2024年中考数学压轴题型转化思想在两种题型中的应用

专题16转化思想在两种题型中的应用

压轴题密押

通用的解题思路：

转化思想方法包含三个基本要素：

1、把什么东西转化，即转化的对象；

2、转化到何处去，即转化的目标；

3、如何进行转化，即转化的方法。

转化思想方法应遵循以下五条原则：

1、熟悉化原则:将陌生的问题转化成熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决；

2、简单化原则:将复杂问题转化成简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某

种解题的启示和依据：3、和谐化原则:转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐

统的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律:4、直观化原则:将比

较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决;5、正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问

题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决或证明的可能性。

压轴题预测

题型一：圆中的转化思想

1.（2023•齐齐哈尔）综合与实践：

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知

识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

（1）发现问题：如图1,在AABC和中，AB^AC,AE=AF,NBAC=NE4尸=30。，连接3E,CF,

延长班;交CF于点。.则3E与CF的数量关系：_BE=CF_,ZBDC=°；

（2）类比探究：如图2,在AABC和AAEF中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=UQ0,连接BE,

CF,延长3E,Q交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及NBDC的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸：如图3,AABC和AAEF均为等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF=90°,连接BE,CF,且

点、B,E,尸在一条直线上，过点A作40，班'，垂足为点则5R,CF,A〃之间的数量关系：；

（4）实践应用：正方形ABCD中，AB=2,若平面内存在点P满足NBPD=90。，PD=1,则.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质，利用&4S证明AMEMAACF即可得出结论；

(2)根据等腰三角形的性质，利用5AS证明ABAE=AC4产即可得出结论；

(3)根据等腰直角三角形的性质，利用S4S证明Aa45•三AG4E1即可得出结论；

(4)根据直径所对的圆周角是直角，先找到点尸，利用勾股定理计算出3P,再利用第3小题的结论得到

三角形的高，AABP的面积即可求出.

【解答】解：(1)BE=CF,ZBDC=30°,

理由如下：如图1所示：

AABC和AADE都是等腰三角形，

:.AB^AC,AE^AF,

又：ZBAC=ZEAF=30°,

:.AABE=AACF(SAS),

:.BE=CF,

:.ZABE=ZACD,

ZAOE^ZABE+ZBAC,

ZAOE=ZACD+ZBDC,

ZBDC=ZBAC=30°；

图1

(2)BE=CF,NBDC=60。,

理由如下：如图2所示：

证明：ZBAC=ZEAF=12.0°,

.\ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即々AE=NC4F,

又,AABC和AAEF都是等腰三角形，

:.AB^AC,AE=AF,

:.ABAE=ACAF(SAS)

:.BE=CF,

.\ZAEB=ZAFC,

ZE4F=120°,AE=AF,

,\ZAEF=ZAFE=30°,

/.ZBDC=NBEF-ZEFD=ZAEB+30°一(ZAFC-30°)=60°；

ED

图2

(3)BF=CF+2AM,

理由如下：如图3所示：

AABC和AA£F都是等腰三角形，

:.ZCAB=ZEAF=90°,AB=AC,AE^AF,

:.Z.CAB-Z.CAE=ZFAE-ACAE,

即：ZBAE=ZCAF,

:.\BAE=\CAE{SAS},

:.BE=CF,

AM±BF,AE=AF,ZEAF=SO。，

:.EF=2AM,

BF=BE+EF,

:.BF=CF+2AM；

A

连接班»,以瓦)为直径作圆，

由题意，取满足条件的点P,P',则PD=P7)=1.ZBPD=NBPD=90。,

BD=2A/2,

BP=4BEr-PEr=«2亚丫-f=不,

连接B4,作于点产，在上截取5E=PD,

ZPDA=ABE,AD=AB,

:./\ADP=^ABE(SAS),

:.AP=AE,ZBAE^ZDAP,

:.ZPAE=90°,

由(3)可得：PB-PD=2AF,

―PB-PD币一\

A.F—二,

22

：.SPB.AF1

同理可得：SP.AB=^^~,

故AA1炉的面积为：Z±立或31.

44

图4

【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质,

圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.

2.（2024•介休市模拟）阅读与思考

如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务.

