第2章平面解析几何初步（培优课对称问题的解法）课件高二上学期数学选择性

培优课对称问题的解法第2章平面解析几何初步湘教版

数学

选择性必修第一册课标要求1.掌握平面上点关于点、线的对称问题的解法;2.能够根据对称思想,求解实际问题.重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标重难探究·能力素养速提升探究点一点关于点、线的对称问题【例1】

直线l:2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是(

)A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0D.2x+3y-2=0D解析

(方法1)设所求对称直线方程上的点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的对称点的坐标为(-2-x,4-y).因为点(-2-x,4-y)在直线l:2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,整理得2x+3y-2=0.故选D.(方法2)设直线l:2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线为l1,则l∥l1.设直线l1的方程为2x+3y+t=0(t≠-6).在直线2x+3y-6=0上任取一点P(0,2),点P(0,2)关于(-1,2)的对称点为P'(-2,2),将P'(-2,2)代入2x+3y+t=0(t≠-6)得t=-2.故所求方程为2x+3y-2=0.故选D.规律方法

1.点关于点成中心对称的解法若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于点P0(x0,y0)中心对称,则2.线关于点成中心对称问题的解法(1)设出所求直线上的点的坐标P(x,y),求出点P(x,y)关于M的对称点P'的坐标,将点P'的坐标代入已知直线,所得方程即为所求直线的方程;(2)根据直线l关于直线外一点M的对称直线与已知直线互相平行可得对称直线l'的斜率,再取直线l上任意一特殊点,求其关于点M的对称点,将该点代入直线l'中,即可求出直线l'的方程.变式训练1已知直线l1与l2关于原点对称,若l1的方程是x+2y-3=0,则l2的方程是(

)A.x+2y+3=0 B.x-2y+3=0C.2x+y+3=0 D.2x-y+3=0A解析

因为直线l1与l2关于原点对称,则只需将l1的方程中x改为-x,y改为-y,可得l2的方程是-x+2(-y)-3=0,即x+2y+3=0,故选A.探究点二轴对称问题角度1点关于直线的对称问题【例2】

求点A(-2,3)关于直线3x-y-1=0对称的点A'的坐标.分析

设A(-2,3)关于直线的对称点为A'(x0,y0),根据对称性的特征建立方程组求解.

解

设A'(x0,y0),由题意,所以点A关于直线3x-y-1=0对称的点A'为(4,1).规律方法

1.点关于直线对称问题的解法若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)对称,则线段P1P2的中点在直线l上,且直线P1P2⊥直线l,2.点关于特殊的直线的对称问题的结论

点的坐标对称直线结论点P(x0,y0)y=x(y0,x0)y=-x(-y0,-x0)x+y+t=0(-t-y0,-t-x0)x-y+t=0(y0-t,x0+t)变式训练2[2024甘肃高二期末](多选题)已知点M(1,0)关于直线mx-y+1=0(m∈R)的对称点N在直线x+y=0上,则实数m的值为(

)AC解析

因为点N在直线x+y=0上,设点N(a,-a),又M(1,0),化简为m(a+1)+a+2=0.①因为MN与直线mx-y+1=0垂直,角度2线关于线成轴对称问题【例3】

已知直线l:x-y-1=0,l1:x-y+3=0,l2:2x-y-1=0.(1)求直线l1关于直线l的对称直线l1'的方程;(2)求直线l2关于直线l的对称直线l2'的方程.解

(1)因为l1∥l,所以l1'∥l.设直线l1'的方程为x-y+c=0(c≠3,且c≠-1).在直线l1上取点M(0,3),设点M关于直线l的对称点为M'(a,b),把点M'的坐标代入直线l1'的方程,得4-(-1)+c=0,解得c=-5.所以直线l1'的方程为x-y-5=0.规律方法

直线关于直线的对称直线方程的求解方法设直线l1关于直线l的对称直线为l2.直线l1与直线l的关系方法过程平行l1∥l2∥l,取直线l1上一点,求该点关于直线l的对称点利用两直线平行及点关于直线对称求解相交求l与l1的交点,再在直线l1上取一点(不是交点),求该点关于直线l的对称点利用点关于直线对称求方程变式训练3(1)求直线l1:2x-y+6=0关于直线l:2x-y+1=0对称的直线l2的方程;(2)求直线2x+y-4=0关于直线x-y+1=0对称的直线的方程.解

(1)设直线l2的方程为2x-y+c=0(c≠6且c≠1),在直线l1:2x-y+6=0上取点P(-2,2),设点P关于直线l:2x-y+1=0的对称点为P'(m,n),则(2)因为直线2x+y-4=0与直线x-y+1=0相交,联立直线方程可得

探究点三点关于直线对称问题的应用【例4】

在直线l:3x-y-1=0上,求点P和Q,使得(1)点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.解

(1)如图所示,设点B关于直线l的对称点B'的坐标为(a,b),联立①②可得a=3,b=3,即B'点的坐标为(3,3).即直线l与直线AB'的交点坐标为P(2,5),且此时点P到点A,B的距离之差最大.(2)如图所示,设点C关于直线l的对称点为C'(m,n),规律方法

