2009-2010一学期微积分考卷b答案

20092010一学期微积分考卷B一、选择题（每题1分，共5分）1.下列函数中，哪个函数是奇函数？A.y=x^2B.y=x^3C.y=|x|D.y=e^x2.定积分∫(from0toπ)sin(x)dx的值为？A.0B.1C.1D.π3.微分方程y''y=0的通解为？A.y=C1e^x+C2e^xB.y=C1sin(x)+C2cos(x)C.y=C1x+C2D.y=C1e^x+C24.函数f(x)=x^2在x=0处的泰勒展开式为？A.f(x)=x^2B.f(x)=x^2+xC.f(x)=x^2+1D.f(x)=x^2+x+15.下列极限中，哪个是无穷大量？A.lim(x→∞)(1/x)B.lim(x→0)(1/x)C.lim(x→1)(1/(x1))D.lim(x→∞)(e^x)二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则该函数在该区间上一定可积。（）2.微分方程的解一定包含其对应的齐次方程的解。（）3.二重积分可以交换积分次序。（）4.函数的导数在驻点处必定为0。（）5.若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处一定连续。（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^33x在x=1处的导数值为______。2.微分方程y'=2x的通解为______。3.设平面区域D由y=x和y=x^2围成，则二重积分∬Ddxdy的值为______。4.函数f(x)=ln(x)的不定积分是______。5.曲线y=e^x在点(0,1)处的切线方程为______。四、简答题（每题2分，共10分）1.简述罗尔定理的内容。2.什么是函数的极值？如何求函数的极值？3.举例说明如何使用换元积分法求解定积分。4.什么是泰勒公式？简述泰勒公式的应用。5.简述定积分与不定积分的关系。五、应用题（每题2分，共10分）1.求函数f(x)=x^36x^2+9x在区间[0,3]上的最大值和最小值。2.计算定积分∫(from0to1)(1+sin(x))^2dx。3.求微分方程y''+2y'+y=e^x的通解。4.求曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程和法线方程。5.已知平面区域D由y=x和y=x^2围成，求D的面积。六、分析题（每题5分，共10分）1.设函数f(x)=x^33x+2，求证：在区间(∞,+∞)上，函数f(x)有且仅有一个零点。2.已知某物体在直线上的运动方程为s=t^22t+1（其中s为位移，t为时间），求物体在t=2时的速度和加速度。七、实践操作题（每题5分，共10分）1.利用微积分基本定理，求函数f(x)=x^2在区间[1,3]上的平均值。2.给定函数f(x)=e^x，求曲线y=f(x)在x=0处的曲率。八、专业设计题（每题2分，共10分）1.设计一个函数，使得其在区间(0,π)上单调递增，在区间(π,2π)上单调递减，并且在x=π处取得最大值。2.给定函数f(x)=x^24x+3，设计一个算法求该函数的零点。3.设计一个积分过程，计算由曲线y=sin(x)和直线x=π,y=0所围成的图形的面积。4.设计一个微分方程，其解为y=e^(x)cos(x)。5.设计一个实验方案，用于验证微积分基本定理。九、概念解释题（每题2分，共10分）1.解释什么是导数的物理意义。2.简述定积分和不定积分的区别。3.解释什么是微分方程的阶数。4.简述泰勒公式的应用范围。5.解释什么是曲率，并说明其几何意义。十、思考题（每题2分，共10分）1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，试问f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？2.如果一个函数的导数在区间[a,b]上恒大于0，那么这个函数在该区间上是怎样的单调性？3.在什么条件下，一个函数的不定积分可以表示为一个初等函数？4.如何判断一个微分方程的解是否唯一？5.为什么在计算定积分时，要考虑被积函数在积分区间上的连续性？十一、社会扩展题（每题3分，共15分）1.微积分在经济学中的最优化问题有哪些应用？请举例说明。2.在实际工程问题中，如何利用微积分方法解决曲线拟合问题？3.微积分在生物学研究中有什么应用？请举例说明。4.如何利用微积分原理分析社会人口增长模型？5.请结合微积分知识，谈谈如何优化城市交通流量。一、选择题答案1.B2.B3.B4.A5.D二、判断题答案1.√2.√3.√4.×5.√三、填空题答案1.62.y=x^2+C3.1/64.∫(x^3dx)=1/4x^4+C5.y=x1四、简答题答案1.略2.略3.略4.略5.略五、应用题答案1.最大值f(0)=2，最小值f(2)=22.∫(from0to1)(1+sin(x))^2dx=2√3/2+π/43.y=(1/2)e^x+C1e^(x)+C2e^x4.切线方程y=3x2，法线方程y=(1/3)x+(1/3)5.面积为1/6六、分析题答案1.略2.速度v=4m/s，加速度a=2m/s^2七、实践操作题答案1.平均值(3^3+1^3)/(31)=52.曲率k=|f''(0)|/(1+[f'(0)]^2)^(3/2)=11.微分学导数的概念与计算导数的应用（极值、单调性、曲线的切线与法线）高阶导数与隐函数求导微分方程的基本概念和解法2.积分学不定积分的概念与计算定积分的概念、性质与应用积分方法（换元积分、分部积分）二重积分的概念与计算3.微积分基本定理牛顿莱布尼茨公式微积分基本定理的应用各题型所考察学生的知识点详解及示例：一、选择题考察学生对基本概念的理解，如奇偶性、定积分的基本计算、微分方程的通解等。二、判断题考察学生对微积分基本性质和定理的理解，如连续性与可积性、微分方程解的结构等。三、填空题考察学生对导数、不定积分、定积分等基本运算的掌握。四、简答题考察学生对微积分理论的理解和应用能力，如罗尔定理、极值问题、换元积分法等。五、应用题考察学生将微积分知识应用于实际问题解决的能力，如求极值、计算定积分等。六、分析题考察学生的逻辑推理和证明能力，以及对微积分理论的