新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（30题）-2024年考前15天高考数学冲刺（新高考）含答案

冲刺大题07新定义综合

(数列新定义、函数新定义、集合新定义)(精选30题)

1.(2024・辽宁•二模)己知数列｛%｝的各项是奇数，且。"是正整数"的最大奇因数，

Sn=6Z|+a?+%+%+L+•

(1)求&，。20的值；

⑵求凡邑,$3的值；

⑶求数列｛5｝的通项公式.

2.(2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)已知数列出生,出，…,心("23)的各项均为正整数，设集合

T=｛x\x=aJ-ai,l<i<j<N｝,记T的元素个数为P(T).

⑴若数列41,3,5,7,求集合T,并写出尸(7)的值；

⑵若A是递减数列，求证:“尸。)=N-1”的充要条件是，A为等差数列”；

(3)已知数列A:2—求证:尸⑺=N(N]D.

3.(2024・广西•二模)已知函数〃x)=lnx,若存在g(x)M/(x)恒成立,则称g(x)是的一个“下界函

数”.

(1)如果函数g(无)=；-欣为“X)的一个“下界函数”，求实数f的取值范围；

(2)设函数尸(x)=/(x)-之+二，试问函数尸(X)是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说

eex

明理由.

4.(2024•湖南长沙•模拟预测)设〃次多项式勺。)="'+%广"-+出/+"+旬(《尸0)，若其满足

Pn(cosx)=cosnx,则称这些多项式甘,⑺为切比雪夫多项式.例如：由cose=cos6>可得切比雪夫多项式

々(x)=无，由cos20=2cos2e-1可得切比雪夫多项式吕(X)=2x2-l.

(1)若切比雪夫多项式月(x)=+云2+cx+d,求实数a,b,c,d的值；

(2)对于正整数%3时,是否有Pn(x)=2x.《出⑺-Pn^x)成立?

⑶已知函数/0)=8工3_6工-1在区间上有3个不同的零点，分别记为石,々，％3，证明：x1+x2+x3=0.

5.(2024•浙江•模拟预测)已知实数9工0,定义数列｛%｝如下：如果

22k

n=x0+2x1+2X2+…+2晨后,项E｛0,1｝,%=0,1,2,…，左，则〃〃=x0+xxq+x2q+•••+xkq.

(1)求％和〃8(用夕表示)；

(2)令b,=a*,证明：±4=4，_1；

i=l

⑶若1<4<2,证明：对于任意正整数”，存在正整数加，使得4凡+1.

6.(2024・辽宁・三模)若实数列｛%｝满足V〃eN*,有。“+22a向，称数列｛。“｝为“7数列”.

⑴判断%=〃z也=lnw是否为“T数列”,并说明理由;

(2)若数列｛为｝为“7数列”，证明：对于任意正整数片,私〃，S.k<m<n,都有生二%2%■平

n—mm—k

2024

(3)已知数列｛%｝为“7数列”，且=0,令M=max｛同,以24|｝，其中max｛a,6｝表示a,6中的较大者.证明:

i=\

7075

V/W｛1,2,3,…,2024｝,都有一

2023

7.(2024•广东梅州•二模)已知｛%｝是由正整数组成的无穷数列，该数列前九项的最大值记为河,，即

Mn=max｛<71,a2,•■•,«„)；前”项的最小值记为加"，即加“=tninH，3,令。"=的一"，

(〃=1,2,3,…)，并将数列｛p“｝称为｛对｝的“生成数列”.

⑴若%=3",求其生成数列｛%｝的前”项和；

⑵设数列｛凡｝的“生成数歹「为｛%,｝,求证：P„=q„­,

⑶若｛p,｝是等差数列，证明：存在正整数"。，当"2"。时，an,an+l,%+2，…是等差数列.

8.(2024・浙江绍兴•二模)己知左eN*,集合％=卜|尤=2'。+2"+…+2*0%J<…气，其中

品,…,”N｝.

⑴求X2中最小的元素；

⑵设a=2i+23eX],bsX”且a+6eX],求6的值；

k+i卜

⑶记匕〃eN*,若集合4中的元素个数为“，求£肃.

9.(2024•山东潍坊•二模)数列｛%｝中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列｛。向-。“｝称为｛%｝

的一阶差数列，记为依此类推，,「｝的一阶差数列称为｛%｝的二阶差数列，记为,印｝,….如果

一个数列｛%｝的p阶差数列｛40｝是等比数列，则称数列｛%｝为〃阶等比数列(peN*).

