中考数学备考复习：最值模型-瓜豆原理(解析版)

专题13最值模型-瓜豆原理

动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学

生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问

题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹基本类型

为直线型和圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】

瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线一上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线

模型1-1如图，P是直线上一动点，连接AP,取AP中点。当点P在上运动时，。点轨

迹是？

解析：当P点轨迹是直线时，。点轨迹也是一条直线.

理由：分别过A、。向作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ,所以。N始

终为AM的一半，即。点到BC的距离是定值，故。点轨迹是一条直线.

模型L2如图，在aAP。中AP=AQ,//HQ为定值，当点P在直线8C上运动时，求。点轨

迹？

解析：当AP与A。夹角固定且ARAQ为定值的话，P、0轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的。点的位置，连线即可，比如Q点的起

始位置和终点位置，连接即得。点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：

①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，

若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的

坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合

适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

例1.（2021・四川绵阳•中考真题）如图，在ACD中，AD=6,BC=5,AC2AB（AB+BC）,且

DABDCA,若AD=3AP,点。是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（）

【答案】A

Anrn

【分析】根据相似三角形的性质得到丝=丝，得到3。=4,AB=BD=4,过B作于根

BDAD

据等腰三角形的性质得到河=；AD=3,根据勾股定理得到即/=，钻2_4守="二三=近,当

时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：ADAB皿4,糕J,袅比2解得：初=4（负值舍去）,

srCDQ342

NDABADC4,=—=-=/.AC=-ABAC2=AB（AB+BC）,.-.RABI=AB（AB+BC）,

ABAD622f

，AB=4,;.AB=BD=4,过B作BHqAD于H,

44?-3?="，

AD=3AP,AD=6,.-.AP=2,当尸Q2AB时，P。的值最小,

■ZAQP=ZAHB=90°,ZPAQ=ZBAHAAPQAABH,—=-^,《=哭，•,,PQ=4,故选：A-

ABBH、712

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线

构造相似三角形是解题的关键.

例2.（2021・四川广元・中考真题）如图，在MC中，ZACB=90°,AC=8C=4,点。是BC边的中

点，点P是AC边上一个动点，连接PD,以尸。为边在尸。的下方作等边三角形P。。，连接CQ.则CQ

2

C.垃D.

2

【答案】B

【分析】以C。为边作等边三角形CDE,连接E。，由题意易得BPDCWQDE,PD=QD,进而可得

SiPCD^iQED,则有回尸。=回0即=90。，然后可得点。是在所在直线上运动，所以CQ的最小值为

C。回QE时，最后问题可求解.

【详解】解：以CO为边作等边三角形CCE,连接EQ,如图所示：

B

0即。是等边三角形，国/CED=NPDQ=NCDE=60。,PD=QD,CD=ED,

EEC。。是公共角，^EPDC=SQDE,^PCDS^QED（SAS）,

0ZACB=90°,AC=BC=4,点。是BC边的中点，

[3回「。=回。即=90。，CD=DE=CE=；BC=2,回点。是在QE所在直线上运动，

团当CQEIQE时，C。取的最小值，0^QEC=90°-ZCED=30°,ElCQ=；CE=l；故选B.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30。直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角

形的性质、含30。直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键.

例3.（2022•湖北•鄂州市三模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，尸是边AD的中点，E是边A3上的

一个动点（不与A重合），以线段AE为边在正方形内作等边△AEF,M是边E尸的中点，连接尸河，则在

点E运动过程中，尸河的最小值是（）

A.-B.币C.—D.3

22

【答案】C

【分析】连接AM,在点E运动过程中，点M在SEAF的平分线上，所以当AMBPM时，取得最小值,

根据等边三角形的性质得到AMBEREIE4M=30。，求得IBB4M=60。，进而即可得到PM最小值.

【详解】解：回尸是边AO的中点，AD=6,EAP=3,如图，连接AM,

r).c

uAEIB

El等边△AEF,A/是边E产的中点，HAM平分EIEAE

团在点E运动过程中，点M在回EAF的平分线上，回当AM0PM时，PM取得最小值，

国/是等边△AEF的边E尸的中点，SPM^AM,EEAM=30°,

0mM=6O°,EPA/=—AP=—,故选：C.

