2024年高考数学模拟卷二（解析版）

高考全真模拟卷二（新高考卷）

数学

考试时间：120分钟；试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.已知集合A={x|2'<4},8=1小/T斤41},贝B=（）

A.（0,2）B.[1,2）C.[12]D.（0,1）

【答案】B

【分析】化简集合A和B,即可得出AnB的取值范围.

【详解】解：由题意

在4=局2'<4},8=W1]中，A=[x\x<2],B=[x\l<x<2\

：.AcB={;r|14x<2}故选：B.

2.若i（2-z）=l,贝!|z+z=（）

A.1B.2C,3D.4

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数Z,即可求解作答.

111.（一讣

【详解】由i（2-z）=l得：2-Z-，即Z=2—=2-「=2+i,则j2-i,

111,（—1）

所以z+1=（2+i）+（2-i）=4.故选：D

3.定义区表示不超过x的最大整数，例如：[0』=。，[L8]=l,卜1,1]=-2.若数列{叫的通项公式为

«„=^^eN*）,前"项和为S"，则满足不等式S.W93的〃的最大值为（）

A.32B.33C.34D.35

【答案】B

【分析】根据因表示不超过x的最大整数，分别计算1<n<5f6<n<10,16<〃<20,21<n<25,

26<«<30,31W35时，。”的值，从而可求得结果

九一

【详解】因为4=[-1,

所以当,〃eN*时，%=。；

当6W〃V10,〃eN*时,«„=!；

当11V“V15,〃eN*时，4=2；

当164〃<20,〃eN*时，%=3;

当21V/V25,“eN*时，4=4;

当26<〃<30,〃eN*时，%=5;

当31V〃V35,“eN*时，a„=6.

又因为5x(0+l+2+3+5)+3x6=93，所以­=33,故选：B.

4.已知平面向量”(1,3),人=(-3,4),"=(7,2),则下列结论正确的是()

A.a-b=-15B.卜+b+c"石

C.6与a的夹角为钝角D.q+6与c垂直

【答案】D

【分析】对于A直接利用数量积的坐标运算计算判断；对于B利用向量模的公式来计算判断；对于C通过

计算(a+与。的正负来判断；对于D通过计算(。+切。的值来判断.

【详解】对于A：a-b=-3+12=9,A错误；

对于B:卜+6+4=|(5,9)|=，25+81=标,B错误；

/\/\\a+b\-a

对于C：(«+^).«=(-2,7).(1,3)=-2+21=19,则cos(a+6,a)=，故a+匕与。的夹角不为钝角，

C错误；

对于D:(«+fo).c=(-2,7)-(7,2)=-14+14=0，则+6)，c,D正确；故选：D.

5.现有5张卡片，其中有2张印有“立”字,其余3张分别印有“德”、“树”、“人”.将这5张卡片随机排成

一行，则恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树二“人”的概率为()

A.—B.—C.—D.—

60302010

【答案】B

【分析】将这5张卡片随机排成一行共有10x6=60种方法，恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德二

“树”、“人”的情况有2种方法，再由古典概型可得答案.

【详解】将这5张卡片随机排成一行，分两步进行：

首先选两个位置为“立"，共有C=1。种方法；

其次另外三个位置，将“德”、“树”、“人”全排列，共有A；=6种方法，

所以将这5张卡片随机排成一行，共有10x6=60种方法，

恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的情况有：

“立”、“立二“德”、“树”、“人”；“立”、“德二“树”、“人”、“立”，共两种，

21

所以恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的概率为寿=正，

oU3U

故选：B.

6,设甲：3sinacos(a+;0)=sin(2cr+P),乙:tan(a+#)=2tan。,则甲是乙的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】利用角的变换2e+A=(a+0+a，结合三角恒等变换及充分、必要条件的概念进行判断即可.

