四川省宜宾2024高三数学理上学期期末考试试题

四川省宜宾市2024届高三上学期末考试

理科数学

本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡一并交回

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合S={0』,2},T={0,3},P=ST,则尸的真子集共有

A.0个B.1个C.2个D.3个

2

2.设z=rl+2i’则N的虚部是

A.2B.1C.-2D.-1

3.设向量Q=(%-l,x),b=(-1,2),若〃///?,则％=

_3「2「3

A.B.-1C.—D.-

~232

4.已知点。是ABC所在平面内一点，。为3C边的中点，且3Q4+OB+OC=0，贝

A.AO=-ODB.AO=-ODC.AO=--ODD.AO=--OD

2323

5.某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成果X〜N（105,100）.若已知P（904X<105）=0.36,则

从该校理科生中任选一名学生，他的数学成果大于120分的概率为

A.0.86B.0.64C.0.36D.0.14

6.如图是调查某地区男女中学生喜爱理科的等高条形图，阴影部分表示喜爱理科的百分比，从图中可以看出

A.性别与喜爱理科无关

B.女生中喜爱理科的比为80%

C.男生比女生喜爱理科的可能性大一些

D.男生不喜爱理科的比为60%

7.已矢口cos[■!■+&]=2cos(兀一0),1@口(；一々]=贝1]

1

A.-4B.4C.——

8.在ABC,已知A3=0，AC=5tanNB4c=—3,则5c边上的高等于

A.1B.y/2C.6D.2

若函数〃x）=sin（0x-的图象向左平移3个单位后，所得图象关于原点对称，则①的最小值为

9.

1379

A.-B.-C.-D.-

4444

10.已知与是函数〃x）=3*+log3X的零点，若。〈机（X。，则/㈣的值满意

A./(m)=OB.f(m\<0C.D.〃祖）的符号不确定

1A1A

11.设产为抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，曲线>=—（左>0）与C相交于点A,直线R4恰与曲线>=—（左>0）

XX

\FA\

相切于点A,R4交C的准线于点8,则身等于

\BA\

.11八23

A.—B.-C.—D.一

4334

fjcpx%<0

12.已知函数〃无）=?",若g（x）=〃x）-ox有四个不同的零点，则a的取值范围为

[Inx,x>0

A.]o,[B.8C.[l,e）D.[e,+s）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x>Q

13.已知实数x,y满意约束条件<x+y42,则z=4x+y的最大值等于.

x+3y>3

14.已知函数/（x）=w（2尤+1）3-2/,若曲线>=/（元）在（0,/（0））处的切线与直线4x+y-2=0平行，则〃z=

15.已知（2+mX）（l+x）3的绽开式中x，的系数为5,贝1|%=.

16.定义域为R的偶函数“X）满意〃l+x）+〃l-x）=。，当xe[0,l）时,f（x）=siny,给出下列四个结论:

②若/（再）+/（%）=0,则尤1+1=。；

③函数在（0,4）内有且仅有3个零点；

④若且，（玉）=/（%）=/（电），则W一玉的最小值为4.

其中，正确结论的序号是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必

需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

（一）必考题：共60分。

17.（12分）为更好地落实农夫工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2024年下半年该市100名农夫

工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农夫工的月工资均在[25,55]（百元）内，且月工资收

入在[45,50）（百元）内的人数为15,并依据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：

2

（1）求〃的值；

（2）已知这100名农夫工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名.

①完成如下所示2x2列联表

技术工非技术工总计

月工资不高于平均数50

月工资高于平均数50

总计5050100

②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？

参考公式及数据：K2=m+b）（c+d）Z+c）g+,/）,其中

尸（片

淮）0.050.010.0050.001

k03.8416.6357.87910.828

18.（12分）及:中，内角/、B、C的对边分别为a、b、c,。是/。的中点，已知平面对量加、〃满意

m=（sinA-sinB,sinB-sinC）,n=（^a+b,c）,m±n■

⑴求4;

⑵若BD=K,b+2c=46，求△力回的面积.

19.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，4B=BC=&，aA=尸8=尸C=AC=2,O为AC的中点.

（1）证明：尸O_L3C；

（2）若点M在线段BC上，且直线AM与平面PAC所成角的正

弦值为巫，求直线AC与尸M所成角的余弦值.

10

“分）已知椭圆。:+和«…的左右焦点分别为耳，尸2,离心率为当椭圆C上的一

点P到月，生的距离之和等于4.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）设尸（3,0）,过椭圆「的右焦点FZ的直线与椭圆,交于48两点,若满意尸恒成立，求力的最小

值.

分)已知函数；依

21.(12/(x)=xsinx+cosx+2,Xe[-71,71],

（1）当a=0时，求〃尤）的单调区间;

（2）当。＞0,探讨/（'）的零点个数;

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分.

[x=4cosa+2

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为4.（。为参数），在以。为极点，x轴的非负半

Iy=Asma

轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为0=9（夕eR）.

＜1）求曲线C的极坐标方程；

（2）设直线/与曲线C相交于A,B两点，P为曲C上的一动点，求4PAB面积的最大值.

23.已知f=|x—2|+|x+l|+2|x+2|.

（1）求证：/（%）＞5；

O

（2）若对随意实数x,15-2〃x）＜/+户有都成立，求实数。的取值范围.

4

理科数学参考答案

1.B2.D3.C4.B5.D6.C7.C8.A9.B10.B11.B12.A

15.1

16.①③

17.解：（1）二•月工资收入在［45,50）（百元）内的人数为15

一月工资收入在［45,50）（百元）内的频率为：霁=0.15；

由频率分布直方图得：(0.02+0.04+2n+0.01)x5+0.15=l=0.05

（2）①依据题意得到列联表:

技术工非技术工总计

月工资不高于平均数193150

月工资高于平均数311950

总计5050100

%二100x(19x19-31x31)=5,76<IO.828

50x50x50x50

不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关.