求直线上一点到两定点的和(差)距离最值问题的求法

两定点A,B与定直线l的关系直线上寻找一点到两定点的和最小直线上寻找一点到两定点的差的绝对值最大两定点A,B在定直线l的同侧过一定点A(或B)关于直线l的对称点A'(或B'),连接AB'(或A'B)与直线l的交点即为所求连接AB,则AB与直线l的交点即为所求两定点A,B在定直线l的异侧连接AB,则AB与直线l的交点即为所求过一定点A(或B)关于直线l的对称点A'(或B'),连接AB'(或A'B)与直线l的交点即为所求变式训练4(1)已知A(1,4),B(8,3),点P在x轴上,求使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标;(2)已知点A(1,3),B(5,-2),在x轴上找一点P使|AP|-|BP|最大,求点P的坐标.解

(1)A(1,4)关于x轴的对称点为A'(1,-4),因为|AP|+|BP|=|A'P|+|BP|≥|A'B|,当A',P,B三点共线时取等号,此时点P为直线A'B与x轴的交点,直线A'B的直线方程为

,整理得y=x-5.令y=0,得x=5,所以P点坐标为(5,0).(2)如图所示,作点B关于x轴的对称点B'(5,2),由对称性可知|BP|=|B'P|,则|AP|-|BP|=|AP|-|B'P|.当A,B',P三点不共线时,由三角形三边关系得|AP|-|B'P|<|AB'|;当A,B',P三点共线时,|AP|-|B'P|=|AB'|.所以|AP|-|B'P|≤|AB'|,当且仅当A,B',P三点共线时,等号成立,此时,直线AB'学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.点A(1,4)关于原点对称的点的坐标是(

)A.(-1,4) B.(1,-4)C.(-1,-4) D.(-4,-1)C12345678910111213141516172.点A(1,4)关于点M(0,-1)的对称点坐标是(

)A.()

B.(-1,2)C.(-1,6) D.(-1,-6)D解析

由题意可知,点M是所求点与点A的中点,设所求点为A'(x,y),则

12345678910111213141516173.点A(1,4)关于x轴的对称点的坐标是(

)A.(-1,4) B.(1,-4)C.(-1,-4) D.(-4,-1)B12345678910111213141516174.点P(2,5)关于直线x=4的对称点的坐标是(

)A.(6,5) B.(6,-5) C.(5,6) D.(5,-6)A解析

设点Q(a,b)为所求的对称点,则由题意知b=5,且点Q与点P的中点在直线x=4上,因此

=4,得a=6.故所求对称点是(6,5).12345678910111213141516175.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是(

)A.(5,2) B.(-5,-2)C.(-2,-5) D.(5,-2)B解析

设对称点P'(m,n),故点P关于直线x+y=0的对称点的坐标是(-5,-2).12345678910111213141516176.直线2x-y=2关于直线2x-y+3=0的对称直线方程是

.

2x-y+8=0解析

直线2x-y=2可化为2x-y-2=0,则直线2x-y-2=0与直线2x-y+3=0平行.设所求直线的方程为2x-y+t=0(t≠-2,且t≠3),在直线2x-y=2上任取一点M(1,0),设点M关于直线2x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则方程2x-y+t=0,解得t=8.故所求直线方程为2x-y+8=0.12345678910111213141516177.直线l与l1关于点(1,-1)中心对称,若直线l的方程是2x+3y-6=0,则直线l1的方程是

.

2x+3y+8=0解析

在直线l1上任取一点A(x,y),则点A关于点(1,-1)的对称点B(2-x,-2-y)一定在直线l:2x+3y-6=0上,故有2(2-x)+3(-2-y)-6=0,整理得2x+3y+8=0.故直线l1的方程为2x+3y+8=0.12345678910111213141516178.已知直线l:y=3x+3.求:(1)点P(4,5)关于直线l的对称点坐标;(2)直线y=x-2关于直线l对称的直线的方程.解

(1)设点P(4,5)关于直线l:y=3x+3的对称点的坐标为(a,b),故点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标为(-2,7).12345678910111213141516177x+y+22=0,即直线x-y-2=0关于直线l对称的直线的方程为7x+y+22=0.1234567891011121314151617B级关键能力提升练9.已知点A(5,7)与点B关于直线l:y=x+1对称,则点B的坐标为(

)A.(7,6) B.(4,7)C.(6,-7) D.(6,6)D123456789101112131415161710.一束光线从点M(5,3)射出,经x轴反射后的光线经过点N(7,3),则反射光线所在的直线方程为(

)A.y=3x-18 B.y=-3x-12C.y=3x+12 D.y=-3x+18A解析

根据光线的反射原理,入射光线上的点关于反射面对称的点在反射光线的反向延长线上.由题可知,点M(5,3)关于x轴对称的点为M'(5,-3),则M'(5,-3)在反射光线的反向延长线上.则kM'N==3,所以反射光线所在的直线方程为y-3=3(x-7),即y=3x-18.故选A.123456789101112131415161711.（多选题）光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(-1,6),则BC所在直线的方程是(

)A.5x-2y+7=0B.3x+y-1=0C.3x-2y+4=0D.2x-y-3=0AC1234567891011121314151617A123456789101112131415161713.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b的方程是

.

123456789101112131415161714.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点A(2,0)与点B(-2,4)重合,则与点C(5,8)重合的点的坐标是

.

(6,7)解析

由已知得折线为线段AB的垂直平分线,设垂直平分线的方程为y=kx+b,线段AB的中点为(0,2),斜率为kAB==-1,则线段AB的垂直平分线的斜率k为1,将点(0,2)代入,可得b=2,故垂直平分线的方程为y=x+2.设点C(5,8)关于直线y=x+2的对称点为P(x0,y0),123456789101112131415161715.已知点A(0,4)与点B关于直线l0:x+2y-3=