武汉市硚口区2024年九年级上册数学期中试题与参考答案

武汉市研口区2024年九年级上册《数学》期中试题与参考答案

一、选择题

共10小题，每小题3分，共30分。下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确,

请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。

1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四

幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称

图形的是（）

【答案】D

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两

旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着

某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图

形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.

【详解】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；

C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意;

D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图

形和中心对称图形的定义.

2.将一元二次方程2-+1=5》化为一般形式后，常数项是1,则二次项系数和一次项系数分别

是()

A.2、-5B.2、5

C.2、1D,2/、-5%

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将所有的项都移到方程的左边，方程的右边为

0,再得出二次项系数，一次项系数.

【详解】2X2+1=5X,

.2x?-5x+1=0

二次项系数为2,一次项系数为-5.故选：A.

3.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为

()

A.30°B,90°

C.120°D.180°

2

【答案】C

【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解.

【详解】■.■360°4-3=120°,

••・旋转的角度是120°的整数倍，

二旋转的角度至少是120°.

故选C.

4.关于二次函数y=-3(x-17+2,下列说法正确的是()

A.开口向上B.对称轴是x=T

C.有最小值2D.顶点坐标是。，2)

【答案】D

【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐

标，从而可以判断哪个选项是符合题意的.

［详解］•••y=_3(x_l)2+2,«=-3<0,

;该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；

对称轴是直线x=1,故选项B不符合题意；

当x=1时取得最大值2,故选项C不符合题意；

顶点坐标为。，2),故选项D符合题意；

故选：D.

5.某一个人患了流感，经过两轮传染后共有64个人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染

了x个人，则正确的方程是()

3

A.x+（l+x）=64B.2（l+x）=64

C.l+x+x（l+x）=6401+x+x2+64

【答案】c

【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后

的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关

系是解决本题的关键.

【详解】根据题意可知：第一轮传染后的感染人数为：1+x,

第二轮传染后的感染人数为：l+x+x（l+x）,

故可列方程为：l+x+x（l+x）=64,

故选：C.

6.将抛物线＞=-2（x-1）2+3平移后得到抛物线歹=-2_,正确的平移方式是（）

A.向右移动1个单位长度，向上移动3个单位长度

B.向左移动1个单位长度，向上移动3个单位长度

C.向右移动1个单位长度，向下移动3个单位长度

D.向左移动1个单位长度，向下移动3个单位长度

【答案】D

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.熟练掌握＞=a（x-，）?+左

向左移动〃个单位，向下移动左个单位，得^=^2这个知识点是解题的关键.

【详解】A、将抛物线＞=-2（x-1『+3向右移动1个单位长度，向上移动3个单位长度，得

J=-2（X-2）2+6,不符合题意，该选项是错误的；

4

B、将抛物线＞=-2(x-1『+3向左移动1个单位长度，向上移动3个单位长度，得

歹=-2^+6,不符合题意，该选项是错误的；

C、将抛物线＞=-2(x-丁+3向右移动1个单位长度，向下移动3个单位长度，得＞=-2(x-2广

不符合题意，该选项是错误的；

D、将抛物线＞=-2(x-1『+3向左移动1个单位长度，向下移动3个单位长度，得丁=-2必,

符合题意，该选项是正确的；

故选：D

7.如图，在平面直角坐标系中，V49B为等腰直角三角形，NOB4=90°,0A=3五,边。

在y轴正半轴上，点A在第一象限内，将XMOS绕点。顺时针旋转，每次旋转45。，则第2023

次旋转后，点A所对应的点的坐标是()

【答案】C

【分析】观察图象可得，点A旋转8次为一个循环，从而可得点4023与点4的坐标相同，即

可求解.

5

【详解】如图，点A旋转8次为一个循环，

2023+8=252......7,

.,.点4（）23与点4的坐标相同，

点”2023的坐标为（。,3夜）,

故选：C.

r4

■,4,

4—~7A

、、、/

4QJ'、、、J/

.4.

8.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦48长20厘米，弓形高”为2

厘米，则镜面半径是（）

A.24厘米B.26厘米

C.28厘米D.30厘米

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，令圆。的半径为。5=入贝】JOC=r-2,根

据勾股定理求出。。2+802=。4，进而求出半径.

