上海华亭校2024年中考三模数学试题（含解析）

上海华亭校2024年中考三模数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（）

▲•▲▲♦上•・

4-3-2-10I234

A.点AB.点BC.点CD.点D

2.a的算术平方根为（）

A.+41B.V2C.±2D.2

3.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）

A.9B.7C.-9D.-7

4.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

5.如图，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CDE,AC与BE交于点F,则NAFE的度数是

（）

6.如图，已知△ADE是AABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为a,直线BC与直线

DE交于点F,那么下列结论不正确的是（）

A.NBAC=aB.NDAE=aC.NCFD=aD.NFDC=a

7.如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP,作射线PD,使NAPD=60。,

PD交AC于点D,已知AB=a,设CD=y,BP=x,则y与x函数关系的大致图象是（）

8.如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体个数最多为（）

10.下列命题是真命题的个数有（）

①菱形的对角线互相垂直；

②平分弦的直径垂直于弦；

③若点（5,-5）是反比例函数y=8图象上的一点，则k=-25；

X

④方程2x-l=3x-2的解，可看作直线y=2x-1与直线y=3x-2交点的横坐标.

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.下列函数中，y关于x的二次函数是（)

A.y=ax2+bx+cB.y=x(x-1)

1

22

C.y=-rD.y=(x-I)-x

12.-3的倒数是()

11

A.—B.3C.D.+-

333

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分,共24分.）

12

13.化简：--------1—z=・

X+1X—1

14.方程仆3=2的解是.

15.已知抛物线7=/上一点A,以A为顶点作抛物线C：）=/+加c+c,点3（2,7B）为抛物线C上一点，当点A在

抛物线7=好上任意移动时，则"的取值范围是.

16.已知。O的半径为5,由直径AB的端点B作。。的切线，从圆周上一点P引该切线的垂线PM,M为垂足，连

接PA,设PA=x,则AP+2PM的函数表达式为,此函数的最大值是,最小值是.

17.如图，已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F.设D4=a,DC=b，

那么向量用向量。、b表示为

18.出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-X）个，则当x=元，一天出售该种手工艺品的总

利润y最大.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线丁=丘-10经过点412,0）和53,—5）,双曲线y=—（%>0）经过点B.

x

(1)求直线y=区-10和双曲线丫=—的函数表达式；

x

(2)点C从点A出发，沿过点A与y轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C的运动时间为t(0

<t<12),连接BC,作BDLBC交x轴于点D,连接CD,

①当点C在双曲线上时，求t的值；

②在0<t<6范围内，NBCD的大小如果发生变化，求tan/BCD的变化范围；如果不发生变化，求tanNBCD的值;

③当。。=身画时，请直接写出t的值.

12

20.(6分)某校为了解本校九年级男生体育测试中跳绳成绩的情况，随机抽取该校九年级若干名男生，调查他们的跳

绳成绩x(次/分),按成绩分成4%<155),B(155„x<160),C(160„%<165),D(165„x<170),E(x..l70)五

个等级.将所得数据绘制成如下统计图.根据图中信息，解答下列问题:

该校被抽取的男生跳绳成绩频数分布直方图

(1)本次调查中，男生的跳绳成绩的中位数在_______等级；

(2)若该校九年级共有男生400人，估计该校九年级男生跳绳成绩是。等级的人数.

21.(6分)某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统

计图和条形统计图.根据图中信息解答下列问题：

该超市“元旦”期间共销售.・个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡

蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是度；补全条形统计图；如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这

三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？

22.（8分）计算：（g）-炳+（-2）°+|2-瓜|

23.（8分）已知关于x的方程X?—（m+2）x+（2m-l）=0。求证：方程恒有两个不相等的实数根；若此方程的一

个根是1,请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

24.（10分）如图，在矩形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,连结BE,CE,求证：BE=CE.

