2024年河北省石家庄市新华区中考数学一模试卷及答案解析

2024年河北省石家庄市新华区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共16个小题、共38分,1〜6小题各3分，7〜16小题各2分，在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）下列各图中，表示“射线AB”的是（）

A-ABB.AB

cD.

-ABAB

2.（3分）-工的绝对值是（）

5

A.-1B.XC.5D.-5

55

3.（3分）化简4诬的结果是（

A.±4B.4C.2D.±2

4.（3分）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点0,测得0A

16m,OB=12m,那么AB的距离不可能是（）

A.5mB.15mD.30m

5.（3分）2024年河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目包含①②③④共

四项，由各市教育行政部门抽签决定.某市教育行政部门从四个项目中随机抽取一项,

抽到项目①的概率为（）

A.11

B.1C.D-5

234

2

6.（3分）化简—―上_亘_的结果是（）

a2-b2a+b

323

A.—5——B..A_C.aD.

3,3

a-ba-ba+ba-b

7.（2分）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF〃BC,

ZB=ZEDF=90°,/A=45°,ZF=60°,则/CED的度数是（）

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A.15B.20°D.30

8.（2分）如图，甲几何体由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得

到乙几何体，移动前后两几何体的三视图没有改变的是（）

甲

A.只有主视图B.只有俯视图

C.主视图和左视图D.左视图和俯视图

9.（2分）2024年第一季度甲工厂共生产5.6X107个零件，乙工厂共生产5.5X1（）7个零件,

求甲工厂比乙工厂多生产多少个零件，结果用科学记数法表示为（）

A.0.1X107B.0.IX106C.1X106D.1X107

10.（2分）如图，。0的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点E,若DE=0B,ZA0C

=60°,则/E等于（）

A.20°D.45°

n.（2分）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图

（1）所示的菱形，并测得/B=60。，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得

对角线AC=20企，则图（1）中菱形的对角线BD长为（）

A.20B.30D-2Ch/2

第2页（共8页）

12.（2分）如图1,已知Rtz!\ABC,画一个RtZ\A'B'C',使得RtZiA'B'C'^RtA

ABC.在已有/MB'N=90°的条件下，图2,图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过

程.下列说法错误的是（）

A.

B.嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是HL

C.琪琪第二步作图时，是以C为圆心，线段AC的长为半径画弧

D.琪琪作图判定两个三角形全等的依据是SAS

13.（2分）如图，在4ABC中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB,AC于点D,E.其

中点B,C,D,E处的读数分别为8、16、10.&14.5已知直尺宽为3,则4ABC中BC

边上的高为（）

A.2

14.（2分）现将n颗糖果装入m个糖盒中，若每个糖盒放40颗糖果，则还有10颗糖果装

不下，若每个糖盒放43颗糖果.则只有1颗糖果装不下，有下列四个等式：①40m+10

=43m-1；②n+1°上工③LitJi!；（4）40m+10=43m+l.其中正确的是（）

40434043

A.①②B.②④C.①③D.③④

15.（2分）如图是一种轨道示意图，其中A、B、C、D分别是正方形的四个顶点，现有两

个机器人（看成点）分别从A,C两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其

路线分别为AfD—C和CfBfA.若移动时间为t,两个机器人之间距离为d.则d?与

t之间的函数关系用图象表示大致为（）

第3页（共8页）

D

16.（2分）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究:

如图，将抛物线Cl：y=-（x+l）2+2平移到抛物线C2：y=-（x-2）2-1,点p（m,

Q（m,n2）分别在抛物线C2±.

甲：无论m取何值，都有ii2<0；

乙：若点P平移后的对应点为P',则点P移动到点P'的最短路程为3&；

丙：当-3Vm<l时，随着m的增大，线段PQ先变长后变短.

下列判断正确的是（

A.只有丙说得错B.只有乙说得错

C.只有甲说得对D.甲、乙、丙说得都对

二、填空题（本大题共3个小题，共10分.其中17小题2分，18〜19小题各4分，每空

2分）

17.（2分）计算：32x3-1=.