平面直角坐标系与直角三角形

x年x月x日星期三

原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论.口

诀：“两线一圆”

作图：举例如下：己知4（3,0）、3（0,4）,在直线x=l上求点C,使得AABC为直角三角形.以

下分三种情况讨论：

情况一：当A为直角顶点时，过点A作的垂线/交直线x=l于点C,则交点即为所求点

c.如图①，有c一个点；

情况二：当3为直角顶点时，过点3作钻的垂线/交直线x=l于点C,则交点即为所求点

C.如图②，有C2一个点；

情况三：当C为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线x=l的交点即为所求点C.如

图③，有C3,C4两个点；

方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似；

二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根；

三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点.

任务：（1）上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是_CD_（从下面选项中选出两个即可）;

A.数形结合

B.统计思想

C.分类讨论

D.转化思想

(2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中G的坐标.

(3)直接写出“情况二”中C?的坐标―；

(4)请你写出在“情况三”中，确定C3、C,的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理(写

出一个即可).

【分析】(1)根据题意即可解答.

(2)选几何法，先证三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解.

(3)根据一线三等角的模型得出三角形相似，然后用相似三角形的性质即可解答，在求解过程中依据的定

理是相似三角形的对应边成比例.

【解答】解：(1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是数形结合和转化思想.

故选：CD.

(2)当A为直角顶点时，过点A作/归的垂线/交直线x=l于点C,

ZBAQ=90°,

:.ZBAH+ZKAQ=90°,

又1ZBAH+ZHBA=90°,

NKAQ=NHBA,

:.AABHs^GSK,

BH

―,BH=3,AH=4,KG=2,

AKGK

343

解得AK=—,

2

(3)过C?作Czd轴交y轴于点乜，如图:

当B为直角顶点时,过点3作AB的垂线/交直线x=1于点C,

ZC2BA=90°,

:.ZHiBC2+ZOBA=90°,

ZOBA+ZOAB=90°.

NH\BG=NOAB,

:2OBsABHG，

坐=，AO=3,30=4,HG=2,

AOBO

HiB解得"0二』，

3414

(3)当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，则该圆与直线x=l的交点即为所求点C.

NBC3A=90°,ZBC4A=90°,

与（2）同理可得△88。3s△C3MA,△BH2C^△C4K2A,

HQBH]BH2H2C4

&AC3KlC4K2AK2

设C3的坐标为(IM),C4的坐标为(1,/n)，

贝UdG=i，BHX=a—4-fC3K[=2,AKX=4；BH2=m+49H2c，=2,AA"2=m,C4K2=2,

1a-4m+41

422m

g

角军得a=—m=-s/6—2—A/6—2（舍去）,

2

,C,的坐标为(1,遍-2),

在求解过程中依据的定理是相似三角形的对应边成比例.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，一线二垂直模型等，构造构造相似三角形是解题关键.

3.(2023•吴川市二模)已知:O的直径AB=10,C是AB的中点，。是：O上的一个动点(不与点A、

B重合射线点

C

0

E.（图2）

(1)如图1,当=时，求线段8的长;

(2)如图2,当点。在8c上运动时，连接3C、BD,ABC。中是否存在度数保持不变的角？如果存在,

请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；

(3)联结OD,当AODE是以DE1为腰的等腰三角形时，求AODE与ACBE面积的比值.

【分析】(1)连接OC、BC、AD,由勾股定理求出CE,由AAEQsACEB求出DE,则CD=CE—DE.

(2)NSDC不变,连接AC,则NC4B=45。，由圆内接四边形的对角互补得N3CD=135。.

(3)①当点E在Afi的延长线上时，证明AOCD是等边三角形，求出CD=OC=DE=5,由勾股定理求出

OE,分别求出两个三角形的面积作比，即可得到结果.②当点E在。B上时，设止=8=x,证明

△ODEsADOC,用x表示出CE,由OC?+OK?=CE?,列出关于x的方程并求出x,再求出两个三角形的

面积即可得结果.③当点E在。1上时，DE,OD长度没变，/近长度变了，依据②中的数值可求得结果.

【解答】(1)解：如图1,连接X、BC、AD,

C是AS的中点，OC是半径，

:.OC±AB,

BE=AB=1Q,

:.AE=AB+BE^20,OE=OB+BE=5+10=15,

:.CE=yl0C2+0E2=752+152=5A/10,

ZDAE=ZBCE,ZAED=ZCEB,

:.AADESACBE,

AEDE

^CE~~BE'

20DE

‘前二而’

DE=4710,

:.CD=CE-DE=5-fL0-4y/i0=y/i0.