25.（10分）在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签

规则是：在3个相同的标签上分别标注字母4、5、C,各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名

学生再随机抽取.用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率.

26.（12分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（l<x<90）天的售价与销售量的相关信息

如下表：

时间X（天）l<x<5050<x<90

售价（元/件）x+4090

每天销量（件）200-2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元【求出y与x的函数关系式；问销售该商品第几天时,

当天销售利润最大，最大利润是多少？该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结

果.

27.(12分)如图，在△ABC中，已知AB=AC=5,BC=6,ABC^ADEF,将ADEF与△ABC重合在一起，△ABC

不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点.

(1)求证：AABES/^ECM；

(2)探究：在ADEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

(3)当线段AM最短时，求重叠部分的面积.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

试题分析：在数轴上，离原点越近则说明这个点所表示的数的绝对值越小，根据数轴可知本题中点B所表示的数的绝

对值最小.故选B.

2、B

【解析】

分析：先求得〃的值，再继续求所求数的算术平方根即可.

详解：,••4=2,

而2的算术平方根是力，

•••”的算术平方根是企，

故选B.

点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误.

3、C

【解析】

先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-l代入y=2x+b可得答案.

【详解】

当x=7时，y=6-7=-l,

.,.当x=4时，y=2x4+b=-l,

解得：b=-9,

故选C.

【点睛】

本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法.

4、B

【解析】试题解析：A.是轴对称图形但不是中心对称图形

B.既是轴对称图形又是中心对称图形；

C.是中心对称图形，但不是轴对称图形；

D.是轴对称图形不是中心对称图形；

故选B.

5、B

【解析】

易得△ABF与△ADF全等，NAFD=NAFB,因此只要求出NAFB的度数即可.

【详解】

•.•四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD,ZBAF=ZDAF,

/.△ABF^AADF,

.\ZAFD=ZAFB,

,.,CB=CE,

.*.ZCBE=ZCEB,

VZBCE=ZBCD+ZDCE=90o+60°=150°,

/.ZCBE=15O,

；NACB=45°,

:.ZAFB=ZACB+ZCBE=60°.

ZAFE=120°.

故选B.

【点睛】

此题考查正方形的性质，熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会运用其性质进行一些简单的转化.

6、D

【解析】

利用旋转不变性即可解决问题.

【详解】

VADAE是由△BAC旋转得到，

/.ZBAC=ZDAE=a,ZB=ZD,

■:NACB=NDCF,

/.ZCFD=ZBAC=a,

故A,B,C正确，

故选D.

【点睛】

本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转不变性解决问题，属于中考常考题型.

7、C

【解析】

根据等边三角形的性质可得出NB=NC=60。，由等角的补角相等可得出NBAP=NCPD,进而即可证出

△ABP-APCD,根据相似三角形的性质即可得出y=-1x2+x,对照四个选项即可得出.

a

【详解】

:△ABC为等边三角形，

.\ZB=ZC=60°,BC=AB=a,PC=a-x.

VZAPD=60°,ZB=60°,

AZBAP+ZAPB=120°,ZAPB+ZCPD=120°,

.*.ZBAP=ZCPD,

AAABP^APCD,

CDPCnnya-x

BPABxa

・

・・1y=-7-x"+x.

-a

故选C.

【点睛】

考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=」x?+x是解题

a

的关键.

8、C

【解析】

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

【详解】

根据三视图知，该几何体中小正方体的分布情况如下图所示：

省

俯视图

所以组成这个几何体的小正方体个数最多为9个，

故选C.

【点睛】

考查了三视图判定几何体，关键是对三视图灵活运用，体现了对空间想象能力的考查.

9、B

【解析】

试题分析：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，

故选B.

点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部

分的轮廓线要画成虚线.

10、C

【解析】

根据菱形的性质、垂径定理、反比例函数和一次函数进行判断即可.