【详解】如图，由题意，得。。垂直平分48,

6

.•.8C=10厘米,

令圆。的半径为O8=r,则OC=r-2,

在RtVSOC中，0。2+BC2=QB?,

(r-2)~+102=r2,

解得厂=26.

故选：B.

D_

.1

、、(

*o

9.关于x的一元二次方程V+2x-2/+3=0的两个实数根分别是玉,马,贝川西-。(％2+3)的最

大值是()

A,-1。B,-8

C.-6D,-2

【答案】B

【分析】根据一元二次方程根的判别式得到年1,根据根与系数关系得到

X1+X2=-2,X1X2=-2Z+3J利用一元二次方程根的定义得到x/+3=-2%+2f,代入

(石-。£+3)得到且-川/2+3)=-2r一6,利用不等式的性质进一步即可求出答案.

【详解】•.・关于X的一元二次方程V+2x-2/+3=0的两个实数根分别是%,吃,

2

X]+/=—2,%]%2=—2t+3,为？+2X2—2,+3=0,A=2—4(—2/+3)=8%—820,

7

x2~+3=—2X2+2t,>1

=(%-/)(-2x,+2t)

=_2X]X?+2/(X]+%2)—2厂

=-2(-2)+3)-4”2*

=-2t2—6,

：t>\,

二八1,

-2r<-2,

.■1-2t2-6<-8,

则(石-0(4+3)的最大值是-8,故选：B

10.一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC,BD都是同一条抛物线

的一部分，AB,CD都与水面桌面平行.已知水杯底部AB宽为4gcm,水杯高度为

12cm,当水面高度为6cm时，水面宽度为2而cm.如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕

A点倾斜倒出部分水，如图2,当倾斜角/R4尸=30。时，杯中水面CE平行水平桌面AF.则

此时水面CE的值是()

8

A.7GcmB.12cm

C.8V3cmD.14cm

【答案】D

【分析】以NB的中点为原点，直线N8为x轴，线段N8的中垂线为轴，建立平面直角坐标

系，得出3和杯子中间点的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕。倾斜倒出部分液

体，当倾斜角448尸=30。时停止转动，求出与了轴的交点坐标G,把点C、G代入求出直

线的解析式，再将二次函数和一次函数联立求解，求出E点坐标，用两点间的距离公式求

出。点到£点的距离.

【详解】设与3的中点分别为。、F,以所在的直线为X轴，以。尸所在的直线为y

轴，建立如图所示的直角坐标系，

・在图3中,NBAF=30。,

ZDCE=30°.

过点C作NOCE=30。，交y轴于点G,则以即为图3中倾倒后的.

|r

I<77

:\£

12un\JJ.t/

▲/

\I/

•8/]c▼nI

♦.•点。是NB的中点，

OB=—AB=2百cm.

9

二8（2后0）,

同理可知：图1液面的右端点是（同，6）

根据对称性可知：左右轮廓线zc,8。所在的抛物线的对称轴为y轴,

设这个抛物线的解析式为：y=ax2+c,

则由图1可知，抛物线经过点8（26,0）和点（国,6）,

+c=6

1

a=—

解得：3,

c=-4

124

二抛物线的解析式是：y=^x-4.

1

令V=9-4=12,

解得x=±4石

二。（-4君［2）,CF=4也cm,

又；ADCE=30°,

CG=2FG,

二在比VCFG中，CG?=（2EG『=4EG?=（4G）2+EG2,

解得：FG=4cm,

OG=OF-FG=8cm,

io

・•.G（0,8）,

设直线外的解析式是：y=mx+〃，

•••直线以经过点C（—46,12）,G（0,8）,

-4y/3m+n=12

"n=8

V3

m=------

解得：3,

〃=8

二直线。£的解析式是：y=--鼠x+8,

将抛物线与直线CE的解析式联立得：

尸»4

y=-----x+8

r3

x=-4^3x=3A/3

解得：脂或<,

[y=12[y=5

二£“5）,

又•.<（-4石,12）,

CE=453G『—（12—5）2=14（cm）

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定

系数法求解析式是解题的关键.

11

二、填空题

共6小题，每小题3分，共18分。下列各题不需要写出解题过程，请将结果直接填写在答题

卡指定位置.