18.（4分）如图，已知平面直角坐标系中有一个2义2的正方形网格，网格的横线、纵线分

别与x轴.y轴平行，每个小正方形的边长为1.点N的坐标为（3,3）.

（1）点M的坐标为;

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（2）若双曲线L：y=K（x>0）与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k

X

的值有个.

y\______N

M田

Ox

19.（4分）如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2

所示.小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A且交CD于点P,量得PC长为1mm,六

边形ABCDEF的边长为4mm.

（1）AP长为mm；

（2）Q为圆上一点，贝!]AQ的最小值为mm.

三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.（9分）已知数轴上有M,N两点，点M表示的数为3x-5,点N表示的数为9-x.

（1）当x=-l时，求线段MN的长；

（2）若点M与点N关于原点对称，求点M表示的数；

（3）若点M在点N的左侧，求x的正整数值.

21.（9分）在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了

部分学生的课外阅读量.绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）,其

中条形统计图被墨汁污染了一部分.

（1）条形统计图中被墨汁污染的人数为—人.“8本”所在扇形的圆心角度数为_。；

（2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数；

（3）随后又补查了m名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之

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前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变,

图1图2

22.（9分）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数.

【验证】（2+1）2-（2-1）2=；

【证明】设两个正整数为m,n,请验证“发现”中的结论正确;

【拓展】已知（x+y）2=100,xy=24,求（x-y）2的值.

23.（10分）如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点（0,1）和（4,1）.

（1）求二次函数的表达式；

（2）已知AABC为一直角三角形纸片，ZBAC=90°,AB=1,AC=2,直角边AB落在

x轴上，将纸片沿x轴滑动，当点C落在抛物线上时，求点B的坐标.

24.（10分）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨

盘半径0Q=2dm,用长为11dm的连杆将点Q与动力装置P相连（NOQP大小可变），

点P在轨道AB上滑动，带动点Q使磨盘绕点0转动，OA_LAB,OA=5dm.

（1）当点0、P、Q三点共线的时候，AP的长为；

（2）点P由轨道最远处向A滑动，使磨盘转动不超过180°的过程中：

①PQ与。。相切于点Q,如图3,求AP的长；

②从①中相切的位置开始，点P继续向点A方向滑动2.41m至点P],点Q随之逆时针

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运动至点Qi，此时P]Qi〃PQ,求点Q运动的路径长(结果保留口).

(参考数据：sin3720.6Qcos37°"0.8Qtan37«0.75)

图I

I也图3备用图

25.(12分)如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(2,2)、B(4,1).直线1：y

=x+2与x轴，y轴分别交于C,D两点，动点P从点D出发，沿y轴以每秒1个单位长

的速度向下移动，设移动时间为t秒.某同学设计了一个动画：线段AB为蓝色光带，当

有动点或动直线经过线段AB时，蓝色光带会变成红色.

(1)求直线AB的解析式；

(2)①若直线1随点P向下平移、当t=2时，蓝色光带是否变红？

②点M是直线1上的一点，若点M向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变

红，求点M的横坐标期的取值范围；

(3)当点C,点P与蓝色光带上的点Q(m,n)三点共线时，直接写出m与t的函数关

系式.

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26.(13分)如图1和图2,四边形ABCD中，AB=6,BC=8,AD=2A/17>CD<AB,ZB

=ZC=90°，点E在AB边上，且AE=2.动点P从点B出发，沿折线BC-CD-DA

运动，到达点A时停止，设动点P运动的路径长为x(x>0).

(1)如图1,①CD=；

②当EP=CP时，求x的值；

(2)如图2,当0<xW8时，连接EP,PD,当EPJ_PD时，求证：4BEP和4CDP全

等；

(3)当0<xW12时，作点B关于EP的对称点B',连接EB',设EB'与AB所夹的

锐角为a,直接写出sinft的值(用含x的式子表示).

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2024年河北省石家庄市新华区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题、共38分.1〜6小题各3分，7〜16小题各2分，在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.【分析】根据射线的定义即可作答.

【解答】解：A.表示直线AB,故本选项不符合题意；

B.表示射线AB,故本选项符合题意；

C.表示线段AB,故本选项不符合题意；

D.表示射线BA,故本选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题主要考查直线、射线和线段，解题的关键是熟练掌握直线、射线和线段的

定义.