【详解】

解：①菱形的对角线互相垂直是真命题；

②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，是假命题；

③若点（5,-5）是反比例函数y=8图象上的一点，则k=-25,是真命题；

x

④方程2x-l=3x-2的解，可看作直线y=2x-l与直线y=3x-2交点的横坐标，是真命题；

故选C.

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，

结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.一些命题的正确性是用推理证实的，这样的

真命题叫做定理.

11,B

【解析】

判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理(去括号、合并同类项)后，能写

成广如2+bx+c(a,方，c为常数，分0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.

【详解】

A.当。=0时，y-ax2+bx+c=bx+c,不是二次函数，故不符合题意；

B.j=x(x-1)=--工，是二次函数，故符合题意；

C.y=\的自变量在分母中，不是二次函数，故不符合题意；

D.y=(x-1)2-x2=-2x+l,不是二次函数，故不符合题意；

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，一般地，形如尸"2+公+'b,c为常数，存0)的函数叫做二次函数，据此求解即可.

12、A

【解析】

解：-3的倒数是-

故选A.

【点睛】

本题考查倒数，掌握概念正确计算是解题关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

【解析】

根据分式的运算法则即可求解.

【详解】

序式=1+2=x+1=J_

八(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)x-1

1

故答案为:

x-1

【点睛】

此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.

14、x=l

【解析】

将方程两边平方后求解，注意检验.

【详解】

将方程两边平方得x-3=4,

移项得：x=l,

代入原方程得斥1=2,原方程成立，

故方程三=2的解是x=l.

故本题答案为：x=l.

【点睛】

在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验.

15、ya>l

【解析】

设点A的坐标为(m,n),由题意可知n=mL从而可知抛物线©为丫=(x-m)]+n,化简为y=xi-lmx+lmi,将x=l

代入y=x1-lmx+lm1,利用二次函数的性质即可求出答案.

【详解】

设点A的坐标为(m,n),m为全体实数，

由于点A在抛物线y=x】上，

•1

由于以A为顶点的抛物线C为y=x1+bx+c,

工抛物线C为y=(x-m)Un

化简为：y=x1-lmx+m1+n=x1-lmx+lm1,

・,•令x=l,

**•ya=4-4m+lm1=l(m-1)J+1>1,

故答案为ya>l

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意求出ya=4・4m+lmi=l(m-1)M.

185

16、——X2+X+20(0<X<10)—不存在.

54

【解析】

先连接BP,AB是直径，BP1BM,所以有，ZBMP=ZAPB=90°,又NPBM=NBAP,那么有△PMBs/\PAB,于

PR21n2_2]f)2_2i

是PM：PB=PB：AB,可求PAf=——=-----------，从而有AP+2PM=x+--------—=——x2+x+20(0<x<10),

AB1055

再根据二次函数的性质，可求函数的最大值.

【详解】

如图所示，连接PB,

VZPBM=ZBAP,ZBMP=ZAPB=90°,

/.△PMB^APAB,

APM：PB=PB：AB,

AAP+2PM=x+10-X-=--X2+X+20(0<X<10),

■:ci——<0,

5

・・・AP+2PM有最大值，没有最小值,

4ac-b285

•・y最大值二

i85

故答案为—%2+x+20(OVxVIO),—，不存在.

【点睛】

考查相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，综合性比较强，需要熟练掌握.

17、〃+2b

【解析】

根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF,故AF=2AB=2DC,结合三角形法则进行

解答.

【详解】

如图，连接BD,FC,

•••四边形ABCD是平行四边形，

；.DC〃AB,DC=AB.

/.△DCE^AFBE.

又E是边BC的中点，

.DEEC1

"EF~EB_'，

/.EC=BE,即点E是DF的中点，

**.四边形DBFC是平行四边形，

/.DC=BF,故AF=2AB=2DC,

:，DF=DA+AF=DA+2DC=a+2b.

故答案是：a+2b.

【点睛】

此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.注意掌握三角形法则的应用是关键.