【详解】当3sinacos(a+/?)=sin(2a+6)时，即

sin(2cr+尸)=sin[(cr+/7)+2]=sin(6z+/3)cosa+cos(o+p)sina=3sinacos(a+p),

贝(jsin(a+/?)cosa=2sinacos(a+/?),

当cos(a+p)cosaw。时，两边都除以cos(a+£)cosa,

_sin(a+£)2sina/八、八

得---------=------gntan(or+8)=2tana.

付cosQ+尸)cosa，即、-

当cos(cr+/3)cosa=0时，不能得出tan(^z+尸)=2tana,

所以，由甲不一定推出乙.

ac、-.sin(a+£)2sincr

当tan(a+#)=2tana时，即酝77ro

两边都乘以cos(a+/?)cosa，得sin(a+/7)cosa=2sinacos(a+p),

两边都加上cos(a+0sincr/^sin(a+/7)cosa+cos(a+/7)sina=3sinacos(a+A),即

sin(2a+£)=3sinacos(a+4).

所以，由乙可推出甲•所以，甲是乙的必要非充分条件.故选：B.

7.已知某圆锥的轴截面是顶角为120。的等腰三角形，母线长为4,过圆锥轴的中点作与底面平行的截面,

则截面与底面之间的几何体的外接球的表面积为（）

A.64兀B.96KC.112KD.144TI

【答案】C

【分析】作出圆锥的轴截面，知截面与底面之间的几何体为圆台，然后求出圆台的高与底面半径，讨论球

心在圆台两底面之间与圆台两底面在球心同侧这两种情况，利用勾股定理建立方程求出球的半径，从而由

球的表面积公式求得结果.

【详解】第一步：确定截面与底面之间的几何体的结构特征如图，

H

等腰三角形SAB是圆锥的轴截面，SE是圆锥的轴，截面圆、底面圆的半径之比为1:2.

设截面圆、底面圆的半径分别为r,2rf

因为轴截面是顶角为120。的等腰三角形，母线长为4,且由题意知截面与底面之间的部分为圆台，

所以圆台的高为2-1=1,r=g,2r=2g.

第二步：求外接球的半径

易知球心在直线SE上，设圆台外接球的半径为R,球心到圆台下底面的距离为x,

女=/+(2石y

若球心在圆台两底面之间，如图点M的位置，则2/L,2，无解；

R2=(l-x)~+(石)

炉=/+仅

若圆台两底面在球心同侧，则球心在如图点O的位置，

R2=(1+域+(南

解得x=4，则R=2A/7,

第三步：求外接球的表面积。则该圆台外接球的表面积为4成2=112兀.故选：C.

【点睛】求解外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据不外乎球心的两个特性：一

是球心到球面上各点的距离都等于半径；二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面(球的截面圆性质)，由

此出发或利用一些特殊模型即可确定外接球的球心.

x,0<x<1勺

8.设是定义在R上且周期为4的奇函数，当0<x<2时，/«=2—x,l<x<2'q

g(x)=/(x)+/(x+l),则函数y=g(x)的最大值为()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】求得g(x)在［-2,2］上的解析式，结合周期性以及图象求得g(x)的最大值.

【详解】依题意，〃尤)是定义在R上且周期为4的奇函数，

所以g(x+4)=/(x+4)+/(x+l+4)=〃x)+〃x+l)=g(x),

所以g⑺是周期为4的周期函数.

当一lVx<0时，0<-x<l,f(x)=-f(-J：)=-(-x)=x.

当一2Vx<—1时，1<—x<2,f(.X)=—f(--^)=—(2+x)=-x—1.