(2)NBDC不变，ZBDC=135°.

如图2,连接AC,

C是AB的中点，

/.AC-BC,

AB是O的直径，

..ZACB=90°,

:.ZCAB=45°,

ZG4B+ZBZX,=180°,

/.ZBDC=180。—Z.CAB=180。—45°=135°.

(3)解：①如图3,当点石在AB的延长线上时，OD=DE,

AB-10,

:.OD=OC=DE=5,

。是AB的中点，

:.OC±AB,

/.ZDOE+ZCOD=90°,

ZDEO+NOCD=90。,

DE=DO,

,\ZDOE=ZDEOf

:.ZCOD=ZOCDf

:.CD=OD,

:.CD=OD=OC,

AOCD是等边三角形,

:.CE=DE=5,CE=10,

:.OE=y/CE2-OC2=7102-52=56，

:.BE=OE-OB=54-5,

_1_11_11,:底一25G

cScXOCO=XX5X53=,

..S^ODE=~ACOE=~~,^Z^^4

S.CBE=；OC-BE=；X5X(56-5)=256125,

.S^ODE_3+6

S"EB4

②如图4,当点石在05上时，

过点O作OG_LCD于。，

OC=OD,

.\ZOCD=ZD,

OE=DE,

:.ZDOE=ZD,

.\ZDOE=ZOCD,

:.NODE^/^DOC,

:.O»=DECD,

设DE=OD=x,

/.52=CDx,

:.CD=—

X

:.CE上-x,

X

由0。2+。石2=庭2得,

5百

..X=-----

3

，…E与

5百

..Cz/i-,DC/-D

33

OCOE_5

...OG=

CE~29

5A/35

-DEOG---------X—

q,x/3+1

°kODE232

4

S&CBELBE.OC(5_x5

③如图5,当点石在。4上时,

OE=DE,长度与②中相同，BE^OB+OE=5+—,

3

q

°AODE32—1

4

(5+x5

综上得，AQDE与ACBE面积的比值为：1±走或且±1或避二1

444

c

图2

c

【点评】本题考查了圆中垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形相似，勾股定理等知识，综合性较强，

解答本题需要我们熟练掌握各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.

4.（2023•微山县二模）如图，AABC中，NC=90。，NABC的平分线交AC于点D,点O在A5上，以点

。为圆心，以OB为半径的圆经过点。，交BC于点、E,交AB于点尸.

(1)求证：AC与.O相切；

(2)若班＞=10,sinZDBC=-,求AF的长.

【分析】（1）连接OD,利用OD=6®及角平分线得QD/ABC即可；

（2）连接。尸，先利用sinNDBC计算CD、BC,然后证明求3尸，再证明AADQSAACB即

可求AF.

【解答】（1）证明：连接8,

OD是半径

OD=OB，

A

:.ZODB=ZOBD,

ZABC的平分线交AC于点D,

.\ZABD=ZCBD,

:.ZODB=ZCBD,

:.OD//BC,

:.ZADO=ZC=90°,

「.AC是O的切线;

(2)解：连接DF,

…c=|啜CD

lo

二.CD=6,

.\BC=8,

FB为直径,

:.ZBDF=90°,

,\ZBDF=ZC,

ZCBD=ZFBD,

:NDBs\DFB,

BD_BC

BF~BD

,所一25

2

25

D=OE=OB=—

:O4

,OD!IBC,

:.^ADO^^ACB,

"2525

AF+————

"即:_____£=且

AF+—8

2

解得：AF=—

14

【点评】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定及性质，熟记性质定理并能灵活运用是解决本题

的关键.

5.（2023•花都区一模）如图，。是AABC的外接圆，直径AB=10,BC=8,AE平分NC4B交3C于点

E.

（1）尺规作图：在AE的延长线上取一点P,使得BF=BE,连接8尸；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中:

①证明：3尸是的切线;

②求M的值.

EF

【分析】（1）以5为圆心，以HE的长为半径画弧，交池的延长线于点尸即可.

（2）①先证NAB尸=90。，再由06是半径即可得结论.②先证A5石GsASAC,得出£G的长，再证

AAEG^AAFB即可.

【解答】（1）如图1,以5为圆心，以HE的长为半径画弧，交AE的延长线于点尸,

则点尸即为所求.

