单调性与最大（小）值（第一课时）教学设计-高一上学期数学人教A版

函数的基本性质一、单元内容及其解析（一）内容函数的单调性；函数的最大值、最小值；函数的奇偶性.本单元的知识结构框图如下：本单元建议用3课时:3.2.1单调性与最大（小）值（2课时）3.2.2奇偶性(1课时)（二）内容解析单调性是函数最重要的性质，刻画了函数值随自变量增大而增大或减小的变化趋势，绝大多数函数都具有单调性.函数的最大（小）值与函数的单调性有着密切的联系．通常，知道了函数的单调性，就能较方便地确定函数的最大（小）值，因此，求解函数的最大（小）值一般需要先判断函数的单调性.函数的奇偶性是一种特殊的对称性．如果函数具有奇偶性就能将研究函数的“工作量”减半．函数的单调性是函数的局部性质，函数的奇偶性和最大（小）值都是函数的整体性质．对于函数的性质，课本用代数运算和函数图象研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等主要性质.这里既注意体现研究数学性质的一般思路，又注意函数性质的特殊性——变化中的规律性.在研究方法上加强了通过代数运算和图象直观揭示函数性质的引导和明示.在研究中教科书构建了一个从具体到抽象、从特殊到一般的过程，引导学生归纳概括出用严格的数学语言精确刻画单调性的方法，从而为提升数学运算、直观想象素养，为提升学生的抽象思维水平奠定基础.基于以上分析，确定本单元的教学重点:用符号语言表示函数的单调性、最大（小）值、奇偶性，用定义法证明函数的单调性、用定义法判断函数的奇偶性.二、目标及其解析（一）目标1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.在抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用，体会通过引入“∀”的符号表示，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”方式表示的方法，感受数学符号语言的作用．2.会用符号语言正确表达函数的单调性、最大（小）值，并能说出“任意”“都有”“存在”等关键词的含义，知道函数单调性和最大（小）值的现实意义.能说出判断函数单调性的基本步骤，会用函数单调性的定义证明函数的单调性.能说出求函数最大、最小值的基本步骤，会用函数最大值、最小值的定义求最值，能说明最值与单调性之间的关系.3.能类比单调性的定义的学习过程，用符号语言表达函数的奇偶性，并说明偶（奇）函数的定义与函数图象关于y轴（原点）对称之间是等价的.知道判断函数奇偶性的基本步骤，会用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.三、单元教学问题诊断分析1.函数单调性的符号语言描述的构建.学生在初中学习一次函数、反比例函数、二次函数时已经会从图象的角度观察“从左到右图象上升”“从左到右图象下将”的变化趋势，并且会用文字语言“y随的x增大而增大（减小）”描述这种变化规律，而本单元需要将自然语言转化为符号语言，对学生而言是一个很大的难点.2.利用定义证明函数的单调性.学生刚开始证明函数单调性时，会出现不作差，直接写出函数值大小关系或者变形不充分就做判断的情况，这是因为学生对证明的步骤模糊导致的，经常出现依据函数单调性证明函数单调性的状况．3.最大（小）值概念的理解．对于最大（小）值的概念，学生往往对条件“存在，使得”的必要性的理解会存在一些困难.基于以上分析本单元的教学难点为:用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值；利用定义证明函数的单调性.四、单元教学教学支持条件分析1.学生学习此内容前，在初中已经接触过函数，知道一些基本函数的性质.2.函数的性质指是在变化过程中的不变性和规律性，所以要借助信息技术绘制函数图象，将静态的图象进行动态演示，展示函数值随自变量变化而变化的情况.五、课时教学设计3.2.1单调性与最大（小）值（一）一、教学内容函数的单调性的定义、证明与判断.二、教学目标1.通过具体实例，经历函数单调性概念的抽象过程，能准确说出函数在某个区间上单调递增、单调递减以及增函数、减函数的定义；举例说明“任意”“都有”等关键词的含义，发展直观想象、数学抽象素养.2.通过用函数单调性的定义证明函数的单调性，能总结归纳出证明的基本步骤和方法，发展逻辑推理、数学运算素养.三、教学重点及难点1.教学重点函数单调性的定义及其应用.2.教学难点用符号语言表达函数的单调性，用定义证明函数的单调性.四、教学方法教法：教师启发式教学法学法：学生探究式学习法五、教学过程设计（一）问题情境，引入课题引导语：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识，那么什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”.研究函数性质就是要学会在运动变化中发现规律.研究函数性质的一般思路：先画图，再通过观察、分析图象的特征，从而得到函数的一些性质，下面就让我们共同进入本节课的学习.情境观察下面几个函数的图象问题1：你能说说图象有什么特征或变化规律吗？师生活动：结合初中已学知识，学生会发现函数图象的上升下降趋势、对称性、最高点最低点等特征，向学生指明分别对应函数的单调性、奇偶性、最值等性质，其中奇偶性和最值会在后面的课程中研究，本节课主要研究函数的单调性，也就是初中学习的函数值随着自变量增大而增大（或减小）的性质.