—X—2,—2Wx<—1

x,-l<x<0

所以/(》)=

x,0<x<1

2-x,l<x<2

-(x+l)-2,-2<x+l<-l

x+1,—1Wx+1<c0

所以/(x+D=

x+l,O<x+l<l

2-(x+l),l<x+l<2

—x—3,—3<x<一2

x+1,—2«x<—1

x+1,-1<x<0

—x+1,0<xV1

当1<%W2时，2<x+lV3,-2<(x+l)-4<-l,

/(x+l)=/(x+l—4)=/(X—3)=—(X_3)_2=T+1,

x+1,—2Wx<-1

x+1,-1<x<0

所以/(x+D=

-x+1,0<x<1

-x+1,1<x<2

-1,-2<x<-1

2x+l,-l<J;<0

所以g(无)="x)+〃尤+1)=<

1,0<X<1

-2x+3,1<x<2

画出g(X)在区间［-2,2］上的图象如下图所示，

结合g(x)的周期性可知g(x)的最大值为1.故选：A

【点睛】本小题主要的难点在于求g（x）的解析式，采用的是结合函数的周期性、奇偶性来进行求解.利用函

数的奇偶性求函数的解析式，要注意取值范围，还要注意结合奇偶性的定义.要合并两个函数，要注意自变

量对应的范围要相同.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9.已知函数/（x）=sinox+cosau（0＞。）图象的最小正周期是"，贝（］（）

A.的图象关于点）寸称

B.将的图象向左平移7个单位长度，得到的函数图象关于了轴对称

O

c.“X）在o,j上的值域为

D./（元）在一2,0上单调递增

【答案】ABD

【分析】利用赋值角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出。，即可得到函数的解析式，由正弦

函数的对称性可判断A；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断B;根据x的范围和正弦函数

的性质直接求解可判断C；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断D.

【详解】解：因为/(%)=sinGx+c°SGx=0sin[Ox+f

27r

函数的最小正周期是"、：.T=兀=一，

CD

60=2,/(x)=^2sin^2x+—f

W=sin〔2xg+dsin〃=。，“⑺关于住，。［对称，故A正确.

/［尤+/J=7Isin（2尤+|^=0cos2x,二/［尤+?］关于＞轴对称，故B正确.

当时，有042x0,则+,所以一5Wsin，x+?）V1,

,故C错误.

.TC_TCTC371

由于解得—一4二

34■rrjrTC

所以“X）的一个单调增区间为一三言，而-1，0£，

•••“X）在-?，0上单调递增，故D正确.故选：ABD

10.已知抛物线C:x2=2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为4,过尸的直线与抛物线交于A台两点，〃为

线段AB的中点，则下列结论正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为尸-2

B.^3AF=FB,则直线48的倾斜角为30

C.若|AB|=16,则点M到x轴的距离为8

D.4|AF|+|BF|..18

【答案】AD

【分析】根据抛物线的图象与几何性质，抛物线焦点弦性质逐个解决即可.其中对于D,

）BF）

41,4司,+忸,司一,2（z咻,州,+,1明,j/的1+忸1"一21/5++4।即|AF|＞18.

【详解】对于A,易知。=4,从而准线方程为、=-2,故A正确；

对于B,如图分别过A3

两点作准线）=-2的垂线，垂足分别为A，耳，过A点作8瓦的垂线垂足为点

由于3AF=EB,不妨设依尸|=『，则|皮1=3f,

由抛物线的定义易知：.\BB\=3t,\BH\=2t,

在直角ABH中，ZBAH=30,

此时A3的倾斜角为30,

根据抛物线的对称性可知，A3的倾斜角为30或150，故B错误；

对于C,

点M

2'2

由抛物线的定义知，|诙|+忸尸|=X+2+%+2=16,

所以有％+%=12,

所以M到，轴距离咤匹=6，故C错误；

1121

对于D,由抛物线定义知的+国=5=5，

所以4|盟+即=2（4|盟+网）岛+向卜2卜需+瑞卜8,

11.如图，在正方体ABCD-A4GA中，以下结论正确的是（）

B.与C_L平面A5Q

D.直线82与平面ABCD所成角的正弦值为?