18、1

【解析】先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答.

解：•••出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，

；.y=（8-x）x,即y=-x2+8x,

当x=-b_8=i时，y取得最大值.

2a

故答案为：L

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）直线的表达式为y—10,双曲线的表达式为y=—胆；（2）①3；②当0<f<6时，NBCD的大小不

6x2

发生变化，tan/BCD的值为之；③t的值为之或”.

622

【解析】

(1)由点A(12,0)利用待定系数法可求出直线的表达式；再由直线的表达式求出点B的坐标，然后利用待定系数法即

可求出双曲线的表达式；

(2)①先求出点C的横坐标，再将其代入双曲线的表达式求出点C的纵坐标，从而即可得出t的值；

②如图1(见解析)，设直线AB交y轴于M,则M(0,-10),取CD的中点K,连接AK、BK.利用直角三角形的性

质证明A、D、B、C四点共圆，再根据圆周角定理可得=从而得出tan/BCD=tan/DAB=也，

OA

即可解决问题；

③如图2(见解析)，过点B作于M,先求出点D与点M重合的临界位置时t的值,据此分0</<5和5W/<12

两种情况讨论：根据AB,C三点坐标求出AM,BM,AC的长，再利用三角形相似的判定定理与性质求出DM的长，

最后在RQAC。中，利用勾股定理即可得出答案.

【详解】

(1)•••直线y=履-10经过点A(12,0)和B(a,—5)

将点A(12,0)代入得12Z—10=0

解得％

6

故直线的表达式为y=10

6

将点fi(a,-5)代入直线的表达式得-a-10=-5

6

解得。=6

/.B(6,-5)

・・,双曲线y=—(光>0)经过点5(6,—5)

x

rn

：.-=-5,解得加=-30

6

30

故双曲线的表达式为y=—-；

x

(2)①AC〃,轴，点A的坐标为A(12,0)

・••点C的横坐标为12

305

将其代入双曲线的表达式得y=-A=-；

•••C的纵坐标为—2,即AC=』

22

由题意得1"=AC=』，解得f=9

22

故当点C在双曲线上时，t的值为3；

2

②当0</<6时，NBCD的大小不发生变化，求解过程如下：

若点D与点A重合

由题意知，点C坐标为(12,-0

由两点距离公式得：=(6—12)2+(—5—0)2=61

BC2=(12-6)2+(T+5)2=36+(T+5)2

AC2=产

由勾股定理得AB2+BC2^AC2,即61+36+(T+5)2=F

解得/=12.2

因此，在0</<6范围内，点D与点A不重合，且在点A左侧

如图1,设直线AB交y轴于M,取CD的中点K,连接AK、BK

由(1)知，直线AB的表达式为y—10

6

令％=0得y=—10,则M(o,—10),即QW=10

点K为CD的中点，BD±BC

:.BK=DK=CK=-CD(直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半)

2

同理可得：AK=DK=CK=-CD

2

：,BK=DK=CK=AK

:A、D、B、C四点共圆，点K为圆心

:.ZBCD=NDAB(圆周角定理)

tanZBCD=tanZDAB="=—=-；

OA126

③过点B作于M

由题意和②可知，点D在点A左侧，与点M重合是一个临界位置

此时，四边形ACBD是矩形，则AC=5。=5,即，=5

因此，分以下2种情况讨论：

如图2,当0<5时，过点C作。V，5M于N

A(12,0),B(6,-5),C(12,-Z)

:.OA=12,OM=6,AM=OA-OM=6,BM=5,AC^t

/CBN+ZDBM=ZBDM+ZDBM=90°

：.ZCBN=ZBDM

又NCNB=ZBMD=90。

：.ACNB-NBMD

,CNBN

"BM~DM

--A-M--二-B--M-----A--C-,即an一6二--5---t

BMDM5DM

:.DM=-(5-t)

6

:.AD=AM+DM=6+^(5-t)

由勾股定理得AD?+AC2=CD2

，5/u、丫2,13屈、2

即6+-(5-0+r=(---)2

_6J12

解得t=2或/="(不符题设，舍去)

22

当5W/<12时，同理可得：6—3(/—5)+/=(史11)2

6J12

解得""或"9(不符题设，舍去)

22

综上所述，t的值为之或".