（2）①证明：Afi是O的直径，

.-.ZC=90°,

ZCAE^-ZAEC=90°,

BF=BE,

:.ZBEF=ZBFE,

ZAEC=ZBEF,

,\ZAEC=ZBFE,

ZCAE-^-ZBFE=90°,

隹平分NC4B,

:.ZCAE=ZBAF,

ZBAF+ZBFE=90。,

..ZABF=90°,

又-03是半径，

.•.BF是。的切线.

②解：如图2,过点石作石G_LAB,垂足为G,

ZC=90°,AE平分NG4B,

:.EG=CE,

:.BE=BC-CE=BC-EG=8-EG,

•-ZC=90°,

/.AC=y/AB2-BC2=A/102-82=6.

ZEGB=NC=900,ZEBG=ZABC,

..ABESABAC,

.EGBE

,AC-AB?

.EGS-EG

..--------------,

610

解得EG=3,

:.BE=BC-EG=8-3=5,

:.BF=BE=5,

ZAEG=ZABF=90°,

:.^AEG^\AFB,

•屈_EG_3

"AF~^F~5f

.空

…AF"2.

【点评】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，把所学知识融会贯通，

灵活运用是解题的关键.

6.(2023•阿城区模拟)已知：AB.DF是。的直径，弦CD_LAB,垂足为E,过点P的切线与DC的

延长线交于点G,连接BC.

(1)如图1,求证：ZFGD=2ZBCD；

(2)如图2,过点A作AH_LDF交O于点垂足为//,求证AM=CD；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接MC并延长与DB的延长线交于点K,连接2C,若ZHDC=2ZMHC,

MK=6,求bG的长.

【分析】(1)利用切线的性质和CD_LAB可证NFGD=N3OD,根据圆周角定理可得,即

可得证；

(2)利用垂径定理可得=CD=2DE,证明AAO”=ADOE,得出AH=QE,即可得证；

(3)连接4),过H作7/QLAD于Q,延长。〃交KN的延长线于点P,设NMHC=&,

NHDC=NHAO=2(x,利用等角对等边可证DH=OC,证明ADCKMAT归Q,可得0K=。。，进而可证

PKDQ为正方形，利用等角的正切值相等可得tanZADH=tanZAHQ=tanNPHM=—=■，证明APCH是

PH2

等腰直角三角形，可得出pe=2H/=2A/c=cx,MOA2=OH2+AH2,OH+OA=HD=A卮可求出

OA=OD=—,OH=—,DF=545,WtanZHAO=tanZ(9DE=—,即可求出尸G.

22AHDF4

【解答】(1)证明：G产是OO切线，

ZGFD=90°,

ZFGD+NFDG=90°,NEOD+NFDG=90。,

:.ZFGD=ZBOD,

BC=BC,

:.ZBOD=2ZBCD,

:./FGD=2ZBCD；

(2)证明：AHLDF,ABVCD,

:.AM=2AH,CD=2DE,

AH上DF,

/.ZAHO=Z.OED=90°,

ZAOH=/DOE,OA=OD,

:.AAOH=ADOE(AAS)

:.AH=DE,

.\AM=CD；

(3)解：连接AD,过“作功2，AT＞于Q,延长QH交KM的延长线于点尸，

ZHDC=2ZMHC,

设ZMHC=a,ZHDC=ZHAO=2a,

ZMHD=90°,

,\ZDHC=90°-a,

ZDCH=180°-ZHDC-ZDHC=90°-cr,

:.ZDCH=ZDHC,

:.DH=DC,

AB±CD,

BC=BD,ZDOE=90°-Z.ODE=90°-2a,

:.ZCDB=ZBAD=45°-a,

,\ZMAD=ZMAO+ZBAD=450+a,

ZMCD=1800-ZMAD=135°-a,

:.ZCKD=ZMCD-ZCDB=90°,

OA=OD,

:.ZBAD=ZADH,

,.ZCDB=ZADH,

:.NHQD=NCKD=90。,DH=DC,

NDCK=\DHQ{AAS)

:.DK=DQ,

AB为O直径，

,\ZADB=90°,

ZCKD=ZADK=ZHQD=90°,

四边形刊⑦。为矩形，

DK=DQ,

二.矩形尸KDQ为正方形，

ZP=90°=ZAQH,PQ=DQ,

AH=MH，ZAHQ=/MHP,

:.AAHQ=AMHP(AAS)