(1)已知数列｛%｝满足q=1,an+i=2a„+1.

(i)求q“),4)，a，；

(ii)证明：｛4｝是一阶等比数列；

(2)已知数列也｝为二阶等比数列，其前5项分别为1n,n9,a7£弓7g,?华15，求“及满足。为整数的所有〃值.

10.(2024・贵州黔西•一模)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限

维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:

对于满足一定条件的连续函数，a),存在实数%,使得了(%)=%,我们就称该函数为“不动点”函数，实数

%为该函数的不动点.

(1)求函数/(元)=2*+x-3的不动点；

(2)若函数g(x)=lnx-b有两个不动点再,马，且王<马，若马一再42,求实数6的取值范围.

11.(2024•河北沧州•一模)对于函数>=/(x),XEI,若存在％",使得/(x0)=x。，则称%为函数/(x)

的一阶不动点；若存在与门，使得/(/(%))=%,则称%为函数“X)的二阶不动点；依此类推，可以定义

函数/(X)的”阶不动点.其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数/(X)的“不动

点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和8,即/=W/(X)=无｝,5=｛x|/(/(x))=x｝.

(1)若/@)=6">0)，证明：集合/=｛x|/(x)=x｝中有且仅有一个元素；

⑵若/(X)=(4+1■—-+空(a>-1),讨论集合B的子集的个数.

12.(2024•山东聊城•二模)对于函数/(X),若存在实数%,使/(皿(/+㈤=1,其中《片0,则称/(X)为何

移A倒数函数”，/为"/(X)的可移A倒数点”.已知g(x)=ex,h(x)=x+a(a>0).

(1)设夕(x)=g(x)『(x),若吠为“〃(x)的可移-2倒数点”,求函数。(x)的单调区间;

g(x),x>0

⑵设O(x)=，x<0,若函数0(X)恰有3个“可移1倒数点”，求。的取值范围.

h(x)'

13.(2024・湖南•二模)罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由

法国数学家米歇尔・罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数"X)满足在闭区间也可连续，在开区

间(a,切内可导，且〃。)=/(6),那么在区间(。,方)内至少存在一点加，使得/'(加)=0.

⑴运用罗尔定理证明：若函数/(X)在区间［a,6］连续，在区间(a,b)上可导，则存在％e(a,6),使得

/⑸-f(a)

/'(%)=

b-a

2

⑵已知函数f(x)=x\nx,g(x)=^x~bx+l,若对于区间(1,2)内任意两个不相等的实数%,9,都有

|/(x1)-/(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,求实数b的取值范围.

(3)证明：当。时，有一1—r一一.

npp-1(n-V)n'

14.(2024•安徽合肥•二模)在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一.对平面直角坐标系中两

个点爪x"J和£仁,坊),记山闾,=max।।,称山闾，为点6与点A之间的距

1+1%!-X2|1+|必一%|

离”，其中max{p,q}表示，4中较大者.

⑴计算点尸。,2)和点。(2,4)之间的“f_距离”；

⑵设片(为,%)是平面中一定点，r>0.我们把平面上到点々的“-距离”为『的所有点构成的集合叫做以点

々为圆心，以「为半径的“一圆”.求以原点。为圆心，以:为半径的圆''的面积；

(3)证明:对任意点片(三,必)第(X2，了2)，月(演‘％),|百41—山囿,+。闾,.

15.(2024・广东深圳•二模)无穷数列%,%，…，…的定义如下：如果〃是偶数，就对"尽可能多次

地除以2,直到得出一个奇数，这个奇数就是;如果〃是奇数，就对3〃+1尽可能多次地除以2,直到得

出一个奇数，这个奇数就是为.

(1)写出这个数列的前7项；

(2)如果=冽且=〃，求加，〃的值;

⑶记。.=〃")，"eN*,求一个正整数〃，满足〃<“")</(/⑺)<••・</(/(•・,〃")・・•)).

20244/

16.(2024•湖南邵阳•模拟预测)对于定义在。上的函数Ax),若存在距离为d的两条平行直线4：丫=履+4

和:y=履+2，使得对任意的xe。都有注+“<f(x)<kx+b2,则称函数/(x)(xe。)有一个宽度为d的通

道，4与4分别叫做函数/(x)的通道下界与通道上界.