18解：(1)Vm=(sinA-sin5,sin^-sinC),〃=(a+b,c),mLny

:.(sinA-sinB)(«+Z?)+(sinB—sinC)c=0.

(a-b)(a+b)+(b-c)c=0,即6+/一/=儿

・A-1・・cA•A冗

..cosA=-------------=—.・Q<A<TT・・A=一.

2bc2F3

r—=_

(2)在△/初中，由3和余弦定理，得

BD2=3=AB2+AD2-2AB-ADcosA=AB2+AD2-ABAD.

AD=-

•..。是4c的中点，，2

c2+—0x^=3,化简得4c2+/—2Ac=12,即(Z?+2c)2—66c=12.b+2c=4^/3,

—6bc=12,解得be=6.

SABC=-bcsinA=-bcsin-=^^=—....△45。的面积为述.

ABC223422

19.解：（1）因为A8=BC=7IAC=2,所以有AB2+2C2=4C2,所以三角形ABC是直角三角形，而。为斜

边AC的中点.所以三角形A3C的外心为点。，因为丛=P3=PC,所以点尸在底面ABC的射影是底面ABC的

外心，因此尸0_L平面ABC,而3Cu平面ABC,因此有尸O_LBC；

（2）由（1）可知：PO_L平面ABC,而POu平面PAC,所以平面PAC_L平面ABC,过M作MZ）_LAC,垂

足为£）,因为平面PAC平面ABC=AC,所以MO_L平面PAC,因为直线A"与平面PAC所成角的正弦值为

—,所以sin/ZMM=巫，设9W=x,久

10

I__rA

所以=因此由sin=叵=也=DM=+f），因此有/\\\

Ao（2+7）

CM（），依据3C=AM+C"=2,可得乔武力

10”

在410（；「）+龙=及n尤=《或.2/（舍去），故"乎,

因此点M是线段5C的中点，取B4的中

点E,连接£M,PE,则有EM〃AC,£M=；AC=1,所以是直线AC与尸M所成角（或补角）,

PB2-（|AB）2=半，由余弦定理可知:

因为H4=PB=PC=2,AB=BC=血，所以PM=PE=

c°s/PME=PM〜EM=PE；叵

2PMME7

c_V3

a2a=2

20.解：（1）设椭圆的焦距为2c,由题意可得,2Q=4，解得＜6=1，，椭圆C的标准方程为：—+y2:=1;

4'

a2=b2+c1C=超

（2）由（1）可知居（6,0）,设4（占,%）,

3（%,%）,则上4=（%-3,yj,P5=（x2-3,y2）,

二.以•=（占-3）（X?-3）+%%=%马+M%―3（芯+/）+9,

①当直线）与x轴垂直时，直线/的方程为x=JL得占=々=6,

代入得％=（，%=-：，或H=-g，%=g，则PA,PB=?-64，

②当直线/不与x轴垂直时，设直线的方程为〉=々卜-血卜

4+）；-1

,得（1+4廿）二一86公x+12/一4=。，由韦达定理得x+x=0^空12k2-4

联立,xx2=--------?

y=中-®]+止121+4左2

■'­%%

1+4/

6

栏1,则

又因函数/(f)=生专产在［1,+s)上是减函数,

2427

.'.PAPB<--6A/3+^~=5,综上：加的最小值为5.

44

21.解：•・•/(-兀)=/(%).•・/(尤)为偶函数，只需先探讨xw。％］,

/(x)=xsinx+cosx,f\x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

JTIT

当XG0,—,f\x)>0,当—,71,/(X)<0,

7171

所以/(九)在XG0,—单调递增，在不£—.71,单调递减,

所以依据偶函数图象关于y轴对称，

7T71

得了(X)在N£单调递增，在工£--,0单调递减,

JT兀JTJT

故/⑺单调递减区间为：一万,0,3K；单调递增区间为：—匹一5，o,-

f

(2)f(x)=xcosx+ax=x(cosx+a)t

①a21时，/'(%)=x(cos工+a)20在工£［0,万］恒成立，

/.于3在％£［0,7T］单调递增

又"))=1,所以在％式一心刃上无零点

②Ovavl时，3x0e(0,^-),使得天(cos+a)=0,gpcosx0=-a.

又cosx在(0⑺单调递减，所以工£(0,%)，f\x)>0,乃)，f\x)<0

所以X£(O,Xo),/(九)单调递增，XG(X0,^),/(X)单调递减，

又/'(0)=1,

12

(i)-a7r2-l>0,即r<a<l时/(x)在［0,汨上无零点，

271-

又了(无)为偶函数，所以/(X)在［-兀，兀］上无零点，

1,2

(ii)—an—1<0,即。<a4——.

2万2

/(x)在［0,兀］上有1个零点，

又了(无)为偶函数，所以/(x)在［-Jr,兀］上有2个零点，

2

综上所述，当=时，/（%）在I-兀兀]上有2个零点,

冗

2

当。＞F■时，f（x）在[-71,71]上无零点.

71

[x=4cosa+2,cc

22.（1）将方程…（a为参数），消去参数a后可得V+y2-4x-12=0,

[y=^sma,

二曲线。的一般方程为*+；/-4x-12=0,将V+y2=22,%=/8$。代入上式可得夕2-408$。=12,

曲线。的极坐标方程为夕2-4pcos"12=0.