:.HP=HQ,

/.tmZADH=—=~,

DQ2

ZAHQ+ZHAQ=90°,ZADH+ZHAQ=90°,

ZAHQ=ZADH=ZPHM,

PM1

/.tanAADH=tanZAHQ=tan/PHM==—,

PH2

ZDCH=90°-a,ZMCD=135°-a,

ZPCH=ZMCD-ZDCH=45°,

又ZP=90。，

..ZPHC=45°=ZPCH,

PH=PC,

:.PC=2PM=2MC=CK,

.\MK=6,

:.CM=2,CK=HQ=4,DQ=8,AQ=2,

:.DH=4y/5,AH=2y[5,

OJ^=OH2+AH',OH+OA=HD=4非,

-,OA=OD=—,0H=—,DF=5后,

22

OH3

/.tanZHAO=tanZODE=——=—=-,

AHDF4

,fG=15^

4

【点评】本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的判定与性质、

正方形形的判定与性质.

7.(2023•松江区二模)如图1,是半圆。的直径，C是半圆O上一点，点。与点。关于直线AC对称,

射线47交半圆。于点£),弦4c交(70于点E、交。£＞于点尸.

(1)如图2,O恰好落在半圆。上，求证：O/=BC；

(2)如果NZMB=30。，求空■的值：

O'D

(3)如果04=3,O'D=1,求OP的长.

【分析】(1)连接OC,由点。与点。关于直线AC对称得到AO=A。，证出AAO。是等边三角形，得出

NAOO=NBOC=60。，即可得结论.

(2)设。的半径为2。，作QV_LAZ)于N,则Q4=OA=2a,求出4V,AD,ON,得到。7),再求

出0(7,得到OE,证出NEFO=45。，得到历=0E,作比即可.

(3)①当点。在O内部时，过点尸作FN_LAB于N,RWLAD于由也四.=^--------=一,

S”-AO-FN°F

2

得到里=丝=壮，又DF+OF=OD,从而求得。方.②当点。在「。外部时，同样方法求得。尸的长.

OFAO3

【解答】(1)证明：如图2,连接OC,

.・点。与点O关于直线AC对称，

:.OE=OE,AC±0(7,

r

.\AO=AOfAO=CO,

A0=00,

AAOO是等边三角形，

/.ZAO(7=60°,

ZCOO=ZAOO=60°,

.\ZBOC=60°,

:.ZAOO=ZBOC,

..OrA=BC,

(2)解：如图3,设।O的半径为2Q,

则。4=OA=2a,

作QV_LAT)于N,

OA=OD,ZDOB=30°,

...ZAOD=120。，

在RtAAON中，ON=OAsin300=af

AN=OA-cos300=sf3a,

ONLAD,

：.AD=2AN=2y/3a,

O'D=AD-O'A=（2百-2）a,

O'N=DN-O'D=（2-圾a,

OO'=^ON2+<JN2

一点。与点。关于直线AC对称，

OE=O'E=-OO'=屈一也a,

22

由对称性得，ZBAC=ZDAC=15°,

ZEFO=1800-ZBAC-ZAOD=180°-15°—120°=45°,

PPcp,,\/6-A/2

..EF=OE-------------a,

2

.EF2_3

''O'D2K-24.

（3）解：①如图4,当点。在cO内部时，

AD^（JA+（7D^OA+OD^3+1=4,

由对称性知ZDAF=ZBAF,

过点/作FNJ_4?于N,RW_LAD于A7,

:.FM=FN,

0-ADFM八？

...-S-.F--D-—2:--------―DF,

S^F。LAO.FNOF

2

DFAD_4

,OF-'

DF+OF=OD=3,

9

:.OF=~.

7

②如图5,当点。在：。外部时，

过点尸作FN_LAB于N,于M,

贝|J9=WV,

DF

~0F

DFAD

~OF~^O

5L.AD=AO-OD=OA-OD=3-1=2,

DF_2

0F-3

DF+OF=3,

综上得，OP=2或上

图5

图2

【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角函数等知识，综合性较强，解答本题需要我

们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.

8.（2023•碑林区校级模拟）如图①，已知线段AB与直线上过A、3两点，作O使其与直线/相切，切

点为P,易证NAP3=/AHB>NAQ3,可知点P对线段的视角最大.