(1)若/(x)=3，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；

ex+l

(2)若g(x)=x+sinx+cosx,证明：g(x)存在宽度为2的通道；

(3)探究3)=生虫,xe[l,+s)是否存在宽度为41的通道？并说明理由.

x2

17.(2024•福建福州•模拟预测)记集合

工/⑺,工:=｛/(x)=h+6(xeR[Vxer>,〃x)W/(x)^Hxo©。，/伉)=/(%)),集合

%"=｛/(x)=h+g©R)忖xeD,f(x)>I(x),且叫eJ伉)=/(%)｝,若/(x)eLf^D,则称直线

V=/(x)为函数〃x)在。上的“最佳上界线”；若则称直线了=/(力为函数在。上的“最

佳下界线”.

⑴已知函数〃x)=f2+x,/°(x)=Ax+l.若/°(x)eZ73m,求上的值；

(2)已知g(x)=e*+l.

(i)证明：直线>=/(x)是曲线>=g(x)的一条切线的充要条件是直线j=/(x)是函数g⑺在R上的“最佳

下界线”；

(ii)若"x)=ln(x-l),直接写出集合4UM，+B)C7；(加女中元素的个数(无需证明).

18.(2024・辽宁•二模)如果数列色｝,｛州｝,其中州eZ,对任意正整数“都有氏-刃<g,则称数列｛”｝

为数列｛%｝的“接近数列”.已知数列也｝为数列｛对｝的“接近数列”.

(1)若%=2〃+g(〃eN*),求"4，&的值；

(2)若数列｛%｝是等差数列，且公差为"(deZ),求证：数列｛2｝是等差数列；

oilQ57

(3)若数列｛%｝满足q=急，且。用记数列｛g｝、｛"｝的前〃项和分别为邑，1，试判断是否

存在正整数“，使得S”<<？若存在，请求出正整数”的最小值；若不存在，请说明理由.(参考数据:

log2£216.7)

ioXI

19.(2024・辽宁大连•一模)对于数列(qeN/=1,2,3),定义“T变换”：T将数列/变换成数列

3：4也,“，其中)=］%「可«=1,2),且“玉-⑷.这种'7变换”记作3=7(4),继续对数列8进行”

变换”，得到数列C：C”C2，C3,依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.

(1)写出数列/：3,6,5经过5次“7变换”后得到的数列：

⑵若q，出必不全相等，判断数列，：%,电，的不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；

(3)设数列4：2020,2,2024经过人次“T变换”得到的数列各项之和最小，求后的最小值.

20.(2024・湖南•一模)已知”为非零常数，。“>0,若对V〃eN*,匕则称数列｛%｝为。数列.

(1)证明：。数列是递增数列，但不是等比数列；

⑵设若｛。“｝为。数列，证明：6“</二；

V4〃一3

〃1

(3)若｛。“｝为。数列，证明：血eN*,使得±—>2024.

i=lai

21.(2023•山西•模拟预测)对于数列｛%｝,若存在M>0,使得对任意〃eN*,总有之闻+1-@<〃，则

k=l

称｛%｝为“有界变差数列”.

(1)若各项均为正数的等比数列｛与｝为有界变差数列，求其公比q的取值范围；

⑵若数列也｝满足〃出+:=2,且4=2,证明：｛，｝是有界变差数列；

un

⑶若卜,｝,｛%｝均为有界变差数列，且以2乂>0,证明：［彳［是有界变差数列.

22.(2024•江西九江•二模)定义两个"维向量q=(%j,x,,2,…,2“)，叫=…，肛J的数量积

x

at-aj=xwX!|+xi2xJ2+…+\„xy„(z,yeN+),=，记i,t为a1的第左个分量(k<eN+).如三

维向量)=(2,1,5),其中I的第2分量％2=1.若由〃维向量组成的集合/满足以下三个条件：①集合中含

有"个〃维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取。或1；③集合中任意两个元素I，1，满足

a：=a：=T(7为常数)且％q=1.则称/为T的完美〃维向量集.

(1)求2的完美3维向量集;

(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；

(3)若存在/为7的完美〃维向量集，求证：/的所有元素的第左分量和1=7.