C.异面直线2,与2C所成的角为60°

【答案】ABD

【分析】根据正方体的特征和性质，线面平行、线面垂直的判定、异面直线所成的角和直线与平面所成的

角，逐项进行分析即可求解・

【详解】对于A:在正方体ABCD-ABCQ中，A用〃AB，又A与（Z平面AB，，ABu平面”2,所以A型/

平面"A,故A正确；

对于B：连接4。，

易知AOLAR,AQ瓦C,所以,因为平面8CC4,B（u平面8CC4,所以AB,4c,

又AAcAB=A，所以4C,平面AB?,故B正确；

对于C：易知直线用。，平面ABD一所以B.C18。，所以异面直线BD「与BiC所成的角为90。，故C错误;

对于D：连接BD,

易知，平面ABCD所以直线股与平面ABCD所成的角力功皿，设正方体的棱长为1则叫=6,

1_73,所以直线B»与平面ABCD所成角的正弦值为辛，故D正确.故

在中，sin/DBD]=

3=T

选：ABD.

12.已知集合卜,+ax+b=0,a>0］有且仅有两个子集，则下面正确的是（）

A.a2-b2<4

21,

B.a2+->4

b

C.若不等式尤2+ax—Z?<0的解集为（玉,％2）,贝（］玉%2>°

D,若不等式12+QX+"vc的解集为（%,％2），且|大一九2|=4，则c=4

【答案】ABD

【分析】根据集合旧f+分+人=0,々>0｝子集的个数列方程，求得。，6的关系式，对A,利用二次函数性质

可判断；对B,利用基本不等式可判断；对CD,利用不等式的解集及韦达定理可判断・

【详解】由于集合｛尤忖~^ax+b=O,a>。｝有且仅有两个子集，所以A=a2-4b=0,a2=4b,

由于。>0，所以

A,a2-b2=4b-b2=-^-2^+4<4,^b=2,a=2y［2时等号成立，故A正确.

B,+、鼠［=4,当且仅当==0时等号成立，故B正确.

bb\bb2

Cf不等式炉+ax-b<0的解集为（X，尤2）i玉々=<0,故C错俣.

D,不等式尤2+4尤+6<。的解集为（外,工2）,即不等式-c<0的解集为（玉,9）,且|%-%|=4,则

xx+x2=-a,占尤2=b-c,

22

则W-x,|=（%,+々）~-4-X（X2=a-4（Z?-c）=4c=16,.'.c=4,故D正确,故选:ABD

第H卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知随机变量X服从正态分布N（10Q2）,若p（ll<X<12）=0」，则p（x<8）+尸（10<X<n）=

【答案】0.4

【分析】根据正态分布的对称性进行求解.

【详解】由题可知：P（8<X<9）=2P（ll<X<12）=0.1,

P（10<X<ll）=P（9<X<10）,

所以P（X<8）+P（10<X<ll）=P（X<8）+P（9<X<10））=0.5-P（8<X<9）=0.4.

故答案为：04

14.过点。,0)作曲线y=e凶的两条切线，则这两条切线的斜率之和为.

【答案】e2T

【分析】考虑》>。与XV。时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将。，0)代入，得到相应的斜率，相

加得到答案.

【详解】x>0时，y=e',设切点,

则歹=e'*=e为，切线(：广炉="(xf)过(1,0),

二.一e'二d(1—石)，.二玉=2,左1=e?,

X2

XV0时，y=e-*,切点(孙ef),y'=-e^,k2=-e-,

切线4：y-ef=-「(彳-々)过(1,0)=--(1-9)，

2

.-.x2=0,k2=-l,故K+e=e2-l.故答案为：e-l.

15.若关于x的方程工7=履+2只有一个实数根，则实数4的取值范围是______.

【答案】(e,-l)u{0}u(l,y)

【分析】画出函数y=的图象，利用函数与方程思想根据方程只有一个实数根可知y=丘+2与

y=A/4^7的图像只有一个交点，利用数形结合即可求得实数k的取值范围.

