陕西省宝鸡市2025届高三数学（理）模拟考试试题（含解析）

陕西省宝鸡市2025届高三数学2月模拟考试试题理(含解析)

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设全集。={0,123,4},集合A={0,l,2},集合3={2,3},贝()

A.0B.{1,2,3,4}C.{2,3,4}D.

{04,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】

先求C°A,再依据并集定义求结果.

【详解】因为QA={3,4},所以(CA)U6={2,3,4},选C.

【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解实力，属基本题.

2.在区间［—2,2］上随意取一个数x,使不等式尤2一%<。成立的概率为()

1111

A-B.-C.-D.—

6234

【答案】D

【解析】

【分析】

先解不等式，再依据几何概型概率公式计算结果.

1-01

【详解】由三―x<0得0<%<1，所以所求概率为1选D.

【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑运用几何概型求解.

(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事务发生的区域的找寻，有

时须要设出变量，在坐标系中表示所须要的区域.

(3)几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性.基本领件可以抽象为点，尽管这些

点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.

3.已知各项为正数的等比数列{4}满意q=1,g4=16,则％,=()

A.64B.32C.16D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

先依据条件求公比，再依据等比数列通项公式求生.

55

【详解】由a2a4=16得012g4=16,九=16q>Qq=2a6=a^q=2=32.B.

【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解实力，属基本题.

4.欧拉公式*=cosx+/sinx（i为虚数单位）是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将指数

函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，依据欧拉公式可知，F表

—I

e4

示的复数在复平面中位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

en

依据欧拉公式计算不，再依据复数几何意义确定象限.

—I

em_cos7i+isin7i_-1_^2.0厂厂

【详解】因为五=一兀一兀=飞―7T=_T+zT-所以对应点（―义,卫），

e4cos—+isin——+22

4422

在其次象限，选B.

【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解实力，属基本题.

X>1,

y>1,

5.已知A/、N是不等式组，।八所表示的平面区域内的两个不同的点，则1脑V|的

x-j+l>0,

x-\-y<6

最大值是（）

A.5B.叵C.372D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】

先作可行域，再依据图象确定|MN|的最大值取法，并求结果.

【详解】作可行域,为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(l,1),B(2,1),C⑶5,2.5),D(1,5)

四点共圆，BD为直径，所以的最大值为8口=而不=而，选A.

【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.须要留意的是：一，精确

无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要留意与约束条件中的直线的斜率进

行比较，避开出错；三，一般状况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上

取得.

6.若均不为1的实数匕满意a>3>0,且。6>1,则()

afoab+xa+bba

A.loga3>log,3B.3+3>6C.3>3D.a>b

【答案】B

【解析】

【分析】

举反例说明A,C,D不成立，依据基本不等式证明B成立.

【详解】当a=93=3时log,,3<l0gz,3；当a=2力=1时3""+i=3"+";当a=4,b=2时

或=b。；

因为a>b>0，ab>l,所以3“+3">2后下=2^2后而>6，

综上选B.

【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证实力，属基本题.

7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

D.10

【答案】A

【解析】

【分析】

依据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，依据体

积公式分别计算即可.

【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为

V=23+-x-x2x73x2=8+^^,

323

故选A.

【点睛】本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.

8.如图，边长为1正方形A3CD,射线从54动身，围着点5顺时针方向旋转至BC,在

旋转的过程中，记乙钻2=4工€[0,会]),3尸所经过的在正方形ABCD内的区域(阴影部

分)的面积为y=/(%),则函数/(x)的图像是()

B

【答案】D

【解析】

【分析】

依据条件列y=/(x),再依据函数图象作推断.

71

【详解】当时，y==；

n7t时，=x

当t工£丁，彳yf（）=1--xix—^―

(422tanx

依据正切函数图象可知选D.

【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别实力，属基本题.

9.下边程序框图算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行

该程序框图，若输入。、人、i的值分别为6、8、0,则输出。和i的值分别为()

A.0,3B.0,4C.2,3D.2,4

【答案】C

【解析】

【分析】

执行循环，直至a=6终止循环输出结果.

【详解】执行循环，得，=l,b=2"=2,a=4"=3,a=2,结束循环，输出a=2/=2,此

时1=3,选C

【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关

概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止

条件，更要通过循环规律，明确流程图探讨的数学问题，是求和还是求项.

sin(x+«),%<0

io.已知函数/'(%)=,、八的图像关于y轴对称，则、=311%的图像向左平移

cos(x+b),x>()

()个单位，可以得到y=cos(x+a+b)的图像().