23.(2024•浙江台州•二模)设/,3是两个非空集合，如果对于集合力中的任意一个元素无，按照某种确定

的对应关系了,在集合8中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的乃同时8中的每一

个元素外都有一个/中的元素x与它对应，则称/：8为从集合/到集合8的一一对应，并称集合/

与8等势，记作1=].若集合N与8之间不存在一一对应关系，则称/与3不等势，记作二片氤

例如：对于集合/=N*,8={2",eN*},存在---对应关系y=2x(无©4"3)，因此

⑴已知集合。={(x,y)\x2+y2=1},0=+：=1],试判断之=5是否成立?请说明理由；

(2)证明：①(0,1)=(-oo,+oo);

②N*=.

24.(2024•浙江嘉兴•二模)已知集合/=112勺0<％<%<一-<金吗力],定义当加=/时，把集合A中

所有的数从小到大排列成数列抄,数列{她),}的前n项和为S⑺“.例如：/=2时,

0123

b(2)]=2+2'=3,6(2)2=2°+2?=5,6(2%=2+2=6,/?(2)4=2°+2=9,---,

S(2)4=6(21+6(2b+6(2)3+6(2'=23.

(1)写出6(2)5,6(2)6,并求S(2)1°；

(2)判断88是否为数列也⑶“}中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；

⑶若2024是数列色(6}中的某一项可％)“。，求3"。及S(%)“°的值.

25.(2024・广西•二模)设xeR,用卜]表示不超过了的最大整数，则y=[x]称为取整函数，取整函数是德

国数学家高斯最先使用，也称高斯函数.该函数具有以下性质：

①了二k]的定义域为R,值域为Z；

②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即x=[x]+{x}(0<{X}<1),其中[x]为x的整数部分,

{x}=x-3为x的小数部分；

③[〃+x]=〃+[%](〃£Z)；

④若整数。，b满足a=bg+r(6>0,q/eZ,0Wr<6),贝”,卜电

5+6x15x-7

(1)解方程

85

19202191

(2)已矢口实数r满足r+—+r+—+r+—+-••+r+—=546,求[100r|的值;

[+1)1fH+1

(3)证明：对于任意的大于等于3的正整数"，均有>丁

4〃一24

26.(2024•河北石家庄•二模)设集合M是一个非空数集，对任意x/eM,定义夕(xj)=|x-m，称"为

集合M的一个度量，称集合M为一个对于度量夕而言的度量空间，该度量空间记为(M,p).

定义1：若/：/-M是度量空间(M,0)上的一个函数，且存在ae(0,1),使得对任意x,yeM,均有：

「(〃x)，/⑺)Wap(x,y),则称/是度量空间(M0上的一个“压缩函数”.

定义2：记无穷数列%,%,电，…为{叫：：°，若见落是度量空间(阴»上的数列，且对任意正实数£>0,都

存在一个正整数N,使得对任意正整数见"NN,均有P应，凡)<£,则称{叫：：°是度量空间(跖夕)上的一

个'基本数列”.

(1)设/(x)=sinx+；,证明：/是度量空间1,2，。上的一个“压缩函数”;

⑵已知/：RfR是度量空间(R,。)上的一个压缩函数，且4eR,定义%"=/(%),«=0,l,2,L,证明:

RE为度量空间(Rw)上的一个“基本数列”.

27.(2024•湖北•模拟预测)欧拉函数在密码学中有重要的应用.设〃为正整数，集合X"={1,2,…，"-1},

欧拉函数的值等于集合X,中与〃互质的正整数的个数；记M(x,y)表示x除以y的余数G和y均为正

整数)，

(1)求°(6)和。(15)；

(2)现有三个素数p,q,e(p<q<e),n=pq,存在正整数d满足"(血,以〃))=1；已知对素数。和

均有"(xi,a)=l,证明：若xeZ，则了=河([M。。,")『,")；

(3)设〃为两个未知素数的乘积，e?为另两个更大的已知素数，且2^=302+1；又q=M(x。/),

e2

c2=M(x,n),xsX“,试用q,c2和〃求出x的值.

28.(2024•江西宜春•模拟预测)定义：设V=/(x)和y=g(x)均为定义在/上的函数，其导函数分别为

/'(x),g'(x),若不等式"(x)-g(x)][/'(x)-g'(x)]20对任意xe/恒成立，则称y=/⑴和kg(x)为区

间/上的“友好函数”.

