/月以.：点E

是AACD的内心，.：EF=EG=ERD左明匹版£克侬（侬据:切线长定理），.：四边形

珏如是正方形,

收1

DF+DH=AD+CD-ACm+1乜动T,.：EG=EH=DF当声,.：S四边形

ABCE=S/\ABC+S^ACB^XIXy13gX2冢g-

82V2

［解析］:ED々=AB=CD,/D冯G0/DCE<5°ZECB=ZECD.在0上找点”，

使避匚0（关键辅助线:结合特殊角构造全等三角形）.如图

（1）,:CM=CN/PCN'=/PCN,CP=CP,，4CPN'空△CPN,.：PN=PN'.：PM+PNA；.PM+

PN'a.如图⑵，过点〃作切的垂线，垂足为点Q,:BCLCDBCA；.PM+PN'=BC=MQ,；.

点尸在畋上，点”与点。重合（依据:垂线段最短）.设朝浏^易得四边形BMQC

是矩形，

.：CQ=BM=BN=m,^_CN=CQ=m.：BCA.：CQ=CN=BNN,.：CP皂立.

图⑴图⑵

9⑴证明：丁方，仍比二绢

.：GE=GF=GH,.：ZGFE=/E.

丁四边形/“是矩形,

.：AB=CD,/ABC=/DCB秘°,

.：AJ5^AZ26E(AAS),

.：BF=CE,EC-BC=BF-BC我BE=CF.

⑵易知CD〃FH‘；.ADCEsAHFE,；号端.

•Tn-AH,CD_AB_5

,CD-AB,,何FH飞

设BE=CF=x,:'BC=AD工,.：CE=x%EF2x%

•:玛磊解