设计意图：通过观察函数图象从多角度得出图象特征，提高学生直观想象的学科素养，为大单元教学中知识的延续性、思维的连贯性、方法的一致性做好指引．（二）新知探究，引出概念引导语：在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这就是用自然语言描述的单调性．“上升，下降”就是用图形语言描述的单调性，在高中阶段呈现更多的是单调性与符号语言的相互转化.下面先看二次函数的单调性.问题2：你能结合函数的图象，描述一下函数的单调性吗？师生活动：引导学生用图形语言和自然语言描述.加强对单调性的定性刻画.设计意图：学生可以观察到单调区间是定义域子集这一事实，也会注意到在描述单调性时要注意到不同区间上的单调性不同.追问1：你能描述一下函数的单调性吗？师生活动：图象未知时单调性很难描述，学生难以作答.设计意图：初中只是对单调性进行了直观描述，“形缺数时难入微”，所以我们要结合函数的解析式，从符号语言的角度表达函数的单调性.追问2：如何用符号语言描述函数的图象在y轴右侧部分从左向右是上升的，如何从自变量数量关系和函数值的数量关系，用数学符号刻画这个特征呢？师生活动：“从左到右”就是自变量x增大，“下降”就是函数值y减小．所以得到自然语言：当x≥0时，y随x的增大而增大．在这个基础上进一步引导：自变量由增大到，表明<，函数值由增大到，表明<；并且蕴含着只要自变量增大了，函数值就会增大的含义，于是得到符号语言：当<，都有<．此时利用反例（定义在[0，+∞)上的函数满足，则在[0，+∞)单调递增吗？）提醒同学们总结需继续完善，教师通过几何画板展示，学生观察任意两点在[0，+∞)滑动动过程中，自变量的关系和函数值的关系是否符合我们理论分析的结果.整个过程是个例还是所有，进而完善符号语言：∀、[0，+∞)，当<，都有<．设计意图：通过图像直观→定性描述→定量描述，即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程，学生能够更好的感受数学知识的生成过程，提高学生数学抽象，逻辑推理等素养．追问3：y轴左侧单调性的符号语言描述如何？师生活动：学生通过类比思考作答，教师可以提问一些学生进行回答并及时点评.设计思路：学生已经有了相对应的经验，在书写相关符号语言时就比较自然，这就是一个“示范模仿改进完善”的过程，这样学生能够参与到课堂之中，质量和效率都有保证.追问4：单调性是局部性质还是整体性质？能否总结在区间D上单调性的符号表述？师生活动：学生思考作答，顺理成章进入定义的总结.（三）概念生成，内涵辨析单调递增的概念：一般地，设函数的定义域为I，区间D⊆I，如果∀、D，当<时，都<，那么就称函数在区间D上单调递增.特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.师生活动：老师给出单调递增的定义，并带领学生理解定义中区间与定义域的关系、全称量词、符号表示等含义，体会如果改变或者删除一些词语后定义发生的改变.设计意图：在前面学生已经得到符号化表示的情况下，顺理成章的给出了单调递增的定义，然后通过带领学生学习概念措辞，体会数学概念的精炼和严谨.问题3：请同学们模仿单调递增的定义，给出单调递减的定义.师生活动：老师可以提问同学作答，如果不完整可以请其他同学补充.不管学生作答是否完整，都可以多提问几个同学，让学生在一遍遍的提问中理解记忆.设计意图：学生掌握单调递增的标志，就是可以模仿说出单调递减的定义.单调递减的概念：一般地，设函数的定义域为I，区间D⊆I，如果∀、D，当<时，都有>，那么就称函数在区间D上单调递减.如右图：特别的，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格）的单调性，区间D叫做的单调区间.内涵解析：三种语言描述都能表示单调性，也可以作为单调性的判断依据.图像直观——定性描述——定量描述符号语言解析：以单调增为例，自变量大函数值大，自变量小函数值小（大大小小）设计意图：让学生理解三种语言的作用，把握符号语言与单调性的互化.（四）学以致用，解决问题例1利用单调性的定义证明函数在区间（∞，0］上单调递增．师生活动：先让学生独立思考，然后共同讨论，教师引导学生得出根据定义研究函数单调性的基本思路并示范证明过程.设计意图：关于反比例函数的单调性，初中是通过观察图象得到的，这里是利用定义通过严格的逻辑推理证明得出结论，由此，不仅体现了形式化定义的作用，而且通过比较简单的推理过程，让学生理解用定义去证明函数单调性的基本方法．活动：总结例1解题过程，引导学生理解证明函数单调性的基本步骤．第一步：取值，（求出函数定义域I，明确研究区间D）∀、D，规定<．第二步：作差，．第三步：变形，即利用因式分解，通分，有理化等方法，将差变形为能够直接判断符号的形式．第四步：判号，即根据的正负判断出<或>．第五步：定论，说明在区间D上的单调性．（五）归纳反思，深化总结问题4本节课主要学习了哪些内容？追问1你能用符号语言描述的单调性吗？追问2证明函数单调性的一般步骤是什么？师生活动：学生独立思考、回答问题，教师概括补充，投影展示要点．设计意图：让学生用符号语言叙述单调性，让学生进一步巩固本节所学内容，并从中了解学生对知识点的掌握程度，以便在后面的教学中，有针对性