⑴若/(x)=e2x和g(x)=a-e*是“友好函数”，求a的取值范围；

21

(2)给出两组函数：①工(x)=e、，4(尤)=工+1；②人(x)=xe2，_41nx-6,g2(x)=1e-2e\分别判断这

两组函数是否为(0,+⑹上的“友好函数”.

29.(2024•海南省直辖县级单位•一模)若有穷数列为,%…当(〃是正整数)，满足生=加+1(MN,且

1<Z<«),就称该数列为“S数列”.

⑴已知数列出｝是项数为7的S数列，且〃也也也成等比数列，(=2也=8,试写出也｝的每一项;

⑵已知上｝是项数为2左+1(人1)的S数列,且6+”&*2,…，国构成首项为100,公差为-4的等差数列，数

列｛C,｝的前2左+1项和为则当上为何值时，取到最大值？最大值为多少？

(3)对于给定的正整数刀>1,试写出所有项数不超过2加的S数列，使得1,2,22,…,2〃i成为数列中的连续项

当机>1500时，试求这些S数列的前2024项和S23.

30.(2024•江苏南京•二模)已知数列｛。,｝的前，项和为若对每一个〃eN*,有且仅有一个加eN*,使

得黑4%<5,用，则称｛a」为“X数列，，.记4=5,向-4，〃eN*,称数列也｝为｛叫的“余项数列”.

(1)若｛0｝的前四项依次为0,1,-1,1,试判断｛%｝是否为“X数列”，并说明理由；

⑵若S,,=2",证明｛%｝为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；

(3)已知正项数列｛%｝为“X数列”，且｛%｝的“余项数歹产为等差数列，证明：S.4(l+2"2)%.

冲刺大题07新定义综合

（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选30题）

1.（2024・辽宁•二模）己知数列｛%｝的各项是奇数，且。"是正整数”的最大奇因数，

Sn=%+。2+。3+%+L+•

（1）求。6，"20的值；

（2）求8石2，$3的值；

⑶求数列｛SJ的通项公式.

【答案】（1）/=3,%。=5

（2）E=2,S2=6,S3=22

【分析】（1）根据所给定义直接计算可得；

（2）根据所给定义列出1,2,3,…,8）,即可得解;

（3）当"为奇数时见=2左TWeN*）,即可求出％+/+%+…+%T，当"为偶数时见=4*="斤

（左eN*）,从而得到%+%+R+&+…+%=S"T，即可推导出S,-S,T=4"T（”N2）,再利用累加法计算

可得.

【详解】（1）因为6=1X2X3,所以。6=3,

X20=1x4x5,所以%o=5；

（2）依题意可得%=%=1，%=3,4=1，牝=5,4=3,%=7,g=1,

所以S]=%+%=2,

5*2=。]+。2+。3+。4=1+1+3+1=6,

S3=q+4+。3+。4+。5+&+。7+。8=1+1+3+1+5+3+7+1=22

(3)因为%是正整数〃的最大奇因数，

当n为奇数,即〃=2左一1(左£N*)时a”=a2k_t=2左一1,

所以%+/+%+…+4-=1+3+5+…+(2"-=l+-Ox2"—=4"T，

当〃为偶数，即〃=2左(左wN*)时％=电左=为，

=n-1

所以当〃22时。2+。4+〃6+/---*"。2""1x2+”2x2+“3x2+“4x2---^2x2

=%+&+%+。4---1~。2"-1='"-I，

所以S〃=%+电+。3+。4+L+%

=(%+%+^---。2"—1)+(出+%+。6+。8----1~。2")

二代十九，

所以1―51=41(〃")且5]=2,

所以S〃二(S「S〃_J+(S〃T—S7)+~+(S3—S2)+(S2—SJ+H

=4〃T+4〃"・・+42+4+2

4(1-4-')4"+2

1-43

当〃=1时E=2也满足s“=三4〃+上2，

所以数列{SJ的通项公式为s“=£产.

【点睛】关键点点睛：本题关键是理解定义，第三问关键是推导出S“-Se=4'T(〃22)且H=2,最后利

用累加法求出E,.

2.(2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)己知数列/：%,2，…,心("23)的各项均为正整数，设集合

T={x\x=aJ-ai,l<i<j<N},记7的元素个数为P(7).