2.【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式；第二步根据

绝对值定义去掉这个绝对值的符号.

【解答】解：）=—.

555

故选：B.

【点评】规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0

的绝对值是0.

3.【分析】根据平方运算，可得算术平方根.

【解答】解：化简标的结果是4,

故选：B.

【点评】本题考查了算术平方根，平方运算是求算术平方根的关键.

4.【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于

第三边可得16-12<AB<16+12,再解即可.

【解答】解：根据三角形的三边关系可得：16-12<AB<16+12,

即4<AB<28,

30m不可能.

故选：D.

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的

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两边的差，而小于两边的和.

5.【分析】利用概率公式即可求出答案.

【解答】解：...市教育行政部门从四个项目中随机抽取一项的可能结果共有4种，抽到

项目①的可能结果只有1种，

，抽到项目①的概率为

4

故选：c.

【点评】本题主要考查概率公式，灵活运用此公式是解题的关键.

6.【分析】根据分式乘除法的运算法则进行计算即可.

【解答】解：原式=7-C——

(a+b)(a-b)a

_a

a-b

故选：B.

【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练运用分式乘除法的运算法则.

7.【分析】由NB=NEDF=90°,ZA=45°,ZF=60°,利用三角形内角和定理可得出

ZACB=45°,由EF〃BC,利用“两直线平行，内错角相等“可得出/EDC的度数，

结合三角形外角的性质可得结论.

【解答】解：VZB=90°,ZA=45°,

/.ZACB=45°.

•；ZEDF=90°,ZF=60°,

/.ZDEF=30°.

VEF〃BC,

ZEDC=ZDEF=30°,

/.ZCED=NACB-ZEDC=45°-30°=15°.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相

等”是解题的关键.

8.【分析】根据简单组合体三视图的画法画出组合体甲、乙的三视图，根据三视图的形状进

行解答即可.

【解答】解：组合体甲，组合体乙的三视图如下：

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主视图左视图主视图左视图

俯视图俯视图

甲乙

如图可知，组合体甲、乙的左视图相同，俯视图也相同，

故选：D.

【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画

法和形状是正确解答的关键.

9.【分析】两数作差即可求出答案.

【解答】解：5.6X107-5.5X1()7

=0.1X107

=1X106（个）.

故选：C.

【点评】本题主要考查科学记数法，牢记科学记数法中a的范围是解题的关键.

10.【分析】连接0D,BC,由OB=DE可得OD=DE,设NE=ND0E=x,则/BCE=Ax,

2

由NAOC=60°可得NCBO=30°,再根据外角的性质即可解得.

【解答】解：连接OD,BC,如图,

VOB=DE,

；.0D=DE,

设NE=/DOE=x,则NBCE=L

2

,?ZAOC=60°,

；.ZCBO=30°,

.•.X+L=30。，

2

解得x=20°,

?.ZE=20°,

故选：A.

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【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键.

11.【分析】根据正方形的性质得NB=90°,AB=CB,由勾股定理得AB2+CB2=2AB2=AC2

=(2队历)2,则AB=20,再证明4ABC是等边三角形，则AC=AB=20,再利用含30

度角的直角三角形求出0B,于是得到问题的答案.

【解答】解：在正方形ABCD中，NB=90°,

/.AB2+CB』AC2,

；AB=CB,AC=20点,

；.2AB2=(20A/2)2,

?.AB=20,

在菱形ABCD中，AB=CB=20,

,.,ZB=60°,

.,.△ABC是等边三角形，

/.AC=AB=20,

如图(1),连接BD交AC于点0,

；.AC±BD,ZABO=30°,

.,.OA=—AB=10,

2

.,.OB=V3OA=1073,

；.BD=20B=20禽，

故选：c.

【点评】此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性

质等知识，根据勾股定理求得AB=20是解题的关键.

12.【分析】根据基本作图方法即可进行判断.

