高考数学数列知识点、公式总结

数列知识点、公式总结

一、数列的概念

1、数列的概念：

一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的

每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成

，简记为数列｛叫，其中第一项％也成为首项；明

是数列的第〃项,也叫做数列的通项.

数列可看作是定义域为正整数集N*(或它的子集)的函

数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就

是这个数列.

2、数列的分类：

按数列中项的多数分为：

(1)有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；

(2)无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.

3、通项公式：

如果数列｛4｝的第〃项/与项数〃之间的函数关系可以用

一个式子表示成见=/(〃)，那么这个式子就叫做这个数列的通

项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.

4、数列的函数特征:

一般地，一个数列｛4｝,

如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即。用〉4,

那么这个数列叫做递增数列；

如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即＜4,

那么这个数列叫做递减数列；

如果数列也｝的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.

5、递推公式:

某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一

个公式来表示，叫做递推公式.

二、等差数列

1、等差数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常

数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列

的公差.

即4M=/（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差

数列的依据.

2、等差数列的通项公式：

设等差数列口的首项为%,公差为d，则通项公式为：

="1+(〃—l)d=Q^+(〃一加)d,(〃、meN+)・

3、等差中项:

(1)若a、A〃成等差数列，贝h叫做“与。的等差中项，且

Aa+b.

r.

(2)若数歹1」包｝为等差数歹I」，贝卜”。心氏,2成等差数歹I」，即

是明与人的等差中项，且见片妇产;反之若数列4满足

%片”^,则数列｛4｝是等差数列.

4、等差数列的性质：

(1)等差数列｛4｝中，若m+n—p+q[m>n、p、qGA^+),贝[|

am~^an~ap+aq，m+〃二2p，则a“,+a“=2%；

(2)若数歹加｝和也｝均为等差数歹k贝擞歹加±。｝也为等差

数歹I」；

(3)等差数列｛%｝的公差为d,则

d>Oo｛a“｝为递增数列,d<0o｛%｝为递减数列，〃=0。血｝为

常数列.

5、等差数列的前n项和s“:

(1)数列｛叫的前n项和Sn—q+&+/++4一］+%，£N+),

(2)数列包｝的通项与前n项和s”的关系：4=L

(3)设等差数列｛4｝的首项为％,公差为d,则前n项和

s/(%+%)=叫+风二〃

212

6、等差数列前n和的性质：

(1)等差数列｛%｝中，连续m项的和仍组成等差数列，即

aaa+

%+“2++m^m+l+m+2+〃2冽，

a

2m+l+。2m+2++。3m，仍为等差数列(即S.n，S2m-Sm，S3m—S2m,成等差

数歹11)；

(2)等差数列｛4｝的前n项和华叼+*^苧2+\—小，当

心。时，s.可看作关于n的二次函数，且不含常数项；

(3)若等差数列｛如共有2n+l(奇数)项，则

s奇(中间项)且吃=归,若等差数列｛叫共有2n(偶数)项,

'偶n

则S偶-降=泪且、“

a

3奇n

7、等差数列前n项和s”的最值问题：

设等差数列｛4｝的首项为％,公差为d,则

（1）«1>ow<o（即首正递减）时,s.有最大值且s”的最大

值为所有非负数项之和；

（2）4<0且d〉0（即首负递增）时，s.有最小值且S,的最小

值为所有非正数项之和.

三、等比数列

1、等比数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一

个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数

叫做等比数列的公比，公比通常用字母"表示（什。）.

即嗅=q（q为非零常数），这也是证明或判断一个数歹I」是否为等比

an

数列的依据.

2、等比数列的通项公式：

设等比数列｛%｝的首项为八公比为“,则通项公式为：

nm

an-=amq~^n>m.n>meN）.

3、等比中项:

（1）若a、A〃成等比数列，则A叫做a与。的等比中项，且

(2)若数列型为等比数列，则a-镯成等比数列,即。用

是％与劣+2的等比中项/且d+i=/%+2；反之若数列｛寺满足

%=%%.2，则数列｛4｝是等比数列.

4、等比数列的性质：

(1)等比数列｛%｝中,若m+n=p+q(m、n、p、q&N+),则

am'an~ap'aq，根+〃=22，则仆；

(2)若数歹i」｛%｝和也｝均为等比数歹U,贝媵攵歹也为等比

数歹I」；

(3)等比数列｛叫的首项为％,公比为“,贝U

或]；<0为递增数列，[:>01为递减

q>l[0<q<l[0<q<l[">1

数歹I」，

4=10｛叫为常数列.