(1)若数列41,3,5,7,求集合7,并写出尸(？)的值;

⑵若A是递减数列，求证:“尸(7)=N-1”的充要条件是“A为等差数列”；

(3)已知数列/:2,22,…,2",求证:P(T)=N(：T).

【答案】⑴？={2,4,6},尸(7)=3.

⑵证明见解析；

(3)证明见解析

【分析】(1)根据题意，结合集合的新定义，即可求解；

(2)若A为等差数列，且A是递减数列，得到d<0,结合证得充分性成立；再由A是

递减数列，得至IJT={&-%，%-%，%-%，L,%-%}，结合互不相等，得至=。3-。2=~=，

得到必要性成立，即可得证；

(3)根据题意，得到PCO«N(：T),得出得到2"(2""-1)=2”(2i-1),不妨设

贝冲一4(2/-1)=2小-1,推得2，r_i为奇数，矛盾，进而得证.

【详解】(1)解：由题意，数列413,5,7,

可得3-1=2,5-1=4,7-1=6,5-3=2,7-3=47-5=2,

所以集合7={2,4,6},所以尸(合=3.

(2)证明：充分性：若A为等差数列，且A是递减数列，则A的公差为d®<0),

当lVi</VN时，a厂—d,所以T={d,2d,3d,…,(NT)4},

则尸(T)=N-1,故充分性成立.

必要性:若A是递减数列，P(7)=N-1,则A为等差数列，

因为A是递减数列，所以电-%>。3-心一生，

所以。2--%，。4一%,L,心-$丁，且互不相等，

所以T={a2-。1，。3一%,LMN-％},

a

又因为％~2>ci4-a2>-->aN-a2>aN-aX9

所以色一。2，。4一。2,…,ST且互不相等，

所1以=〃2—，Q4—“2=%—，…，一。2="N-1—"1，

所以?一〃]=4一七=…二心一明，

所以A为等差数列，必要性成立.

所以若A是递减数列，“P(T)=N-1”的充要条件是“A为等差数列”.

(3)证明：由题意集合中的元素个数最多为空二D个,

即为04歆：―1),

对于数列4:2,2?…,2",此时。广生=2,-2,，

若存在%、一%、="-"，则2*-2"=2h-2,2,其中/>彳，h>h,

故心(2，T-1)=24(2右-4一1),

若i件i2,不妨设h>h，则2口(2，T-1)=2,2f一i,而工>“,j2>i2,

故为偶数，2,2F_I为奇数，矛盾，

故，；=%，故R=/2,故由上2,2,…,2"得到的勺-。，彼此相异，所以尸(T)=N(：T).

3.(2024•广西•二模)已知函数〃x)=lnx,若存在g(x)V/(x)恒成立，则称g(x)是〃x)的一个“下界函

数

(1)如果函数g(x)=；-lnx为〃x)的一个“下界函数”，求实数f的取值范围;

12

(2)设函数尸(x)=/(x)------十——,试问函数b(x)是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说

exex

明理由.

2

【答案】⑴(-℃,—)

e

(2)函数F(X)是否存在零点，理由见解答

【分析】(1)把恒成立问题转换为求2xlnx的最小值问题，利用导数求出最小值即可；

(2)把函数整理成尸⑴二山〜二+工—工-4+2二化-三］,要判断是否有零点，只需看尸⑴的正

eexexeexxyeeJ

1V

负问题，令G(x)=--W，利用导数分析G。)即可.

ee

【详解】(1)由g(x)W/Q)恒成立，可得工-lnxWlnx恒成立，

所以恒成立，令〃(x)=2xlnx,所以1(x)=2(1+Inx),

当xe(02)时，"(x)<0,〃(x)在(0」)单调递减；

ee

当X£(—,+8)时，h\x)>0,〃(%)在(―,+8)单调递增；

ee

122

所以〃(x)的最小值为〃(与=-J所以鹏，,

eee

2

实数t的取值范围(-8,-一］；

e

221

(2)由(1)可知2xInx>—,所以21nx2---,所以Inx2----,①

eexex

又尸(x)=/(x)-士+工，所以尸(x)=lnx-［+工、-工一二+工二工/一三)，

eexeexexeexxee

1VV—1

令G(x),-W，所以G，(X)=JA,

eee

当xe(O,l)时,G'(x)<0,G(x)在(0,1)单调递减;

当xe(l,+s)时，G'(x)>0,G(x)在(1,+e)单调递增；

所以G(x)2G⑴=0,②

所以尸(尤lulnx-e+Zw-L-e+NuLd-W)上。，

eexexeexxee

又①②中取等号的条件不同，所以尸(x)>0

所以函数没有零点.