22

【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点M在

回必尸的平分线上，是解题的关键.

例4.（2022・山东日照・中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0,4）,尸是无轴上一

动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60。得到线段PF,连接OF,则线段。尸长的最小值是.

【分析】点尸运动所形成的图象是一条直线，当无时，垂线段O尸最短，当点用在尤轴上时，由勾

股定理得：4。=月。=孚，进而得用4=44=46=半，求得点B的坐标为度,。，当点尸2在y

轴上时，求得点八的坐标为（0,-4）,最后根据待定系数法，求得直线的解析式为y=^『4,再由线

段中垂线性质得出与心=4片=手，在RfAOBB中，设点。到/小2的距离为力，则根据面积法得

葭0中0舄=1片勺/2,即'逑x4,x+叵x/7,解得a=2,根据垂线段最短，即可得到线段。尸的

222122323

最小值为2.

【详解】解：回将线段B4绕点尸顺时针旋转60。得到线段PR

00APF=6O°,PF=PA,EEAPF是等边三角形，^AP=AF,

如图，当点用在X轴上时，AP/AB为等边三角形，则0AP/F/=6O。，

^AO^PjFi，SPJO^FJO,EAOB=90°,fflP/A（?=30°,且A0=4,

由勾股定理得：pQ=F、O=q~,回［A=IG=AE=¥，回点B的坐标为［W，。），

如图，当点尸2在y轴上时，瓯尸公尸2为等边三角形，AOSP2O,0AO=/2。=4,回点尸2的坐标为（0,-4）,

3

回点厂运动所形成的图象是一条直线，回当。旗尸户2时，线段。尸最短，设直线入尸2的解析式为产fcl+b，

4近k+h=C>{k=

则亍，解得，回直线的解析式为y=6.4,

,.b=-4

b=-4i

0Ao=BO=4,AOBiPiFj,S1FF,=AE=—,在MHOBB中，0R3B尸2,

1213

设点0到F1F2的距离为h,贝I］O耳xOF2=^XF1F2xh,

回&逑X4=L^8X/I,解得力=2,即线段。尸的最小值为2,故答案为2.

2323

【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待

定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股

定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用.

例5.（2022•福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=gx+2上的一个动点，将。绕

点尸（-1,0）逆时针旋转90。，得到点Q',连接。。，则。。'最小值为.

【答案】75

【分析】设0（2,1力+2）,作ABIx轴，作AQLAB,作根据A4s可证明V/用三V60P,由此

2

可求0'（-/1-3"+1）,令入=-；t-3,y=t+l,可得Q'在直线y=-2x-5上运动，当OQ'工EQ

时，OQ'的值最小，再由tan/CDO=［得tanN鳏'=1,进而得出0E=5,即可得出答案.

22

【详解】设0（t,；t+2）,过点尸作ABIx轴，过点。作AQ_LAB交于A点，过点。作Q：B_LAB交于8

点，

0ZW=90°,^AQPA+AQ'PB=90°.

^AQPA+NAQP=90°,0/Q'PB=AAQP.

^QP=Q'P,0APQ^iBQ'P(AAS),^QA=PB,AP=Q'B.

团P(—1,0)，回04=一方-1,AP=-t+2,团0'(—!方一3"+1),

22

令x———t—3jy=，+l,回y=-2x—5,

团点。在直线y=-2x-5上运动，当±廊时，OQ'的值最小.

在〉=工彳+2中，令x=O,贝l]y=2,令y=O,则％=^,0C(O,2),D(-4,O),0tanZC£>(9=-.

22

^ACDO=AOEQ',Eltan/OEQ'=：,^Q'E=2。。'，

在y=-2x-5中，令x=0,贝!Jy=-5,回£(0,—5),0OE=5.

EK。。）+{EQ'）2=0E2,即5（。。）=25,解得00，=&,所以。。的最小值为君.故答案为：75.

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点0的运

动轨迹是解题的关键.