【解答】解：A.嘉嘉第一步作图时，是以B'为圆心，线段BC的长为半径画弧，正确，

不符合题意；

B.嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是HL,正确，不符合题意；

C.琪琪第二步作图时，是以C为圆心，线段AC的长为半径画弧，应该是以B'为圆心，

线段BC的长为半径画弧，故原说法错误，符合题意；

D.琪琪作图判定两个三角形全等的依据是SAS,正确，不符合题意；

故选：C.

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【点评】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定，直角三角形全等的判定，解

决本题的关键是掌握基本作图方法.

13.【分析】过A作AH_LBC于H,交DE于F,根据已知条件得到BC=16-8=8,DE=

14.5-10.A4,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：过A作AH±BC于H,交DE于F,

;点B,C,D,E处的读数分别为8、16、10.5,14.5

.,.BC=16-8=8,DE=14.5-10.5=4,

VDE〃BC,

AADE^AABC,

.DEAFD/：\E

■:直尺宽为3,BHC

AFH=3,

.4_AH-3

"7"AH'

.,.AH=6,

/.AABC中BC边上的高为6,

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理

是解题的关键.

14•【分析】根据糖盒的个数不变或糖果的颗数不变，即可列出关n或m的一元一次方程，

再对照四个选项，即可得出结论.

【解答】解：：若每个糖盒放40颗糖果，则还有10颗糖果装不下，若每个糖盒放43颗

糖果.则只有1颗糖果装不下，且共有n颗糖果，

.n-10_n-l.

■'"io"一石：

•.,若每个糖盒放40颗糖果，则还有10颗糖果装不下，若每个糖盒放43颗糖果.则只有

1颗糖果装不下，且共有m个糖盒，

.,.40m+10=43m+l.

,正确的方程有③④.

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一

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次方程是解题的关键.

15.【分析】设正方形的边长为1,两个机器人看作点E和F,两个机器人的速度均为1,当

点E在边AD上，点F在边BC上时，根据勾股定理得到d2与t之间的函数关系，判断

出应该是开口向上的二次函数，排除选项C和D,进而判断出未出发时和到达第一个拐

点时d2的值可得正确选项.

【解答】解：设正方形的边长为1,两个机器人看作点E和F,两个机器人的速度均为1.

当点E在边AD上，点F在边BC上时，AE=CF=t

作EG±BC于点G,可得矩形AEGB和矩形CDEG.

/.BG=AE=t,ZEGF=90°.

AGF=1-2t,EF2=EG2+FG2.

...两个机器人之间距离为d.

.•.d2=l2+(1-2t)2=4在+4/2.

；4>0,

二函数图象为开口向上的二次函数.

故选项C和D不符合题意.

当机器人未出发时，点E在点A处，点F在点C处，如图1.

EF2=AB2+BC2=2；

当机器人分别到达点D和点B时，如图2.

EF2=AB2+AD2=2；

此时函数的y的值和未出发时y的值相同，

故选：B.

【点评】本题考查动点问题的函数图象.根据动点的不同位置判断出特殊点的值及相关

的函数解析式是解决本题的关键.

16.【分析】求得抛物线C2的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线Cj

y=-(x+1)2+2向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线C2：y=-(x-2)

2-1,即可求得点P移动到点P'的最短路程为旧7=3加，即可判断乙说得对；

由PQ=|-(m+1)2+2+(m-2)2+11=6m+61可知当时，PQ=-6m+6,根

据一次函数的性质即可判断丙说得对.

【解答】解：：抛物线C2：y=-(x-2)2_1开口向下，顶点为(2,-1),

第6页(共18页)

<

，无论m取何值，都有n20；故甲说得对；

•.•将抛物线Ci：y=-（x+1）2+2的顶点为（-1,2）,抛物线C2：y=-（x-2）2_x

的顶点为（2,-1）,

二将抛物线Ci：y=-（x+1）2+2向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线C2：

y=-（x-2）2一］,

二点P移动到点P'的最短路程为杼守=3近，故乙说得对；

PQ=|-（m+1）2+2+（m-2）2+11=|-6m+61,

.•.当时，PQ=-6m+6,

.,.PQ随着m的增大而减小，

...当时，随着m的增大，线段PQ由长变短，故丙说得不对.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点

的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键.