4.(2024•湖南长沙•模拟预测)设〃次多项式耳,(。=。/'+%_/1+--+%”+印+旬(。#0),若其满足

E,(COSX)=COS77X,则称这些多项式门⑺为切比雪夫多项式.例如：由cosO=cos6可得切比雪夫多项式

6(x)=X,由cos20=2cos2。一1可得切比雪夫多项式乙(无)=2/-1.

⑴若切比雪夫多项式月⑴二&+加+⑪+心求实数a,b,c,d的值；

(2)对于正整数«...3时，是否有Pn(x)=2x隹-(x)-《_2(x)成立?

(3)已知函数/(无)=8》3_6%-1在区间上有3个不同的零点，分别记为占了2户3，证明：Xj+x2+x3=0.

［答案］⑴a=4,b=d=0,c=_3

⑵%(x)=2x•只(x)-只-(x)成立

(3)证明见解析

【分析】⑴利用月(cos0)=cos3d=cos(20+d)展开计算，根据切比雪夫多项式可求得。也d,c；(2)要证

原等式成立，只需证明cos("+l)e+cos("-l)e=2cos〃夕cos。成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结

论成立;

（3）由已知可得方程4x3-3x=g在区间（-1,1）上有3个不同的实根，令x=cos6,ee（0,劝，结合（1）可

1TTS冗7冗

是cos30=—,可得再=COS—,工2=COS—,x=cos一，计算可得结论.

29993

【详解】（1）依题意,

2

P3(cos6)=cos3。=cos(2。+0)=cos20cos0-sin26sin0=(2cos0-1)cos0-2sin20cos0

=2cos3^-cos^-2(l-cos20)cos0=4cos%-3cos。，

因此A(x)=4x，-3x,即+云2+cx+d=4--3x,则。=4,6=d=0,c=-3,

(2)E+i(x)=2x£(x)-W(x)成立,

这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式cos(n+l)6+cos(n-l)e=2cos〃e-cos。.

首先有如下两个式子：

只+1(cos。)=cos(〃e+e)=cosn^cos^-sinw0sin^,

P,T(cos。)=cos("6")=cosndcosd+sinn^sin0,

两式相加得，P„_i(cos6>)+7^+1(cos。)=2cosn0cos0=2Pn(cos6>)cos6>,

将cosd替换为x,所以只+i(x)=2x£(x)-P„_t(x).

所以对于正整数"23时，有勺(x)=2x(x)-/2(x)成立.

(3)函数〃x)=8/一6x-l在区间(-1,1)上有3个不同的零点西广2，三，

即方程4/-3x=；在区间(-1,1)上有3个不同的实根，

令x=cose,6e(0,n),由(1)知cos3。=；,而36e(0,37i),则3。=1或30=弓或30=g,

十口兀5兀7兀

TT7E再=COS~,X?=COS,%=COS5-,

„.715兀7兀7if4K2兀1

贝+x+x.=cos—+COS——+COS——=COS——COS——+COS——,

12939999(99)

〜4兀2兀(3兀兀、「3兀兀、c兀兀兀

而cos——+cos——=cos——+—+cos--------=2cos—cos—=cos—,

99(99)99J399

所以％1+汽+%3=°.

5.（2024•浙江•模拟预测）已知实数9。0,定义数列｛〃,｝如下：如果

22k

n=%+2芯+2X2+…+24w£{0,1},%=0,1,2,…，左，则〃〃=x0+xxq+x2q+•••+xkq.

(1)求％和〃8(用9表不);

u

⑵令bn=a2„_,,证明：£b，=%_]；

i=l

⑶若l<g<2,证明：对于任意正整数”，存在正整数加，使得。〃<册44+1.

【答案】⑴。7=1+«+/,。8=«3

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)观察题目条件等式中的系数可得答案；

(2)bn=",=尸，分别计算力,和%।可证明结论；

1=121

(3)先根据无上界说明存在正整数加，使得知<(，分加-1是偶数和〃L1是奇数分别说明.