【详解】由题意可知，令/(x)=y="T，，整理可得/+产=4(/0),

所以，〃x)="37表示的图象是以(。，0)为圆心，半径厂=2的上半圆，如下图中实线部分所示；

同时根据y=履+2可得，直线恒过(0,2),

由“关于x的方程斤7=kx+2只有一个实数根''可得>=履+2与>=的图像只有一个交点，

所以y=爪+2的图象应在y=尤+2绕点(0,2)沿逆时针旋转到y=-尤+2的区域内；

根据直线斜率的几何意义可得左e(l,1)；

当％=0时，直线），=履+2表示为y=2,如图中细虚线所示，此时两图象相切于点（0,2）,满足题意；

综上可得，上=0或丘（1,小,

所以实数k的取值范围是故答案为：（—,-1）“0}31,笆）

22

16.已知椭圆。：彳+%=1（。＞6＞0）的左、右焦点分别为片，K，点P&,%）,Q（一加f）在椭圆C上，

ab

其中%＞0,X＞0,若|P0=2|O阊，I辟12g，则椭圆c的离心率的取值范围为.

【答案】（―,73-1]

2

【分析】设「片=仙PF.=m,由已知得到场的范围，再由椭圆的定义得到n,m间的关系，代入、换元，

n

求出e的范围.

【详解】设「片="，P6=m,由玉＞0,%＞。，知根,

因为P,Q在椭圆C上，|尸。|=2|0阊，

所以四边形咫。鸟为矩形，QF\=PF]；

4QF、布_V3mi

由正之彳，可Z得B*《一＜1，

U尸i33n

由椭圆的定义可得〃z+〃=2a,n2+m2=4c2①，

平方相减可得7切=2（片一。2）②，

22

4c2m+nmn

由①②得=—i—

2(/—2)mnnm

、

mnm包1

—G

nmn3

所以f=v+'2,竽，即2<丫24竽,

u(3J2(a-c]3

所以c2<c2w¥(/—02),

所以Le2<e2V专(1一/),所以;<e2<4-2出，解得曰<小6-1.

(应r-1

故答案为：千，6-1.

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.已知数列｛风｝中，4=8,且满足-=5%-23.

⑴证明：数列｛%-3〃｝为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)若々=〃(％-3"),求数列｛2｝的前〃项和二

【答案】⑴证明见解析；。,=3"+5"

5+(……

"16

【分析】(1)等号两边同时减去3用，用定义即可证明；

(2)用错位相减法即可求解・

【详解】(1).=5%-23,.“向-3向=54-53=5&-3")

数列｛。-3"｝是以％-〜=5为首项，以5为公比的等比数列.

°“一3"=5x5"T=5",a“=3"+5"

(2)a“=3"+5".•.d="(a“-3")=〃x5",

Sn=+6,+4+—+6”即S“=lx51+2x5~+3x5*+…+〃x5"(T),

5S„=1X52+2X53+3X54+.-+HX5,,+1@,

由①-②得：

-4S„=1X5'+1X52+1X53+~.+1X5"-HX5"+1,

5+（4n-l）x5"+1

-4S一〃x5向，化简得：S,=

1-516

18.记ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos^-Aj=/7sin（A+C）+（c-Z?）sin（7i-C）.

⑴求A；

⑵若AD是角A的平分线且AD=A/3，求"C的最小值.

【答案】（l）A=j

（2）4

【分析】（1）利用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解；（2）利用与ACD的面积之和等于ASC的

面积可得6+。=历，再用基本不等式即可求解.

【详解】（1）由题意，得asinA=Z7sin3+（c-b）sinC,

由正弦定理，得/=从+（。-6）c=b2+c2-be.

121

，目Ab+c-abe1

由余弦XE理，伯cosA=------=——=—.

2bc2bc2

又Ae（O㈤，所以A甘.