二、填空题（本大题共3个小题，共10分.其中17小题2分，18〜19小题各4分，每空

2分）

17•【分析】利用同底数得的乘法运算法则进行计算.

【解答】解：原式=32八

=3.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查同底数嘉的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数嘉的乘法运算法

则.

18.【分析】（1）根据已知条件及线段的和差求出M的坐标.

（2）先找出正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点，假设每个点处都有双曲线，求

出此时k的值，再根据只有两个点的对应的k值相等即可得出答案.

【解答】解：（1）如图所示，

...每个小正方形的边长为1,

:.NC=AN=AB=2,

,点N的坐标为（3,3）,

...点M的横坐标为3-2=1,点M的纵坐标为3-1=2,

第7页（共18页）

二点M的坐标为(1,2).

故答案为：(1,2).

(2)正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、

(2,2)、(2,3)、(2,3)、(2,$)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,—(3,—

2233

(3,工)、(3,旦)、(2,1)、(3,1)、(2,3)、(2,刍)、(3,—),(3,刍)、(3,1)、

3322333

(3,区)、

3

则分别过以上点的双曲线的k值分别为：1,2,3,2,4,6,3,5,3,6,9,4,5,7,

8,2,3,3,5,4,5,7,8

所以当y=K(X>0)与正方形网格线有两个交点，k的值可以为2、6、7、8,

X

满足条件的正整数k的值有4个.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及性质，解题的关键是熟练运用

以上知识点.

19.【分析】(1)根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系即可求出答案；

(2)利用三角形中位线的定理求出。0的半径，求出0A与。0半径的差即为AG的最

小值.

【解答】解：(1)如图1,连接0A、OB、AC,则OB±AC

,六边形ABCDEF是正六边形，

AF

ZAOB=60°,AB=OA=OB=4mm,

.,.AC=^-OAX2=4(mm),

2

在RtZkACP中，PC=lmm,AC=45/^mm,

；.AP='氯2+PC2=7(mm),CPD

图1

故答案为：7；

(2)如图2,设切点为T,圆心为0,连接0T,则ATLOT连接AD,则AD过圆心0,

过点P作PH±AD于点H,AF

在Rtz\DHP中，PD=3mm,ZPDH=60°,

Vs

.,.PH=-^-PD=mm,

2

第8页(共18页)CPD

图2

,/ZATO=NAHP=90°,ZOAT=NPAH,

AOAT^APAH,

.PT=OA.

"PHPA'

即品-=4,

3437

2

解得OT=AZ1=ON,

7

7.AQ的最小值为OA-ON=4-空二=殳”amm.

77

故答案为：28-6聪

7

【点评】本题考查正多边形与圆，切线的性质以及三角形中位线定理，掌握切线的性质,

正六边形的性质以及三角形中位线定理是正确解答的关键.

三、解答题(本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.【分析】(1)当x=-1时，3x-5=-8,9-x=10,故MN=10-(-8)=18；

(2)若点M与点N关于原点对称，可得3x-5+9-x=0,即x=-2,故点M表示的数

为3x-5=-11；

(3)若点M在点N的左侧，可得3x-5<9-x,即可得x<3.5,故x的正整数值为1,

2,3.

【解答】解：(1)当x=-1时，3x-5=-8,9-x=10,

故MN=10-(-8)=18；

(2)若点M与点N关于原点对称,

得3x-5+9-x=0,即x=-2,

故点M表示的数为3x-5=-11；

(3)若点M在点N的左侧，

得3x-5<9-x,即x<3.5

故x的正整数值为1,2,3.

【点评】本题主要考查了数轴，解题关键是数形结合的思想的应用.

21.【分析】(1)由扇形统计图和条形统计图可知读9本课外读物的人数8且占40%,可以

求出总人数，然后求出8本占总人数的百分比，最后乘以360即可求出答案；

(2)根据平均数的算法及中位数的算法即可作答；

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(3)先确定原来阅读量的众数为9本，再根据阅读量的众数没改变，列不等式即可得出

答案.