【详解】(1)因为7=1+2+22,所以%=l+q+/；

因为8=2，所以。8=«3；

(2)由数列{%}定义得：b“=a*=qz；所以£4=1+4+/+…

1=1

而2"-1=1+2+22+…+2"-，

所以。2一=1+4+/+…+/I=；

i=l

(3)当1<"2,由(2)可知，％-1=夕1无上界，故对任意见，存在%,使得金>%.

设加是满足%的最小正整数.下面证明明<%+1.

①若加一1是偶数,设加一1=2匹+22/+…+2。左，项G{0,1},Z=1,2,…，左,

2

则加=1+2/+2?/+…+2%x%,于是dm—1+x1q+%2^+…+—1+〃加—.

因为。〃之。加一1,所以％1=1+Q/n-l~""+1•

k

若m—1是奇数，设加—1=1+2+2?H—,+2'+2，+2/+2H■…•+2xk,

aa

则m~m-\=q'+，_(1+q+q2T+d)=(q_l)(l+q+q2+...+d)_(]+g+g2H+d)+l<l.

所以与.

综上所述，对于任意正整数”，存在正整数加，使得凡〈册W%+1.

6.(2024・辽宁・三模)若实数列｛%｝满足V”eN*,有。,,+22%,称数列｛。“｝为“T数列”.

(1)判断%=/e=ln”是否为“7数列”，并说明理由；

(2)若数列｛%｝为“7数列”，证明：对于任意正整数匕〃?/,Kk<m<n,都有乙二至、&」

n—mm—k

2024

(3)已知数列｛《｝为“T数列"，且£4=0,令M=max｛同,以24|｝，其中max｛a,6｝表示a,6中的较大者.证明:

i=l

7075

\/左e｛1,2,3,…,2024｝,都有一M<a.<M,

2023

【答案】(1)数列｛%｝是“T数列"，数列｛2｝不是“7数列”；

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据“T数列”的定义判断可得出结论；

(2)由%+ak+l>2a*(左=2,3,…)可得出ak+t-ak>ak-ak_t,利用累加法结合不等式的基本性质可得

^^->am+l-am,以及上？2--,再结合%+「风,-。小可证得结论成立；

n-mm-k

(3)首先当上=1或2024时的情况，再考虑左e｛2,3,…,2023｝时，结合(2)中结论考虑用累加法可证得结

论.

【详解】(1)因为%+a〃+2—2a“+i=1+(〃+2)—2(H+1)=2>0,

所以数列｛%｝是“T数列”，

2

因为“+4+2-26〃+1=InH+ln(«+2)-2ln(«+1)=In^n+2〃)—ln(/+2〃+l)<0,

所以数列｛4｝不是"数列”;

⑵令的=〃〃+1-%，因为数列｛〃〃｝为“T数列"，所以4+%+222%+[

从而知+2-。〃+14，所以

因为IV左<加<H,所以

册一」加二(」“一1〃一1)+(4〃一1一」〃一2)+・一+(4加+i—〃加)

n—mn—m

_%+*+..,+%>("T〃)q”一°

———c,

n—mn—m1M

。机2）+•••+（Q左+1—Q4）

m-km-k

_C/n-l+。加一2T卜C.v（加一.）cm—1_

-m—k；-m—k；一s

因为所以巴*24子

n—mm—k

(3)当左=1或2024时，一|%区外引火|,

从而⑷＜4引⑷,

当左e{2,3,…,2023}时，因为1＜左＜2024,

由第⑵问的结论得篇A23，可推得小嚓*+急*，从而

（22^q㈡22^〃+1…

202312023202420231120231120232023

对于Vl＜i＜左，由第(2)问的结论得与二竺2仁?，从而

k—ii-\

i—]k—i1

%1~ak+~—la\=~一7[(，—1)。左+(左一，)％],，=1也成立，从而

k-lk1-1K1-1

k-\1&•一1k-\1—）处a（左一2）k

E%47--£（，一1）氏+£（左一，州1-ak+5%

Z=1左一1』z=l22

对于V左<i<2024,由第（2）问的结论得匕子,从而

2024-Ii-k

i—k2024—i1r,..,..、q

%-2024T02024*2024-k0k=2024-k[0-x^2024+（°一

2024]r20242024

i=2024也成立，从而£a,<Z■一Mg+Z（2024

i=k+\2U24—kL=%+ii=k+\

1（2。25一”2。2f2023W一3

2024

（2005-A;）（2023-左）

二2。2024Q左

等