问题提出

（1）如图②，已知AABP的外接圆为（O,PQ与二。相切于点P,交AB的延长线于点Q.

①请判断N3PQ与N4的大小关系，并说明理由.

②若Q8=2,AB=6,求尸Q的长.

问题解决

（2）如图③，一大型游乐场入口/W设在道路DN边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现

实情况，相关部门准备在与地面道路DN夹角为60。的射线DM方向上（位于垂直于地面的平面内）确定一

个位置C,并架设斜杆AC,在斜杆AC的中点P处安装一摄像头，对入口AB实施监控（其中点A、B、

D、P、C、M、N在同一平面内），已知ZM=40米，A3=25米，调研发现，当NAPB最大时监控效果

最好，请问在射线DM上是否存在一点C,使得/4PB达到最大？若存在，请确定点C在。0上的位置及

斜杆AC的长度；若不存在，请说明理由.

ABAB

图③备用图

【分析】⑴①作直径PN,连接BN,则ZPNB+NNPB=90。，PQ与。相切，得NNPB+/BPQ=90°,

再根据圆周角定理即可得结果.②证明ABPQSA/%。，得/=£2,代入数值可得结果.

PQAQ

（2）取仞的中点E,过点E作。0的平行线EF,经过A,3作与EF相切于点尸，此时N/犯fi最

大，由求出产石，由勾股定理求出EH,AH,PE,再求出R4,最终得到CD,AC的长度.

【解答】（1）解：①NBPQ=ZA,理由如下：

如图②，连接PO并延长至圆上一点N,连接BN,

贝！JNR4B=NP/VB,

7W为圆的直径，

二ZPBN=90。,

:.ZPNB+ZNPB=93,

-PQ与O相切于点尸，

..ZNPQ=90°9

:.ZNPB+ZBPQ=90°,

:.ZBPQ=ZPNBf

ZPNB=ZA,

.,.NBPQ=ZA.

②-ZBPQ=ZA,/BQP=/PQA,

ABPQ^APAQ,

,BQ=PQ

"PQ~AQ'

AB=6,QB=2,

/.AQ=AB+BQ=6+2=8,

.2_PQ

..----------,

PQ8

:.PQ=4.

（2）解：存在一点C,使得Z4pB达到最大.

如图③，取AD的中点E,过点E作DM的平行线EF,

经过A,3作:。与即相切于点尸，

由题意知，此时NAP3最大.

DM//EF,P是AC中点，

:.ZPEA=60°,CD=2PE,

作直径PG,连接AG,

贝UZfBE=NG,ZPAC=90°,

:.ZAPG+NPBE=90°,

EF是。的切线，P是切点，

:.PG±EF,

ZEPA+ZAPG=90°,

:.ZEPA=ZPBE,

又ZAEP=ZPEB,

..APEA^BEP,

PE2=EAEB=20x(20+25)=900,

:.PE=3。,

:.CD=2PE=6O.

过点A作AH_L£F于H,

ZPEA=60°,

:.ZEAH=3Q°,

:.EH=-AE=-x20^10,

22

AH=AE-sin60°=20x^=104

2

PHPE-EH=30-10=20,

由勾股定理得,

.2

PA=>JPH2+AH2=y]2Q2+(10回=10币,

AC=2PA=2X10A/7=20汨.

故点C在DM上距离点D6Qm处，斜杆AC的长度为20sm.

图③

【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形相似，圆的张角等知识，属于圆的综合题，恰当添

加辅助线，灵活运用所学知识是解题关键.

9.（2021•滨城区一模）如图，在RtAABC中，NB=9O。，ED=DF,点、E在AC上,以AE为直径的。经

过点D.

（1）求证：①BC是。的切线；

@CD2=CECA；

（2）若点F是劣弧的）的中点，且CE=3,试求阴影部分的面积.

【分析】（1）①连接。O,根据圆周角定理推出=并根据平行线的判定得出OO//AB,从

而得到DO_L3c即可证明BC是:O的切线；

②连接DE,OD,根据同角的余角相等推出=并得到ACDEsAC4D,再根据相似三角形

的性质即可证明CD2=CECA；

（2）连接QO、FO、DE,根据题意由圆心角定理推出AaiF和AODE是等边三角形，并得出相关角的

大小即边之间的关系，进而根据全等三角形的判定得到AODGMAE4G,将阴影部分的面积转化为扇形的面

积进行求解即可.