22

【点睛】

本题考查反比例函数综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股定理等知识点，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

20、(1)C;(2)100

【解析】

(1)根据中位数的定义即可作出判断；

(2)先算出样本中C等级的百分比，再用总数乘以400即可.

【详解】

解：(1)由直方图中可知数据总数为40个，第20,21个数据的平均数为本组数据的中位数，第20,21个数据的等级

都是C等级，故本次调查中，男生的跳绳成绩的中位数在C等级；

故答案为C.

(2)400x—=100(人)

40

答：估计该校九年级男生跳绳成绩是C等级的人数有100人.

【点睛】

本题考查了中位数的求法和用样本数估计总体数据，理解相关知识是解题的关键.

21、(1)2400,60；(2)见解析；(3)500

【解析】

整体分析：

（1）由C品牌1200个占总数的50%可得鸡蛋的数量，用A品牌占总数的百分比乘以360。即可；（2）计算出B品牌

的数量；（3）用B品牌与总数的比乘以1500.

解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200+50%=2400个，

A品牌所占的圆心角：£96x3600=60。；

2400

故答案为2400,60；

（2）B品牌鸡蛋的数量为：2400-400-1200=800个,

-------xl500=500个.

2400

22、20

【解析】

直接利用零指数幕的性质以及负指数基的性质、绝对值的性质、二次根式以及立方根的运算法则分别化简得出答案.

【详解】

解：原式=4-3+1+2A-2—2y[2.

【点睛】

本题考查实数的运算，难点也在于对原式中零指数塞、负指数塞、绝对值、二次根式以及立方根的运算化简，关键要

掌握这些知识点.

23、（1）见详解；（2）4+加或4+20.

【解析】

（1）根据关于x的方程x2—（m+2）x+（2m-l）=0的根的判别式的符号来证明结论.

（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角

形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一

边，再根据三角形的周长公式进行计算.

【详解】

解：(1)证明：*/△=(m+2)2—4(2m—1)=(m—2)2+4,

・••在实数范围内，m无论取何值，(m-2)2+4>4>0,即△>0.

・•・关于x的方程x2—(m+2)x+(2m-l)=0恒有两个不相等的实数根.

(2)・・•此方程的一个根是1,

/.I2—lx(m+2)+(2m—1)=0,解得，m=2,

则方程的另一根为：m+2—1=2+1=3.

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为质，该直角三角形的周长为1+3+质=4

+丽.

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为20;则该直角三角

形的周长为1+3+20=4+272.

24、证明见解析.

【解析】

要证明BE=CE,只要证明△EAB丝AEDC即可，根据题意目中的条件，利用矩形的性质和等边三角形的性质可以得

到两个三角形全等的条件，从而可以解答本题.

【详解】

证明：•••四边形ABCD是矩形，

/.AB=CD,ZBAD=ZCDA=90°,

「△ADE是等边三角形，

•\AE=DE,ZEAD=ZEDA=60°,

.\ZEAD=ZEDC,

在4EAB^AEDC中，

/.△EAB^AEDC(SAS),

/.BE=CE.

【点睛】

本题考查矩形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需

要的条件，利用数形结合的思想解答.

1

25、

3

【解析】

试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙抽中同一篇文章，再利用概率公

式求解即可求得答案.

试题解析：解：如图：

31

所有可能的结果有9种，甲、乙抽中同一篇文章的情况有3种，概率为

93

小小小

点睛：本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,

列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

-2x2+180x+2000（1<x<50）

26、（