5、等比数列的前n项和：

(1)数列｛%｝的前n项和s,=〃1+〃2+。3++%T+Q〃,("WN+)；

(2)数列包｝的通项与前n项和s”的关系：％=[,方，=[

总-S,I，〃之2

(3)设等比数列｛%｝的首项为由,公比为q(qwO),则

navq=1

由等比数列的通项公式及前n项和公式可知，已知弓必—母

中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.

6、等比数列的前n项和性质：

设等比数列｛■中，首项为生,公比为以尸。),则

(1)连续m项的和仍组成等比数列，即

ax+a2++am,am+1+am+2++a2m,a2m+1+a2m+2+仍为等比数列

(即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等差数列)；

(2)当g时，

4)=4.(]_/)二卫---Lq"=工./__里，

1-q1-q171-q1-qq-1q-1

设'=7，则=

q—i

四、递推数列求通项的方法总结

1、递推数列的概念：

一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系,

把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初

始条件给出的数列叫做递推数列.

2、两个恒等式：

对于任意的数列｛4｝恒有：

(1)—t/j+(%—a1)+)+(g-q)+.+

ctn(6—a2(c1rl-citn-l

(2)—x—x—xx-^-,(4w0,〃e

“1〃2“3

3、递推数列的类型以及求通项方法总结：

类型一（公式法）：已知s,（即a｝+a2++a„=f（n））求知,用作

差法•a一!S”（〃=D

左/有.4—旧_%,（〃>2）

类型二（累加法）：已知：数歹I」R｝的首项小，且

%=/（%），（〃”），求通项

给递推公式%-%=小）,5”）中的n依次取1,2,3,……,n-l,

可得到下面n-1个式子：

%—%=>⑴,4-4=/（2）,a4-«3=/（3）,；an-an_l=/（n-1）.

利用公式凡=弓+（。2-）+（。3—“2）+（。4-〃3）++（%一。八一1）可得：

a,!=a1+/（l）+/（2）+/（3）++/（n-l）.

类型=（累乘法）:已知:数列｛%｝的首项《，且—=”〃）,（“eN+）,

an

求通项％.

给递推公式嗅=/（〃）,（〃”）中的n一次取1,2,3,……,n-1,

an

可得到下面n-1个式子：

⑴'〃2）,幺=〃3）,.,4="“-1）.

a,a.a,,

利用公式4=%x&x%x^x—x@,(a,产O,“eN+)可得：

n-]

XX2X

an=«l/（l）/（）/（3）xX/（H-1）.

n

类型四（构造法）：形如an+l=pan+qsan+x=pan+q（k,b,p,q为常

数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为人的等比

数列后，再求

①*=pa“+q解法:把原递推公式转化为:%/

其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

1-p

②pa“+q解法：该类型较要复杂一些。一般地，要

先在原递推公式两边同除以尸，得：驾=22+工引

qqqq

入辅助数列h｝（其中2=2），得:一再应用

qqq

pQ"+q的方法解决。

类型五（倒数法）：已知：数列包｝的首项小且

%,+1=叫,gO,neNj,求通项4.

qan+r

a|=P%=J_=4%+r。J_=-+10J_=21.J_+幺

用qan+ran+lpanan+ipanpan+lPa11P

设6"=’，则%i=」一.，4+i=—-bn+~/

an4+1PP

若『=P，则%=2+幺。％f=旦，即数列也｝是以工为公差的等

PPP

差数列.

若厂"则%=*+包（转换成类型四①）.

PP

五、数列常用求和方法

1.公式法

直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数

的平方和公式，立方和公式等公式求解.

2.分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的

数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.

3.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互

抵消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和.

4.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列

对应项的乘积组成的，此时可把式子Sn=a】+a?++an_]+a；；的两

边同乘以公比q（#。且#1）,得到g=°闷+砧++an_xq+anq,两

式错位相减整理即可求出S..

5、常用公式：

22

L平方和公式：1+2+（〃一1）2+/=""+1）伽+1）

6

2立方和公式

F+23++九3=口+2++(〃_1)+〃]2=

3、裂项公式：

分式裂项:-1—=--1；___1___=1/1-1

+nn+19〃(〃+左)kynn+k

i--------「1

木艮式裂项：-7=/=+1-G；—j=/

5/〃+，〃+1/〃+左

六、数列的应用

1、零存整取模型：

银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入

一笔相同数目的现金，这是零存;到约定日期，可以取出全部本

利和，这是整取.规定每次存入的钱不计复利.