【解答】（1）①证明：如图1,

B

连接DO,

ED=DF,

:.ZFAD=ZDAE=-ZFAE，

2

,ZDAE=-ZDOE（圆周角定理）,

2

:.ZFAE=ZDOE,

:.DO//AB,

根据题意可知AB_L，

.\DO.LBC,

.•.BC是。的切线.

②如图2,

B

连接DE,OD,

AB为直径，OA=OD,

ZADO+ZEDO=ZADE=90°,ZADOZDAO,

由（1）可知NCDE+NEZX9=90。，

:.ZDAO=ZCDE,

在ACDE■和AC4O中,

\ZDCE=/ACD

[ZCDE=ZCAD'

.SCDESACAD,

.CD_CE

~CK~~CD"

故CE>2=C£C4.

(2)如图3,

图3

连接DO、FO、DE,AD和。方交于点G,

则。O=EO=AO,

根据题意点尸是劣弧AD的中点，且£0=0厂,

/.ZAOF=ZDOF=ZEOD=lxl80°=60°,

/.AQ4F和NODE是等边三角形,

ZC=90°-ZCOD=30°,

：.OD=OE=CE=LCO=3,

由(1)可知OO//AB,

..ZODA=ZDAFf

在AODG和AE4G中，

ZOGD=ZFGA

<ZODG=ZFAG,

OD=AF

AODG=AFAG(AAS)f

60^--323%

S阴影部分二S扇形。OF=

【点评】本题考查圆的综合运用，解题的关键是证明AODGMAMG从而将阴影部分的面积转化为扇形的面

积，通常要结合圆周角定理及圆心角定理求解各角、各边之间的关系.

10.（2022•雁塔区校级四模）（1）如图①，在AASC中，AB^AC,NS4c=120。，BC=12,求AABC外

接圆的半径r；

（2）如图②，O是一个半径为200米的圆形广场，弦AB是广场上一个长为200百米的纳凉演绎舞台，

现计划在广场上建一个长为200米的手工艺集市CD,并在舞台AB和集市CD之间修建两个休闲长廊AD和

BC,规划长廊、舞台、集市围成四边形ABCD为活动区域，那么能否在优弧AB上确定两点C、D,使得

长廊/W+BC最长？若能，请求出45+BC的最大值，并计算此时/胡£>的度数及四边形ABCD的面积；

若不能，请说明理由.

图①

【分析】（1）作出AABC外接圆，连接Q4,OB,交3c于点。，利用等腰三角形的性质和圆周角定理，

直角三角形的边角关系解答即可；

（2）连接。4,OB,OC,OD,过点O分别作OE_LA£>,OF±BC,OH±AB,利用勾股定理求得

22222

AD+BC=40000,利用AD+BC=^AD+BQ=y/AD+BC+2AD-BC,可知当S^OAD最大时，

AD+BC取最大值，利用三角形的面积公式与正弦的取值范围即可得出结论.

【解答】解：（1）设AABC外接圆为O,连接。4,OB,OA交BC于点、D,如图，

AB=AC,

,\OD±BC,BD=DC=-BC=6,

2

AB=AC,440=120。，

/./BAD」NBAC=60。,

2

「.AABO为等边三角形.

:.ZAOB=60°,

在RtAAOD中，

・小BD6

sin60=,

OBOB

r=OB==4\/3；

2

(2)在优弧AS上确定两点C、D,使得长廊AD+3C最长.

连接OA,OB,OC,OD,过点O分别作OE_LAD,OF±BC,OHLAB,垂足分别为E,F,H,

如图，

O的半径为200米，A3=2006米,

1l

.•.H4=-AB=100j3米，

2

.-AH

..sin^A.OH------——,

OA2

ZAOH=60°,

ZAOB=2ZAOH=120°.

03=08=200米，

.•.AOCD为等边三角形，

:.ZDOC=60°,

/.ZAOB+ZZX>C=180°.

:.ZAOD+ZBOC=\SO0.

ZAOE=-ZAODZBOF=-ZBOC,

2f2

..ZAOE^-ZBOF=90°.

BF±OFf

:.ZBOF+ZBFO=9伊,

:.ZAOE=ZFBO.

在AAEO和AOFB中，

ZAEO=ZOFB=90°

<ZAOE=ZOBF,

OA=OB

.\AAEO=AOFB(AAS).