71

B.-C.—D.n

432

【答案】D

【解析】

【分析】

依据条件确定a,。关系，再化简y=cos(x+a+Z?),最终依据诱导公式确定选项.

/、[sin(x+a\.x<0

【详解】因为函数/(x)=〈\C的图像关于y轴对称，所以

cos^x+b),x>G

sin+a]=cos,sin(—»+=cos(»+b),即sin/?=cosa,sina=cosb,

兀_

因此匕4+人=万+2kli(keZ),

从而y=cos(x+a+/>)=-sinx=sin(x+^'),选D.

【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别实力，属

中档题.

11.已知一条抛物线恰好经过等腰梯形A3CD的四个顶点，其中A5=4,

NC=CD=A£)=2,则该抛物线的焦点到其准线的距离是()

A.正B.@C.V3D.2A/3

42

【答案】B

【解析】

【分析】

不妨设抛物线标准方程无2=2刀5>0),将条件转化为坐标，代入解出。，即得结果.

【详解】不妨设抛物线标准方程无2=2”(°>0),可设。(1,7〃),3(2,根+百)，

则1I—?'"'.•.3=2p6.p=£,即抛物线的焦点到其准线的距离是由，选B.

[4=2"(相+我22

【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解实力，属基本题.

12.已知正方体ABC。—A4GR的棱长为2,M为CG的中点.若AM,平面a,且平

面戊，则平面0截正方体所得截面的周长为()

A.30+2&B.4+472C.2肥+2后D.672

【答案】A

【解析】

【分析】

依据线面垂直确定平面a,再依据截面形态求周长.

【详解】明显在正方体中3D，平面ACGA，所以80，AM,

取AC中点E,取AE中点0,则tanZ^OA=tanZACM/.\O±AM,

取AC中点Ei,取AE中点Oi,过Oi作PQ〃BD,分别交A&,AD于P,Q

从而4以，平面3DQP,四边形BDQP为等腰梯形，

周长为2夜+及+2xJ1+2?=3直+2石，选A.

【点睛】本题考查线面垂直推断以及截面性质，考查综合分析与求解实力，属难题.

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线C：二—4=1,点P(2,1)在C的渐近线上，则C的率心率为

a2b2

【答案】—书

2

【解析】

试题分析：依据双曲线的方程，可知焦点在x轴上，结合P(2,1)在渐近线上，所以2=J_,

a2

即。=24所以c=后,从而有其离心率6=工=1百.

a2

考点：双曲线的离心率.

14.(2x-。叶的绽开式中的常数项的值是________.(用数学作答)

7x

【答案】60

【解析】

【分析】

依据二项式定理确定常数项的取法，计算得结果.

【详解】因为=禺(2》产(一力)’=C黄2产(一1)》,

所以令6—：r=0得r=4,即常数项为C；(2)6-4(_I)4=60.

【点睛】求二项绽开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求绽开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出厂值即可.

(2)已知绽开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由

特定项得出厂值，最终求出其参数.

15.设AABC的外心P满意AP=；(AB+AC),贝|cos44C=

【答案】-

2

【解析】

分析】

依据向量表示确定外心为重心，即得三角形为正三角形，即得结果.

【详解】设BC中点为M,所以AP=g(A3+AC)=■|AM,因此P为重心，而P为AA6C的

外心，所以AABC为正三角形，cosZBAC=~.

2

【点睛】本题考查向量表示以及重心性质，考查综合分析与求解实力，属中档题.

16.数列｛为｝的首项为1，其余各项为1或2,且在第左个1和第左+1个1之间有2女-1个2,

即数列｛4｝为：1，2，1，2,2，2，1，2，2，2,2,2,1，…，记数列｛。“｝的前

〃项和为S“，则§2019=.(用数字作答)

【答案】3993

【解析】

【分析】

先由题意，得到第k+1个1为数列｛风｝第公+左+1项，依据题意，分组求和，即可求出结

果.

【详解】由题意，第左+1个1为数列｛4｝第左+1+(1+3+5++2左—1)=产+左+1项，

当出=44时，攵2+^+1=1981；

当上=45,时左？+左+1=2071；

所以前2024项有45个1和44?+(2019—1981)个2,

因止匕S2019=45+2x[442+(2019-1981)]=3993.

【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记分组求和的方法即可，属于常考题型.

三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在，ABC中，角A，B,C的对边分别是b,c,已知cos2A=-§,c=6，

sinA=A/6sinC■

(1)求。的值；

(2)若角A为锐角，求力的值及”ABC的面积.