【解答】解：(1)84-40%=20(人)，

20-2-6-8=4(人)，

64-20X360°=108°,

故答案为：4；108.

(2)7=(7X2+8X6+9X8+10X4)+20

=174+20

=8.7(本)，

中位数为(9+9)4-2

=184-2

=9(本)，

答：被抽查到的学生课外阅读量的平均数为8.7本，中位数为9本.

(3)原来阅读量的众数为9本，

所以m+4<8,

解得：m<4,

Vm为正整数，

/.m的最大值为3.

【点评】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、中位数及众数，解题的关键是理解题

意，利用数形结合的思想解答.

22.【分析】【验证】根据有理数乘方的运算法则进行计算即可；

【证明】计算(m+n)2-(m-n)』4mn,则可得出结论；

【拓展】根据【证明】得(x+y)2-(x-y)2=4xy,然后将(x+y)2=100,xy=24整

体代入计算即可得出答案.

【解答】解：【验证】(2+1)2-(2-1)2=32-12=8=4X2；

【证明】：(m+n)2-(m-n)2

=[(m+n)+(m-n)(m+n)-(m-n)]

—2mX2n

=4mn,

Vm,n是正整数，

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(m+n)2-(m-n)2是4的倍数

即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数；

【拓展】根据【发现】得：(x+y)2-(x-y)2=4xy,

又：(x+y)2=100,xy=24,

.,.100-(x-y)2=4X24,

(x-y)2=100-4X24=4,

【点评】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解决

问题的关键.

23.【分析】(1)将点(0,1)和(4,1)代入y=-x2+bx+c,即可求解；

(2)根据AC=2确定点C的纵坐标，根据二次函数的解析式可得点C的横坐标，由将

纸片沿x轴滑动，且AB=1,可得点B的坐标.

【解答】解：(1)将点(0,1)和(4,1)代入y=-x2+bx+c中得：

.Jc=l,

I-16+4b+c=l

解得:(b=4,

IC=1

.•.二次函数的表达式为：y=-x2+4x+l;

(2)VAC=2,ZBAC=90°,直角边AB在x轴上，

...点C的纵坐标为2,

当y=2时，-x2+4x+l=2,

解得：x=2土^^,

/.B(3+V3,0)或(3-a，0).

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象

平移的性质是解题的关键.

24.【分析】(1)求出OP=OQ+PQ=13(dm),由勾股定理可得AP=而环彳=12(dm)；

(2)①连接0P,根据PQ与。0相切于点Q,可得OP』0Q2+PQ2=125,又0A±AB,

故AP=^Qp2_Q^2=io(dm)；

②连接QQPOQ1，过0作OK，QQ1于K,由PQ=P1Q「P*/PQ，可得四边形PQQ品

是平行四边形，故P[Q]=PP1=2.4im,QK=Q]K=L21m,可得sinZQOK=sin/Q^K

=_L2=0.6故NQOK=/Q]OK七37°,从而点Q运动的路径长为Z12£2L2£2=上Z_n

218045

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(dm).

【解答】解:（1）如图:

根据题意得：OA±AB,OA=5dm,OP=0Q+PQ=2+11=13(dm),

AP=VOP2-OA2=V132-52=12(dm);

故答案为：12dm；

(2)①连接OP,如图：

VPQ与。0相切于点Q,

ZOQP=90°,

/.OP2=0Q2+PQ2=22+112=125,

VOA±AB,

22=

；.AP=VOP-OAV125-52=10(dm)；

.,.AP的长为10dm；

②连接QQi，OQp过。作OK_LQQi于K,如图:

VPQ=P&，PiQ/PQ,

二四边形PQQFi是平行四边形,

/.p1Q1=PPl=2.41m,

Z.QK=QXK=1.2dm,

VOQ=0Qi=2,

；.sin/QOK=sinZQiOK=l^L=0.6

2

；.ZQOK=NQ1OK-37°，

AZQ=74°,

•••点Q运动的路径长为卫卫卫=鲤五（dm）.

18045

【点评】本题考查圆的综合应用，涉及勾股定理及应用，平行四边形判定与性质，弧长

的计算，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握切线的性质和灵活运用勾股定理.