11.已知点尸（x，—2）与点。（4/）关于原点对称，贝1Jx的值是________.

【答案】-4

【分析】此题考查了关于原点对称的点坐标特点横纵坐标都互为相反数，熟记特点是解题的

关键.

【详解】；点尸（X，-2）与点。（4/）关于原点对称，

x=-4,j=2,

故答案为：-4.

12.参加某商品交易会的每两家公司之间都签订两份合同，所有公司共签订了20份合同，则

共有家公司参加了该商品交易会.

【答案】5

【分析】考查了一元二次方程的应用，甲乙之间都签订两份合同，算两份，本题属于重复记数

问题.解答中注意舍去不符合题意的解.

【详解】设共有x家公司参加了该商品交易会，

则列方程得x（xT）=20

解得：玉=5,X2=-4（舍去），故答案为：5.

13.如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形

绿地，它们的面积之和为96m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.设人行通道

12

的宽度为X米，则所列方程是

【答案】(15-3x)(10-2x)=96

【分析】设人行通道的宽度为x米，利用“平移法”将两块矩形绿地合在一起，则长为

(15-3x)m,宽为(10-2x)m,即可列出方程.审清题意，根据面积正确列出一元二次方程是解

题的关键.

【详解】若设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为(15-3x)m,宽为

(10-2x)01,由已知得：(15-3x)(10-2x)=96.

故答案为：(15-3x)(10-2%)=96

14.关于X的一元二次方程(》-3)(》-2)-22=。判断它的根的情况是_________________.

【答案】方程有两个不相等的实数根

【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，先把方程化为一般形式，再利用根的判别式

计算得出A=1+4/>o,从而可判断方程根的情况.

【详解】•••(》一3)卜一2)-22=0,

,,,x2-5x+6-p2=0,

A=(-5)2-4X1X(6-/)=1+4/22>0,

二原方程有两个不相等的实数根；故答案为：方程有两个不相等的实数根.

15.抛物线少=。/-2依+。(。，。是常数且c>0)经过点/(3刀).下列四个结论：①

13

该抛物线一定经过3（-1，0）；②2a+c〉o；③点4（7+2022,%）,5。+2023,%）在抛物线上,

且外>外,贝心>一2021④若小，〃（能<〃）是方程"2+2ax+c=p的两个根，其中2>0,贝］J

-3<m<n<l.其中正确的结论是_____（填写序号）.

【答案】①②④

【分析】①：根据函数图象经过点的意义，只要得到%+。=0即可；

②：由①得2a+c=-a,结合c>0判断出"的正负即可；

③：特值法，取"-2021时也符合题意，从而可得到结论；

④：将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断.

【详解】••・抛物线经过点/GO,

9。-6。+。=0,

3。+c=0,

当x~11日寸，a+2a+c=0,

.♦.3a+c=0,

,该抛物线一定经过5（T0）,故此项正确.

②由①得：c=-3a,

Qc>0,

-3〃>0,

Q〈0,

3«+c=0,

;.2a+c=—a,

14

：.2a+c>0.故此项正确.

③抛物线的对称轴为直线-下=1,

当/=—2021时，出1,%），A（2,%）,

•••a<0,乂>%,

:・t=-2021也符合题意与”-2021矛盾，故此项错误.

④•.・加,〃（机<〃）是方程a/+2ax+c=p的两个根，

,n是抛物线弘=ax2-2ax+c与直线%=夕交点的横坐标,

；）>0,，如图：

由图得：-3<机<〃<1.故此项正确.

故答案：①②④.

16.如图，在矩形/BCD中，E在BC边上，H在C。边上，NEAH=45。,CG是矩形的外

角/DCF的平分线，AAEG=90°5连接片刁4B=5,HG=3,/GHC=NBAE,则£6的长

是_________，3E的长是_________.

15

HEC

【答案】①.3②.而

【分析】此题考查了矩形的性质，四点共圆，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，在

上截取=连接ME,HE,推出NCEG=NR4E,进而得到NGHC="EG,利用四点

共圆得到NHEG=N〃CG=45。，由此得到EG的长，求出/E,再根据勾股定理求出8E的长,

正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键.

