2024年中考数学训练：二次函数的最值

2024年中考数学专题训练一二次函数的最值

1.已知抛物线y=/+陵一3与y轴相交于点A（O,-3）,与x轴相交于点30，。）和点C（3,O）,

直线/：?=履+2左+3经过定点。.

⑴求。和b的值及点D的坐标；

⑵如图1,当左=-1时，位于直线/上方的抛物线上有一点尸，过点尸作尸M〃y轴交直线/于

点/,求尸”的最大值；

⑶如图2,连接并延长AB,将射线48绕点A顺时针旋转45。后，与抛物线相交于点E,求

点E的坐标.

2.如图，在直角坐标系中，。为原点，抛物线y=r-2x-l交y轴于点A,点2,C在此抛

物线上，其横坐标分别为优，3m（m>0）,连接",AC.

（1）当点B与抛物线的顶点重合，求点C的坐标.

⑵当BC与尤轴平行时，求点8与点C的纵坐标的和.

（3）设此抛物线在点B与点C之间部分（包括点B,C）的最高点与最低点的纵坐标之差为5加

(加>/),请直接写出机的值.

3.在平面直角坐标系中，已知二次函数yn-gr+bx+c的图象经过坐标原点。和点

A(4+«,0),其中a20.

(1)当a=0时，求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少?

⑵当a>0时，在0WxW4范围内，y是否存在最大值10?若存在，求出相应的a和x的值；

若不存在，请说明理由.

4.一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以4)为直径的半圆。，下部是一个矩形

(1)当A£)=4米时，求隧道截面上部半圆。的面积；

(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆。的半径为厂米.

①求隧道截面的面积S(m)关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；

②若2米WCDW3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值.(兀取3.14,结果精确

至U0.1米)

5.如图，在直角坐标系中，。为原点，抛物线y=f-2x-l交，轴于点A,点8,C在此

(1)当点8与抛物线的顶点重合，求点C的坐标.

⑵当BC与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和.

试卷第2页，共6页

(3)设此抛物线在点B与点C之间部分(包括点8,C)的最高点与最低点的纵坐标之差为

5m\m>^,求加的值.

6.我们约定：若关于x的二次函数%=%炉+伪X+9与％=为尤2+62X+C2同时满足

而土+化+伪)2+k2-q|=0,b件瓦,则称函数%与函数为互为“反序对称”函数.根据

该约定，解答下列问题：

⑴已知关于X的二次函数%=2^+x+3,写出它的“反序对称”函数，%=；

⑵对于任意非零实数L5,点P&J)与点。(s,t)(rHs)始终在关于x的函数％=/+2rx+s

的图像上运动，函数上与％互为“反序对称”函数.

①函数内的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，

请说明理由；

②若直线PQ在x轴的下方，求直线PQ与x轴间距离的最大值；

7.如图1,抛物线y=+gx+c经过点EQ5),(1,5),矩形ABCO的点A,。在x轴上,

B,C在抛物线上，/EBC=45°.

(1)求该抛物线的解析式；

⑵求点8,C的坐标；

⑶如图2,垂直于0E的直线相从底边AD出发，以每秒1cm的速度沿0E方向匀速平移，分

别交折线OC-CE,AB-BE,0E于M,N,H,当直线优到达点E时，停止运动，连接OM,

ON,设运动时间为/秒(0<f<5),OMN的面积记为y,请用/表示y,写出/的相应的取

值范围，并求y的最大值.

8.某公司销售一种产品，经分析发现月销售量y(万件)与月份彳(月)的关系如下表所示，

每件产品的利润Z（元）与月份X（月）满足关系式z=-x+20（l<x<12,且X为整数）.

X123456789101112

y283236404448525252525252

（1）请你根据表格分别求出当14x47和8WxW12（x为整数）时，销售量y（万件）与月份x

（月）的关系式；

（2）求当x为何值时，月利润。（万元）有最大值，最大值为多少？

（3）求该公司月利润不少于660万元的月份是哪几个月？

9.己知抛物线y=ax?-2ax+c的图象经过点（-1,0）,（0,3）.

（1）求这个二次函数的表达式.

（2）当-2V时，函数的最大值为加，最小值为"，若"=9,求f的取值范围.

10.“厚德楼”、“博文楼”分别是某校两栋教学楼的名字，“厚德”出自《周易大传》：天行健，

君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物.“博文”出自《论语》：“君子博学于文，约之以

礼.博学乃华夏古今治学之基础."我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等

的点称为“厚德点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“博文点”.把函数图象至少经过一个“厚

德点”和一个“博文点”的函数称为“厚德博文函数”.

（1）函数y=3x-2是一个“厚德博文函数”，求出该函数图象上的“厚德点”和“博文点”：

⑵已知二次函数y=a（x-/z）2+左图象可以由二次函数y=-%2平移得到，二次函数

y=a（无-/7丫+左的顶点就是一个“厚德点”，并且该函数图象还经过一个“博文点”P（3,m）,

求该二次函数的解析式；

（3）已知二次函数y=2（x-cy+d（c,1为常数，cwO）图象的顶点为与y轴交于点N,

经过点M,N的直线/上存在无数个“厚德点”.当m—lWxWm,函数y=2（x-cp+d有最

小值，35，求机的值.

11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=0?+区一4（。彳0）的图像与x轴交于

4（4,0）,5（-1,0）两点，与y轴交于点C.

试卷第4页，共6页

(1)求二次函数的解析式;

⑵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接AP、AC、BP、BC,线段AC与BP交

于点Q,设△PA。的面积为百，△BC。的面积为S2,当S-S2取最大值时，求点P的

坐标；

(3)当-1W尤<〃?时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出机的取值范

围.

12.已知二次函数y=(x—a)(x—3a)(a为实数，a>0).

(1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标(用含a的代数式表示).

(2)设二次函数在3a+2时的最大值为p,最小值为分p-q=16,求a的值.

13.已知抛物线y=-尤2+a+c与x轴交于对称轴为直线x=l,顶点为点P

⑵是否存在以AM为底边的等腰△ADM,若存在，求点。的坐标；若不存在，请说理由;

⑶过动点尸作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴平行线交x轴于点G,过点E作EFLx

轴，垂足为点R当四边形PEFG周长最大时，求点P的坐标.

14.综合应用.

已知抛物线>=/+法+3与无轴交于4(2,0),3(4,0)两点，与>轴交于点C,点P是抛物

线上一动点.

(2)如图1,当点P是第一象限内且在BC上方的动点，连接AP,交BC于点。，若DP=3AD,

求点尸的坐标；

(3)如图2,若点尸在直线BC下方的抛物线上，过点P作尸。，8。，垂足为Q,求2CQ+PQ

的最大值.

2

15.如图，直线/：y=x+6与坐标轴分别交于点A,C,抛物线L：y=ax-2X+c经过点5(2,0)

和点C,其顶点为对称轴与x轴交于点“，点尸是抛物线乙上的一点，设点尸的横坐标

为tn.

(1)求抛物线L的解析式，并经过计算判断抛物线