25.【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（kWO）,把点A、B的坐标代入可得k和b

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的值，即可求得直线AB的解析式；

(2)①易得直线1向下平移2个单位后的直线解析式为y=x,判断出此时点A在直线y

=x上，那么蓝色光带会变红；

②根据点M向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，可得点M平移的最

大垂直距离是4,那么点M未移动时在直线1上的纵坐标与移动后落在直线AB上的纵坐

标最大相差4,可得XM的最大值；根据①中得到信息，点M向下平移2个单位长度落

在点A(2,2)处，蓝色光带就会变红可得xM的最小值，即可判断点M的横坐标却的

取值范围；

(3)易得点P的坐标为(0,2-t),C(-2,0).设经过点C、P的直线解析式为：y

=ax+c(aWO).把点C、P代入直线解析式，可得用t表示的一次函数，进而根据点Q

(m,n)在直线AB上，得到用m表示的点Q的坐标.代入过点C、P的直线解析式，

整理可得m与t的函数关系式.

【解答】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(kWO).

...经过点A(2,2)、B(4,1),

./2k+b=2

"l4k+b=l-

fk=-l

解得:K2.

b=3

二直线AB的解析式为：y=_—x+3；

2

(2)①蓝色光带会变红.

理由：...直线1：y=x+2,1与y轴交于点D,

二点D的坐标为(0,2).

...直线1随点P向下平移，每秒1个单位长度，运动时间t=2,

运动路程为2个单位长度.

二直线1此时经过点(0,0).

...此时直线1的解析式为：y=x.

当x=2时，y=2.

.,.点A在直线1上.

蓝色光带会变红；

②：点M向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，

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二点M平移的最大垂直距离是4.

-

xM+2--^-xM+3)=4.

解得：xu=¥"

由①得：点M向下平移2个单位长度落在点A(2,2)处，蓝色光带就会变红,

二冲=2.

：.2WXMWM.；

3

(3)I.点Q(m,n)在蓝色光带AB上，直线AB的解析式为：y=-—x+3；

2

..n=--^-in+3.

2

.,.点Q的坐标为(m,-+3)(2WmW4).

2

由题意得：点P的坐标为(0,2-t),C(-2,0).

设经过点C、P的直线解析式为：y=ax+c(a/0).

.fc=2-t

'l-2a+c=0"

ft

解得：，

c=2-t

y—(1-—)x+2-t

2

...点C,点P与蓝色光带上的点Q三点共线，

.•.111=空2(2WmW4).

3-t

【点评】本题综合考查一次函数的应用.用到的知识点为：一次函数的平移，只改变函

数值，上加下减.根据点M向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，得到

点M平移的最大垂直距离是4是解决本题的难点.

26.【分析】(1)①过点D作DMLAB于M,证明四边形BMDC是矩形，利用勾股定理可

得AM=2,即可得答案；

②作EC的垂直平分线交BC于P,交AD于P',贝(IEP=CP,EP'=CP'，以B为

坐标原点，BC、BA为坐标轴建立平面直角坐标系，当EP=CP时，利用勾股定理可得答

第14页(共18页)

案；当EP'=CP'时，利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=-且x+6,设P'(p,

4

-工p+6),根据EP'=CP'求出p=蛇，进一步求出P，D,即可得答案；

43

(2)证明AEBPS/\PCD,根据相似三角形的性质求出PC=4,即可得ABEP和4CDP

全等；

(3)分两种情况：①当0<xW8时，作点B关于EP的对称点B，,连接EB'，PB',

过B作BFLEB'于F,结合轴对称的性质即可求解；②当8<xW12时，作点B关于

EP的对称点B，，连接EB',PB',过B'作B'QXBA于Q,过P作PH±BA于H,

求出BB'=)------,设B'Q=m,QE=n,利用勾股定理建立方程组求出n

V(12-X)2+64

=―2驾一-4,即可求解.

(12-x)z+64

【解答】(1)解：①过点D作DMLAB于M,

,.,ZB=ZC=90°,

二四边形BMDC是矩形，

.,.CD=BM,DM=BC=8,

**AD2fM=