注：单利的计算是仅在原本金上计算利息，对本金所产生的利

息不再计算利息.其公式为:利息二本金X利率X存期.以符号p

代表本金,n代表存期,r代表利率,s代表本金和利息和(即本利

和)，则有s=p(l+nr).

零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.

2、定期自动转存模型:

银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某

日存入一笔1年期定期存款,1年后，如果储户不取出本利和.

则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利

和.

注：复利是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每

一期本金的数额是不同的复利的计算公式是：s二'a

定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应

用.

3、分期付款模型：

分期付款要求每次付款金额相同外，各次付款的时间间

隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额

与分多少次付款有关，且付款的次数越少，差额越大.分期付款

是等比数列的模型.

采用分期付款的方法，购买售价为3元的商品(或贷款

3元)，，每期付款数相同，购买后1个月(或1年)付款

一次，如此下去，到第"次付款后全部付清，如果月利率(或

年利率)为b,按复利计算，那么每期付款X元满足下列关

系：

设第〃次还款后，本利欠款数为明，则

ax=6/(1+/7)-%,a2—ax(l+Z7)-x,(73=<72(l+Z?)-x,.an=。"_1(1+5)一%

由%=〃〃_i(l+b)-xO4-楙］知，

数列｛,-1是以%号=(1+砚图为首项,

”(1+6)为公比的等比数列.

〃z?(i+/?y

(1+3-

数列求和公式总结

一、利用常用求和公式求和

］、等差数歹I」求和公式:3二如当二叫+”d2、等比

nax(q=1)

数列求和公式：s“=1q")_/一,n

Ii-q"q

［例1］已知10g3X=［工，求X+/+d+…+尤”+…的前n项和.

log23

解：filog,x=-^?―=>log3x=-log32=>X=

3

log22

由等比数列求和公式得：S-X+4+x3+…+X"=”2二

1-X

-(1-—)1

22"_1"J_

1_12"

2

m2］设求/的最

Sn=l+2+3+...+n,n£N*,(〃+32)S"+i

大值.

解：由等差数列求和公式得s“=g"("+l),Sn(«+!)(«+2)

____n___—________—________—__________<__当

(〃+32)除―/+34〃+64-Z4+64-(向右+5。一百

nyin

I即n=8时，/(%ax=4

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,

这种方法主要用于求数列同・｝的前项和，其中｛｝、

bnnan

｛｝分别是等差数列和等比数列.

bn

2

［例3］求和：Slt=l+3x+5x+7/+…+(2〃-1)-.......................

①

解：由题可知，｛(2”iL｝的通项是等差数列｛2n-1｝的通

项与等比数列｛一｝的通项之积：设

23n

xSn=lx+3%+5x+7/+•••+(2〃—V)x・・・②(设制错位)

①-②得(1-x)S“=l+2x+2x2+2x3+2x4+■■■+2xn-l-(2"-l)xM

(错位相减)再利用等比数列的求和公式得：

1_/

(l-x)S„=i+2x-——(2H-1)X;,

1-xO

(2〃+l)x"+(l+x)

S,

(1-x)2

［例4］求数列方■列，…，芸.•前n项的和.解:由题可知，g｝

的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛?｝的通项之积

；八02462n

区鼠=3+牙+/++裘....................①

gs”=1+:+郎+…+招..........②①-②得

(l--)S+—+—+—+=2--i——―/.

,2n22223242"2"+i2;,-12"

S'=4-

，，2"-1

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一

个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以

得至I」n个（1+4）.

［例6］求sin2r+sin220+sin23°+---+sin2880+sin289。的值

角隼：lgs=sin2r+sin220+sin23°+•••+sin2880+sin289°.........①

将①式右边反序得：

S=sin289°+sin288°+---+sin230+sin22°+sin210......②

又因为sinx=cos(90°-x),sin2x+cos2x=l,①+②得：

2S=(sin2r+cos2r)+(sm220+cos22°)+-+(sm2891+cos2890)=89/.S=44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类

数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后

分别求和，再将其合并即可.

［例7］求数列的前n项和:1+12+4二+7,…，4T+3〃-2,...

aaa

W:设s“=(1+1)+d+4)+d+7)+…++3〃—2)

aa~a

将其每一项拆开再重新组合得

11

St=(1++\+■--+)+(l+4+7+---+3n2)(分组)

aaa

当a=1时，s'二"+网券=g*(分组求和)当分1时，

i.±

n1；!