【详解】在上截取8河=8£,连接也旦加，

EC

•.•四边形/BCD是矩形,

ZB=/BCD=/DCF=90°

CG平分一。。/，

ABME=/BEM=ZDCG=45°

-ZAME=ZECG=135°

ZAEG=90°,

16

ZAEB+ZCEG=90°

■：ZAEB+ZBAE=90°

：,NCEG=NBAE

■;ZGHC=NBAE

：.ZGHC=ZCEG,

NHNG=NCNE

：.ZHGN=ZECN=90°

二点E,C,G,H四点共圆，

ZHEG=ZHCG=45°,

ZEHG=ZHEG=45°,

EG=GH=3

■：ZAEH=45°=ZEAH,

:.AH=EH=CGH=30,ZAHE=90°,

：.AE=42AH=6

.BE=slAE--AB2=V62-52=VH,

故答案为：3,VTT.

三、解答题

共8小题，共72分。下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤

或画出图形。

17.若关于x的一元二次方程f-为+2=0有一个根是x=l,求b的值及方程的另一个根.

17

【答案】b的值为3,方程另一根为x=2.

【分析】将x=l代入方程x2-bx+2=0得到b的值，再根据根与系数的关系求出另一根.

【详解】；关于x的一元二次方程x2-bx+2=0有一个根是x=l,

.-.1-b+2=0,

解得：b=3,

把b=3代入方程得：x2-3x+2=0,

设另一根为m,可得l+m=3,

解得：m=2,

则b的值为3,方程另一根为x=2.

18.如图，在eO中，AB,/C为互相垂直且相等的两条弦，ODLAB,OE1AC,垂足分

别为D,E.

(1)求证：四边形NOOE是正方形；

(2)若4。=4,求eO的半径.

【答案】(1)见详解(2)272

【分析】本题考查正方形的判定，勾股定理，以及垂径定理：

(1)根据三个直角可得四边形NOOE是矩形，因为故四边形/。。石是正方形；运

用垂径定理得到4D=AE是解题关键;

18

(2)连接。/，根据勾股定理可得半径.

【小问1详解】

证明：证明：•/OE1AC,

-AD=-ABAE=-AC

-22

：4B,AC为互相垂直且相等的两条弦,

AD=AE,ZCAB=9Q°

■：ZADO=ZCAB=ZAEO=90°,

二四边形NOOE是矩形；

■/AD=AE,

二四边形NOOE是正方形；

【小问2详解】

解：连接。/,如图所示

Xk'rl/

E，C

-：AC=4

：.AE=2

由(1)知四边形NOOE是正方形;

贝|JOE=AE=2

19

在RtA4OE中，0A=LE2+0E?=J4+4=2行

所以e°的半径是2起.

19.如图，在等边V/8C中，D在NC边上，连接8。，将8。绕点B顺时针旋转60。得到8E,

连接DE,CE.

(1)求证：AD=CE-,

(2)若8C=6,BD=55,直接写出△OCE的周长.

【答案】(1)证明见解析(2)11.5

【分析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定和性质,

1.旋转图形的对应边相等，对应角相等；2.有一角为60度的等腰三角形是等边三角形；3.两边

及夹角对应相等的两个三角形全等.

(1)先由V/BC是等边三角形得出NZ8C=60。，AB=BC,根据图形旋转的性质得出

ZDBE=60°,DB=BE,进而得出乙48。=NC8E,然后根据SAS证明丝VC8E即可证

明4)=CE；

(2)由=故可得出CE+CO=AD+"=/C=6,由/石3。=60。，=即可判

断出VBDE是等边三角形，板DE=BD=55,由此即可得到△DCE的周长.

【小问1详解】

证明：•••V/3C是等边三角形,

20

■""ZABC=60°5AB=BC,

•••将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE,

ZDBE=60°,DB=BE,

NDBE-ZCBD=ZABC-ZCBD,

ZABD=ZCBE,

'AB=BC

■.■在zMSQ和△CBE中，＜NABD=NCBE,

DB=BE

,yABD^/CBE(SAS),

：.AD=CE.