（2）因为△ABD与ACD的面积之和等于ABC的面积，

且AD为角A的平分线，

由（1）知，，所以gAsi*+：&si吟=；6csi吟，所以b+c=6c.

又X［等］2,当且仅当，即6=c=2时取等号，

I2J［b+c=bc

所以b+cj等J,即S+c）2"S+c）,所以6+c24,所以6+c的最小值为4.

19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布

表：

质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

频数62638228

(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图;

频率

组距

0.040

0.038

0.036

0.034

0.032

0.030

0.028_|------------r-----------TT7------------1

0.026

0.024

0.022

0.020

0.018

0.016

0.014

0.012

0.010

0.008

0.006I----------rT--------T

0.004

0.0021______1

(T75~85~95105115125

质量指标值

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

⑶已知在这些数据中，质量指标值落在区间「5,105)内的产品的质量指标值的平均数为94,方差为40,所

有这10。件产品的质量指标值的平均数为100,方差为202,求质量指标值在区间[105,125]内的产品的质量

指标值的方差.

【答案】⑴答案见解析

⑵平均数为100,方差为104.

(3)300

【分析】(1)计算每组频率，从而画出频率分布直方图；

(2)由频率分布直方图中的数据结合平均数，方差的求法求解即可；

30

(3)先计算区间[105,125)内的平均数5以及£片，再由方差公式求解.

Z=1

【详解】(1)由题意可知，分组[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125],对应的频率分别为

0,06,0,26,0.38,0.22,0.08.

则频率分布直方图如下图所示：

频率

0.040

0.038

0.036

0.034

0.032

0.030

0.028

0.026

0.024

0.022

0.020

0.018

0.016

0.014

0.012

0.010

0.008

0.006

0.004

0.002

758595105115125质量指标值

(2)质量指标值的样本平均数为

=80x0.06+90x0.26+100x0.38+110x0.22+120x0.08=100.

质量指标值的样本方差为

=(1OO-8O)2XO.O6+(1OO-9O)2XO.26+(1OO-1OO)2XO.38+(1OO-11O)2XO.22+(1OO-12O)2XO.O8=104

(3)由题，质量指标值落在区间［75,105)内的产品有70件，

设质量指标值分别为和马，，毛。，则平均数为元=94,方差为s；=40,

质量指标值落在区间［105,125)内的产品有30件，

设质量指标值分别为M，%，，%,则平均数为了，方差为学,

设这10。件产品的质量指标值的平均数为z=W0,

方差为¥=202,则|1。0彳=70丁+303，

17070

所以y=114,又因为《=布2玉2一/，贝！|Z尤；=62132。，

/U/=11=1

-1/7030>30130

又因为¥=诲—,则£城=398880,所以S；=—£才-V=300

1UUIi=ii=iJi=inui=l

20.如图，在四棱锥P-ABC。中，AB//CD,AB±BC,BC=CD=PA=PD=^AB=2,PC=2若，E

为AB的中点.

p

⑴证明：8£>J_平面AP£);

(2)求平面APO和平面CEP的夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

【分析】(1)已知条件求出AB,BD,AD的长度，勾股定理证得mLAD,

取AD的中点O,连接OP,OC,有PO_L"),得PO,勾股定理证得PO_LOC,从而尸。上平面ABCD,

福BD1OP,所以人平面APD.

(2)建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，求相关向量的坐标，求平面APD和平面CEP的一个法向量,

利用向量夹角公式求平面APD和平面CEP的夹角的余弦值

【详解】(1)在直角梯形ABCD中，易得AB=4,BD=2®,AD=2^2,

:.AD2+BD2=AB-,/.BD±AD.

取AD的中点O,连接OP,OC,易得PO±AD,PO=4i,如图所示，

在4CDO中，易得OC=JCD?+DO?-2CD-DOcos135。=M,

又PC=2百，:.OC12+PO2=PC2,PO1OC,

又PO_LAD,ADOC=O,AD,OCu平面ABCD，二POJL平面ABCD,

BDu平面ABCD,.".BD1OP,

又BD_LAD,ADr\OP=O,AD,OPu平面APD，二BD_L平面APD.