【答案】(1)a=342(2)b=5,S^BC二当

【解析】

【分析】

(1C

(1)结合题设条件和正弦定理——=——，即可求解；

sinAsinC

(2)由余弦的倍角公式，求得cosA=且，sinA--,再结合余弦定理和三角形的面积

33

公式，即可求解.

【详解】（1）在qABC中，因为c=百，sinA=-J6sinC，

Z7「

由正弦定理一^=「；，解得a=30

sinAsinC

17T

（2）因为cos2A=2cosoA—1=—,又0<A<一,

32

所以cosA=-，sinA=-

33

由余弦定理I^b2+c--2bccosA，得廿―28—15=0，

解得b=5或Z?=—3（舍），所以S-BC=；、csinA=5f,

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三

角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解

是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

18.如图（1）,等腰梯形ABC。，AB=2,CD=16,AD=2五,E、歹分别是CD的两

个三等分点.若把等腰梯形沿虚线A尸、师折起，使得点。和点。重合，记为点尸，如图（2）.

（1）求证：平面？EEL平面

（2）求平面Q4F与平面总B所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）正.

7

【解析】

【分析】

（1）依据线面垂直的判定定理，先证明班1面？即，再由面面垂直的判定定理，即可得

出结论成立；

（2）过P作POLER于。，过。作庞的平行线交/方于G,得到尸。，面又尸O,

EF,0G所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，用空间向量的方法，分别求出

平面Q4F和平面R钻的法向量，计算向量夹角余弦值，即可求出结果.

【详解】(1)因为E，尸是CD的两个三等分点，易知，ABER是正方形，故BELEF，

又BE±PE,且PEcEF=E，所以BE1面PEF，

又BEu面ABEF,所以面？印，45石尸.

(2)过P作POLER于。，过。作庞的平行线交于G,则尸0,面ABEF,

又P0,EF,0G所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，

则4（2,—1,0）,5（2,1,0）,F（0,-l,0）,P（0,0,豆），

所以河=（—2,0,0）,FP=（0,1,73）,AB=（0,2,0）,PA=（2,-1,-73）,

设平面B4F的法向量为“=(xrjpZj),

〃1•AF—0

则

々-FP-0

设平面R4B的法向量为%=(x2,j2,z2),

n-AB—0.2y2=°//—\

则22X2-瓜2=。'%=隔°，2）

n2,PA—0

_______2_=也

因止匕COS0=7—7-.-T

|n1|-|n2|2-A/77

V7

所以平面与平面N3所成锐二面角的余弦值

7

【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直，面面垂直的

判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.

19.已知耳，工分别为椭圆C:=+4=1（。〉6〉0）的左、右焦点，点尸（L%）在椭圆上，

ab

且尸鸟，x轴，的周长为6.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点7（0,1）的直线与椭圆。交于A,B两点,设。为坐标原点，是否存在常数X,使

得。4-OB+£DLZB=—7恒成立？请说明理由.

【答案】（I）土+匕=1（II）当；1=2时，OAOB+ATATB=-1

43

【解析】

【分析】

（I）由三角形周长可得归周+归闾=4,求出。，再依据〃=4—。2即可写出椭圆标准方

程（II）假设存在常数X满意条件，分两类探讨（1）当过点T的直线A3的斜率不存在时，

写出A,B坐标，代入。4.08+彳以-^8=—7可得几=2（2）当过点T的直线A5的斜率存

在时，设直线A3的方程为丁=依+1,设4（石,%），B（x2,y2）,联立方程组，利用根与系

数的关系代入OAOB+ATATB=%々+%%+彳［石工+（%-1）（%-1）］中化简即可求

出4=2.

【详解】（I）由题意，6（—L0），耳。,0），c=l

△尸耳工的周长为6,怛£|+|尸闾+2c=2a+2c=6

22

：.a=2,6=6，椭圆的标准方程为土+匕=1.

43

（ID假设存在常数彳满意条件.

（1）当过点T的直线AB的斜率不存在时，A（0,A/3）,B（0,-73）,

OAOB+ATATB=-3+矶百-川-百-1）］=-3-22=-7,

.•.当4=2时，OAOB+ATATB=-J；

（2）当过点T的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为丁=依+1,设A（%，K）,

3（孙％）,

f22

土匕=]

联立<43，化简得（3+4女2）/+8日—8=0,

y=Ax+1

08k8

1-4左2+31-4F+3

**•OAOB+ATATB=%尤2+%%+几[%々+（X-1）（%一1）]

=（1+彳）（1+左2）%%2+左（石+%2）+1

_8（1+/1乂1+左2）8k2+]_（_8）[（2+2*+]+2]]_7

―4k2+34左2+3—4F+3-

==解得：2=2即4=2时，OAOB+ATATB=-1<

43

综上所述，当；1=2时，OAOB+ATATB=-J-

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，分类

探讨的思想，属于难题.