【小问2详解】

•■•V/BC是等边三角形，

AC=BC=6,

-：CE=AD,

:.CE+CD=AD+CD^AC=6,

ZEBD=60°,BE=BD,

.•VBQE是等边三角形，

DE—BD—5.5J

/\DCE的周长=。七+3+。E=/。+8。=11.5.

20.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如调整价格，每

涨价1元，每星期要少卖出10件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?

21

最大利润是多少？

【答案】当定价为65元时，利润最大，最大利润是6250元.

【分析】设定价为X元，利润为了元，根据题意求出了与X的函数解析式，即可求解.

【详解】设定价为x元，利润为了元，由题意可得：

J=(X-40)[300-10(X-60)]=-10(X2-130X+3600)=-10(X-65)2+6250

■■--IO<O,开口向下

二当x=65元时，y最大，即利润最大为6250元，

答：当定价为65元时，利润最大，最大利润是6250元.

21.如图是由小正方形组成的8x8网格，每个小正方形的顶点叫做格点.V/3C的顶点都是格

点，尸为线段上的点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画

图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：

AA

(fl<H

图1图2

(1)在图1中，先将线段8。沿R4方向平移，使点E与点A重合，画出平移后的线段

再连接PC,画△2。。，使与VCB尸成中心对称；

(2)在图2中，先在NC上画点E,连接BE,使/ZBE=45。；再在NC上画点尸，连接

PF,使PF〃BE.

【答案】(1)见解析(2)见解析

22

【分析】(1)根据平移的性质画出力。=3,连接DC,找到NC的中点，过点P与NC的中点

作直线，交。。于点。，则420。即为所求；

(2)根据网格的特点作等腰直角三角形，斜边岫与NC交于点£,则//8E=45。；连接"P

与/C交于一点N,连接8N并延长交于点。，连接P。交NC于点尸，则尸尸即为所求;

【小问1详解】

如图所示，△N。。即为所求；

K—7N;

【小问2详解】

如图所示，P尸即为所求;

根据等腰三角形的性质以及作图可得4V垂直平分血7,

\MN=BN

又/PBM=/QMB,BM=BM

■,MQMB^/PBM

23

QM=PB

AM=AB,

AQ=AP

ZAPQ=ZAQP

又；\JAMB是等腰直角三角形，

NAPQ=ZABM=45°

PQ//MB即P尸〃BE

22.如图，小明训练推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的

关系是N=/+bx+1.6.

(1)第一次推铅球时，铅球运行到水平距离为3m时，铅球行进的最大高度为2.5m,求铅球

推出的水平距离；

(2)第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且。=-玄，求推出铅球行进的

最大高度；

(3)小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但

不足10米，直接写出b的取值范围.

91,17

【答案】(1)8m⑵-m⑶-<^<—

【分析】(1)运用待定系数法求出函数解析式，然后令>=0,求出铅球推出的水平距离即可;

24

(2)运用待定系数法求出函数解析式，配方为顶点式写出最大值即可；

(3)把。0,0)代入(2)中的解析式，求出b值，结合题意写出取值范围即可.

【小问1详解】

解：设y=a(x-37+2.5,

即歹=cix1-6ax+9q+2.5,

9〃+2.5=1.6,

tz=-0.1,

.­,J=-0.1(X-3)2+2.5,

令歹=0,贝卜0.1(x-3)2+2.5=0,

解得：匹=8,%=-2(舍去)，

二铅球推出的水平距离8米；

【小问2详解】

解：设抛物线的解析式为「(—L6,把(&0)代入得：

1,

——X82+8ZJ+1,6=0

20'

解得：6=0.2,

11Q

-y=-----x2+0.2x+1,6=-----(x-2)~9+—

“2020V'5'

9

推出铅球行进的最大高度为J米；

【小问3详解】

25

解：抛物线的解析式为>=-£/+云+1.6,

当过（10，0）时，-\xl02+106+1.6=0,

解得：6

•••推出的水平距离超过第一次，但不足10米，

1,17

■—<b<——

''550'

23.在V/3C中，ZACB=a（a>60°）AC^m,8。=〃，将线段四绕点A逆时针旋转Q得

到线段

D

KDD

\Cv<

\1

.4^-------------------------------・-*1------------------------------------------------

图I图2图3

（1）如图1,当a=90。时，过点D作。E1/C于巳求证：DE=AC；

（2）如图2,当々=120。时，连接C。.