:.OE=BF.

OE±AD,OFLBC,

AE=-AD,BF=-BC,

22

:.OE=-BC.

2

AE2+OE2=O^,

(1A/))2+(1BC)2=2002,

/.AD2+BC2=160000,

/.AD+BC=«AD+BC¥=y/AD2+BC2+2ADBC=4160000+24>3C.

S.=-xADOE=-xADx-BC=-ADBC

AOnAADn2224f

/.当SAW最大时，AD+5C取最大值，

SL.\n\_/ArAnlJ=-OAODsinZAOD=20000xsinZAOD,

.,.当NAQD=90。，sinZAOD,最大，即邑0AB最大，最大值为20000,

当ZAOD=ZBOC=90。时，AD+3C的值最大.

在优弧A5上确定两点C、D,使得长廊AD+3C最长；

此时，如图，

A3/B

ZOAD=ZODA=45°,ZOAB=ZOBA^30°,

ZBAD=ZOAD+ZOAB=75°.

四边形ABCD的面积=SR0AB+SAOBC+SAOAD+S&OCD

=2x20000+1x200Gxl00+1x200x100^/3

=(40000+200006)米

【点评】本题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函

数值，全等三角形的拍大片与性质，函数的极值，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键.

11.(2022•青秀区校级一模)如图，AB是：O的直径，AC是弦，点E在圆外，OELAC于点。，BE交

O于点F,连接3£＞、BC、CF,ZBFC^ZAED.

(1)求证：AE是I。的切线；

(2)求证：OB-^ODOE,

(3)设AB4D的面积为ABDE的面积为S?，若tan/0D3=—，求」的值.

3S?

【分析】(1)由OE_LAC证明B4_LAE即可得到结果；

(2)证明OA?=OD-OE即AOAD^AOEA即可得证；

(3)把tanNODB=—7转化为CJD,设CD=2〃z,用机表示出半径，再由ABO3AEO3的面积比等于相似

3BD

比平方可得到答案.

【解答】解：(1)证明：,ZBFC=ZAED,

又ZBFC=NBAC,

.\ZBAC=ZAED,

OE_LAC于点Z),

.\ZADE=ZADO=90°,

.•.ZAED+ZE4D=90。，

/.Z^4C+ZE4D=90°,即NO4E=90。，

:.OA±AE,

「.AE是O的切线；

(2)ZOAE=ZADO=90°,ZAOD=ZEOA,

^AOD^AEOA,

.OA_OD

~OE~~dA?

:.O^=ODOE,

OB=OA,

:.OB2=ODOE；

(3)AB为直径，

/.ZAC®=90°,

ZADO=90°,

:.ZACB^ZADO,

:.OE//BC,

:.ZODB=ZDBC,

DC2

在RtABCD中，tanZD3C=tan/0£>3=—=-

BC3

设£>C=27W,则BC=3/",

:.OD^-BC=—,

22

0£_14。于点。，

AD=DC=2m,

：.OA=OB=^OD1+AD1=—,

2

由(2)知032=。£)・0石，

OBOE

~OD~~OB"

而ZBOD=NEOB,

/./SBOD^\EOB,

3m

.S2OD_（°D、2_（2\2_9

S.°BOB5m25

2

「•设S耶OD=9k,则SgoB=25k,

，ABDE的面积为S2=S于OB-SGOD=16k，

而岫40的面积为4=25凶8=18左，

.Si_1849

・芯—嬴一/

【点评】本题考查圆的切线、相似三角形判定及性质，难度较大,解题的关键是将tanNOD3=2转化为乌.

3BD

题型二：函数中的转化思想

1.（2021•南岸区校级模拟）初中阶段的函数学习中，我们经理了列表、描点、连线画函数图象，并结合图

象研究函数性质的过程，以下我们研究函数y=|二匚|-2性质及应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.

x-2

（1）下表是X与y的几组值，请在表格中的空白处填上恰当的数字;

X-4-3-1011345

~22

y_244_8_-2__404—4

3535~33

（2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象;

⑶观察函数"三一2的图象’请写出函数的一条性质：

（4）若方程y+gx=f（f为常数）有三个实数解，则f的取值范围为

——►

31，7X

【分析】（1）利用函数解析式求值即可；

（2）利用描点法画出函数图象即可；

（3）根据图象解答问题即可；

7V1