_a(3n-l)n_a-a(3n-l)n

3〃=11r+2oci—1+o2

a

［例8］求数列｛n(n+l)(2n+l)｝的前n项和.

32

解：设ak=k(k+lX2k+l)=2k+3k+kS'=之左(4+1)(2左+1)二

k=l

t(2左3+3左2+左)

k=\

2

将其每一项拆开再重新组合得：Sn=2tk+tk=

k=\k=lk=\

2(F+23+…+&+3Q2+22+…+泊+(1+2+…+〃)

_+］)2几++n(n+l)_n(n+l)2(n+2)

-------------------------------1-----------------------------------1----------------------------------------------------------

2222

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实

质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能

消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

(1)«„=/(n+l)-/(n)(2)----——=tan(n+l)°-tann

COSHcos(n+l)

n(n+1)nn+1

(24=△(」

(2n-l)(2«+l)22«-l2〃+l

\1_l11]

)ci----------------——[r--------------------------J

n(n—l)(n+2)2n(n+l)(n+l)(n+2)

上也，=2(〃+l)iJ_=」」则5=1_1

n(n+1)2"H(«+1)2"«-2"-1(“+1)2"'"("+1)2”

［例9］求数列占,丁二^,…的前n项和.

+Vn+1

1

角隼：设4=r,-----=VH+1-4n,贝U

7n+

=-------------1-------------------1-------1----------------------

〃1+V2V2+V3Vn+Vn+1

(A/2-A/1)+(A/3--\/2)+,,,+(Vn+1-_J/2+1-1

[例10]在数列&｝中+…+M，又b"=

n+1n+1n+1

求数列｛bn｝的前n项的和.

12nn

解：----------1------------F,••H----------=—

n+1n+1n+12

22

二数列｛>｝的前n项和：

二8”占二黑

111cosl°

［例11］求证:----------------------1-------------+---•--•-•--H--------------------------

cosO0cosl°cosl0cos2°cos88°cos89sin2l°

111

解：设s---------------------------1---------------------------+,••H--------------------------------

cosO°cosl°cosl0cos2°cos88°cos89°

--------------------=tan(n+1)O-tann

cosncos(n+l)°

cosO°cosl°cosl°cos2°cos88°cos89°

—{(tanl°-tan0°)+(tan2°-tanl°)+(tan30-tan2°)+［tan89°-tan88°］}

sinl°

—/(tan89°-tan0°)—/7-cotF-c*原等式成

sinlsmlsin1

立

例2.计算：L一一1II曰］

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊

的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求

和，然后再求Sn.

［例12］求cosl°+cos2°+cos3°+-+cosl78°+cosl79°

的值.

解：设Sn=cosl°+cos2°+cos3°+-+cosl78°+cosl79°

cosn°=-cos(180°-n)(找特殊性质项)

「•Sn二(cosl°+cosl79°)+(cos2°+cosl78°)+(cos3°

+cosl77°)+-+(cos89°+cos91°)+cos90°=0(合

并求和)

［例13］数列{an}：%=1,。2=3,。3=2,。“+2=。"+1-4,求$2002.

解：设S2002=%+〃2+〃3+,,,+々2002/由

%=1,2=3,“3=2,%+2=%+1-可得

〃4=-L〃5=—3，。6=-2,

。7—1,。8—3,。9—2,。10—1，1—3,。12—2，・・・・・・

a=a=

6k+\L6k+23，〃6k+3=2,a6k+4=-1,a6k+5=-3,a6k+6=-2•

a6k+l+a6k+2+a6k+3+〃6Z+4+。6k+5+〃6左+6=。

••52002一%+%+〃3+•,,+〃2002一

(%+%+。3+…〃6)+(%+为+…〃12)+…+(a6k+l+a6k+2+…+。6左+6)

H\~(。1993+"1994I"/998)+"1999+。2000+“2001+。2002—"1999+“2000+“2001+。2002—

a6k+l+a6k+2+〃6左+3+a6k+4-5

[例14]在各项均为正数的等比数列中，若

a5a6=9,求logsax+log3a2-----blog3aXQ的值。

解：设S“=log3Q]+log3a?+,•,+log3Q]0

由等比数列的性质m+n=p+q^aman=apaq和对数的运算性质

log〃M+log〃N=logaM-N得：

S„=(bg36