①求证：CD2=3m2+«2;

②如图3,F是的中点，连接力尸，直接写出W的长（用含m,n的式子表示）.

【答案】（1）见详解（2）①见详解②幺/=：机+；〃

【分析】（1）因为。£1/。，«=90°,得NC=ZDEA=90。,结合将线段N8绕点A逆时针

旋转Q得到线段"，得/D4E=/B,即可证明VOZEAZBC,即可作答；

（2）将V/BC绕点A旋转120。，与/。重合，点C的对应点是点G,过点A作

26

AH1QC,所以4C=/G,ZQAC=120°,得NC4H=60。，则AC=NCsinNW=手小，

那么GC=B机，因为//G°=120。，得NDGC=90。，根据勾股定理即可证明①；连接班

因为F是。。的中点，且“是CG的中点，故必是Rtvc。。的中位线，即印中OG,则

NCHF=NDC©=90°,因为48，。。，所以N/〃C=90。，根据NZ〃C+NCHF=180。，得

三点A、H、尸共线，则//=/H+HF,即可作答②.

【小问1详解】

证明：因为£>£工/。，［=90。，

所以NC=ZZ)£4=90°,ZBAC+ZB=90°

因为将线段绕点A逆时针旋转90。得到线段，

所以AB=AD,NBAD=NDAE+ABAC=90°

故NDAE=ZB,

所以V£UE2VMC(AAS),

贝］JDE=AC

【小问2详解】

解：因为V/8C绕点A旋转120。，N8与/。重合，点C的对应点是点£,过点A作

AH1C1.CJ

J\

所以4C=4G=加，DC】=CB=n,ZQAC=120°

27

因为

所以NC4〃=60。，〃是CG的中点,

x/3AH=ACcosACAH=—m

贝1J//C=/CsinNG4〃=^M,2

那么C[C=Mm,

因为44CQ=120。，

得/C>GC=90。，

在RtVCC。中，DC2=QC2+DC：=3m2+n2,

故可证明①CQ2=3/+/；

连接上小，如图

因为F是。。的中点，且"是C£的中点,

所以是Rtvqcz）的中位线

,即HFPOG,HF=；DC[

则NCHF=/DCC=90。，

因为

所以N/〃C=90。,

28

因为+NCHF=180。，

所以三点A、H、尸共线，

贝1JAF=AH+HF=—AC+—DC1=—m+—n,

11

故②中的4F的长为2刃+.

12,

24.如图1,抛物线＞=一7+4交x轴于A,B两点，交y轴于点C.

(1)直接写出A,B两点的坐标和直线6C的解析式；

(2)D是直线8。上的点，过点D作x轴的平行线，交抛物线于M,N两点(点M在点N

的左侧)，若DM=3DN,求点D的横坐标；

(3)如图2,E在第四象限的抛物线上运动，点F与点E关于y轴对称，直线》=1分别交直

线BE,BF,x轴于P,Q,G三点，求PG—QG的值.

【答案】(1)/(-4,0),5(4,0),y=-x+4(2)1或16(3)6

【分析】(1)把k°代入＞=-%?+4,即可得，(-4,0),5(4,0),设直线8C的解析式

＞=质+6,运用待定系数法即可作答;

29

(2)设。(4—P，P),因为把y=0代入y=_；/+4得?=-；X2+4,得力卜加6_42,p)t

N(，16-42,夕)，再分类讨论，当点D在线段8C上或当点D在射段C8上，结合二次函数的

图象性质，即可作答；

(3)依题意，设E［机，-：机2+4，再运用待定系数法求出直线总的解

m—4m+4,

析式为y=：—X+4A-机和直线尸E的解析式为y=-——x+m+4,

卞艮据尸G_0G=-+W+4--^―+4-mJ，化简即可作答.

【小问1详解】

解：依题意，

1,

才巴了=0代入了=—4厂+4，

1,

贝卜4厂+4=°

解得须=-4,X2=4

即可得，(-4,0),网4,0),

12,

因为＞=_7》一+4

当x=0时，_y=4,止匕时C(0,4)

设直线5c的解析式为了=.+6,

把5(4,0)和C(0,4)代入y=kx+b