20.某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，假如当地有N人，若逐个检验就须要检

验N次，为了削减检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有人个人，把这个女个人

的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这左个人的血液全为阴性，因而这左个人只要检

验一次就够了，假如为阳性，为了明确这个女个人中原委是哪几个人为阳性，就要对这左个人

再逐个进行检验，这时左个人的检验次数为人+1次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验

结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为P.

（I）为熟识检验流程，先对3个人进行逐个检验，若p=O.l,求3人中恰好有1人检测结

果为阳性的概率；

（II）设自为女个人一组混合检验时每个人的血须要检验的次数.

①当左=5,。=0」时，求J的分布列；

②是运用统计概率的相关学问，求当左和。满意什么关系时，用分组的方法能削减检验次数.

【答案】（I）0.243；（II）①见解析，②当1一夕〉正时，用分组的方法能削减检验次

【解析】

【分析】

(I)依据独立重复试验概率公式得结果；(II)①先确定随机变量，再分别计算对应概率，

列表可得分布列，②先求数学期望，再依据条件列不等式，解得结果.

【详解】(I)对3人进行检验，且检验结果是独立的，

设事务A：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率0.92=0.243

(II)①当K=5,P=0.1时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95,每人所检验

的次数为g次，若混合检验结果为阳性，则其概率为1-0.95,则每人所检验的次数为g次，

故自的分布列为

16

4

55

P0.951-0.95

②分组时，每人检验次数的期望如下

"+1=1-2)k

1

.•.EG”-叫+—

k

,、kI

不分组时，每人检验次数为1次，要使分组方法能削减检验次数，需1-(1-P)+-<1即

K

所以当1-时，用分组的方法能削减检验次数.

【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“推断取值”，其次步是

“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.

21.已知函数/(x)=4x2—4x+mln(2x),其中，"为大于零的常数

(I)探讨y=/(x)的单调区间；

(II)若y=/(x)存在两个极值点再，x2(xt<x2),且不等式/(石恒成立，求实数a

的取值范围.

【答案】(I)见解析；(II)ae(e3—21n2].

【解析】

【分析】

(I)先求导数，再依据导函数零点状况分类探讨导函数符号，最终依据导函数符号确定函

数单调区间；(II)先依据参变分别法转化为求对应函数最值问题，再依据极值点条件化函

数为一元函数，最终利用导数求对应函数单调性以及最值，即得结果.

【详解】(I)/(x)=8x2~4x+m(x>0),

(1)当机时，f(x)>0,/(%)在(0,转)在上单调递增

(2)当0<g时，设方程8f一4%+m=0的两根为西，々

1-,.|1—J1—2m1+J1—2m

则无।=-------------，Xr)=-------------------------------

」424

八111

・・一,一</<一,

14422

・•・/(%)在(0,%)(1，内)上单调递增,(%,%)上单调递减

||

(II)由(I)可知，0<加<]且%1+%2=5，-%2=—

由2ax2：.a<*'J

,-々

因为/(%)=4xJ-4^+mlnlxj=(2七一1了-1+4^(l-2x1)ln2x1

所以“^=£^=2(1—2%)—+

5f

设.=2%，0</<g

21

令/z«)=2(1--------F2rtnr(0<-)

h'(t)=21——二+21皿

(1-r)_

当0</<!时，1—；^T+21W<0

2(J)

故力⑺在上单调递减，所以“⑺〉«g[=—3—21n2

综上所述，ae(fo,—3—21n2]时，/(%)23恒成立.

【点睛】利用导数探讨不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数探讨函数的

单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分别变量,

构造函数，干脆把问题转化为函数的最值问题.

选修4-4：坐标系与参数方程

X—\—t

22.在直角坐标系九0y中，直线/的参数方程为l。为参数)，在以原点。为极点，x

[y=t

轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线G与曲线G的极坐标方程分别为

p=y/3cos0,夕=3sin9.

(I)求直线/极坐标方程；

(II)设曲线G与曲线的一个交点为点A(A不为极点)，直线/与。4的交点为3,求

\AB\.

【答案】(I)psin6,+