（2）如图，以D为坐标原点，DA,DB所在直线分别为x,y轴，过点D且与PO平行的直线为z轴建立

空间直角坐标系，

则D（0,0,0）,A（2A/2,0,0）,B（0,2也0）,网也在0）,尸（衣0,0）,C（-应，/,0）,

...CP=（2A/2,-A/2,A/2）,CE=（20,0,0）,

LU

•••BD,平面APD，，平面APD的一个法向量为%=（0,1,0）.设平面CEP的法向量为n2={x,y,z）,

n,CP=Q|2缶-0+缶=0

得I取y=i,得&=（。/，1）,

n2-CE=02yf2x=0

1V2

cosrk.n,=---二——

1.1x722

二平面APD和平面CEP的夹角的余弦值为4.

【点睛】方法点拨

利用向量法求二面角的方法主要有两种：（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个

平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的范围；（2）分别在二面角的

两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

22

21已知4也分别为双曲线C：T-2=l（稣0,b>0）的左、右焦点点尸（刈在C上目®|-|尸闾=2".

ab

(1)求C的标准方程;

(2)设点P关于坐标原点的对称点为Q,不过点尸且斜率为!的直线与。相交于M,N两点，直线与QN

交于点。(见，%),求表的值.

22

【答案】⑴--3=1

62

(2)1

-91,

------1

【分析】(1)根据题意结合双曲线的定义的应用列方程组/b-,解得。与。即可得出答案；

2a=2瓜

(2)设〃(和％),N(w，%),直线MN的方程为y=gx+〃?Wr。)，联立方程消去y得

2

1/-2mx-3m2-6=0,根据韦达定理得出%+%=3m,根据已知得出△=12疗+16>0,由题意知，

9^71(13777

2(-3,-1)，当直线PM,QN的斜率均存在时，设出方程联立得毛=-二7T,%=-+--%——-,

即可比出答案，当直线PM的斜率不存在时，易求%=3,%=3,所以?=1,当直线QN的斜率不存在

xo

时，易求不=-3,%=-3,所以F=1,综上，即可得出答案.

2-=i

【详解】(1)由题意可知,«2b2,

2a=2A/6

解得4=#・b=6・

22

所以C的标准方程为：9-1=1.

62

(2)设m(%,%),以尤2，%),直线MN的方程为>=；%+制加wo),

.1

y=—x+m

32

由《得一f一2mx-3m之一6二0,

尤y3

------=1

[62

直线MN与C相交于M,N两点，

/.A=(-2m)-4x—^-3m2_6j=12m2+16>0，贝[|玉+兀2=3根.

由题意知，。(-3,-1),当直线PM,QN的斜率均存在时，

11

1—x,+m-111—+m+11

,%-1Q11m,y+1Q21m

k——±________—।______ib--J/9—±_____________________——I______________

-

KpM~~0一Q—o十o”N~oo一0十,o

xx-3%—33%一3x2+3x2+33x2+3

所以直线PM的方程为y-l=-+--尤-3),

(3x,-3)

直线QN的方程为y+l=可+/三(X+3).

、D人？十。J

两方程联立得，/=_:/=---------,显然%*0,

xl—x2—oxl—x2—o

.・・Tn1m3mx,——61mx——612(x,—3)

所以型=_+----+----X-i-Z—=-+-------+，2_+4__Z=1

x03X1-3%一39m3占一33(%一3)33(^-3)*

当直线PM的斜率不存在时易求得直线PM的方程为i=3直线QN的方程为尸3+1则%=3,%=3,

所以4.

Ao

2

当直线QN的斜率不存在时，易求得直线QN的方程为x=-3,直线PM的方程为y=,则%=-3,

%=—3,所以平=1.

Ao

综上，皆=1.

40