例6.（2022•河南南阳•二模）如图所示，AB=4,BC=8,ABSBC于点8,点。是线段BC上一个动

3

点，且石于点。，tmZDAE=~,连接CE,则CE长的最小值是.

_________:

【详解】解：在3c上截取，则，中，，■

0，回在中，，|

F1后,

【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键.

aBC=12,回。8==13,0B£=gB-QE=8,故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定£点运动的规律，从而把问题转化为

____________________|

^\DAF+WAF=^DAB=90°,同4。丸+同。4幻

匝。34=90。回点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB,OG,如图:

在R/EL4O8中，回。48=90°回。8=

团当且公当。，G,8三点共线时8G取得最小值.

【详解】如图所示，回边长为6的等边

又回0,

:即故答案为:

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识.关I

A/

\\0

E\7B

D

【答案】##

【分析】连接AC,以BE为直径作，先证明点G在上，连接AM,当AM于交于点G时,

时AG最短，再求得8E=AE=,CE=AE=1,则8E=1,得至UCM=C

0AC=AB=,SBE=AE=,CE=AE=1,

SCM=CE+ME=2,

EL4Af=,BAG=AM—MG=,I

【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，作辅助圆是解题的关键.

【答案】

【点睛】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，求出CF的长是本题的关键.

____I

■

【详解】解：如下图所示，连接8。，作点C关于8。的对称点N,以点。为圆心，以DC为半径作，

,，，，ZM/EIAB于回EL4MD=EIACB,.]

5匹面积的最小值为.故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，三角形面积公式，综合应用

PG=3,所以当GQ最大时PQ最大，由题意可得当P、A重合时GQ最大，据此即可求出PQ的最大值；|

由题总知：当点P、A重合时，EP最大,此时EP=2,则t=l,；.PQ的最大值=；

VFQ/7PE,.,.△FQM^AEPM,/.,

•；/BHM=/BEM=90。，；.B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O,二

；.NO=2,CN=1,，DN=3,则在RtADON中，,*

：.DH的最小归DO-OH=.故咨案为：,

识，涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知I

B

E/‘

__:

【分析】连接BE交ED于点0,设E「与AC交于点G.根据菱形的性质可得点「在IM8C的平分线上运|

力从而—J长最小.再证明回8£。回物尸,可证明^^^

WGEiamcB,，从而得到G尸=1,再山勾股定理，即可求解.

HAFSBF,ffl£F=2.5,SEF^BC,EBAGEEEACB,

,⑦GF=EF-EG=1,

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角

y八

【答案］##

【详解】解：如图，把^从。？绕点4顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点。的对应点为点C,直线C,

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质,

【分析】根据三角形斜边中线的性质求得，，由当C、M、N在同一直线」

中，，，，田

0，点M,N分别是DE,AB的中点，团

当C,M,N三点在同一条直线上时，MN取最小值,

【点睛】本题考查了三角形三边关系，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、

【答案】

延长与AB交于点尸，作团E/E于点E2，连接CF,

3,HHAC/9HHE/CE,fflC?\D=EIC£/E=30°,

HBF=BE2,S1BE2=,故答案为：|

[.■•,■♦].'

回团CD尸是定值，回点G在射线BG上运动，且S龙C8G=Sw!3C£）F==,

此时3回EBG=,设EG=m,则BG=3m,

>/=（负根已经舍弃），回EG的最小值为，故答案为.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等|

_____I

【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明

【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点

在射线上运动，则：等腰直角三角形,

与点重合时，取得最小值，等于

即的最小值为故答案为:

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键.

段；利用特殊位置，斜边为AC、BC的情形，确定点。的运用路径是线段，利用垂线段最短，作出垂线.

【详解】4B=5,BC=3,AC=A,

R/fflPQC的外心就是斜边的中点，设AC、BC的中点分别是M、N,

BQ的最小值为点8到的乖线段的长度，过点2作，垂足为£,

三角形AQC,三角形802c均为等腰直角三角形，AC=4,BC=3,

,即解得,故答案为:

【分析】连书运动到■

,

^

,故答案为.

【点睛】本题考查了计算线段最值的问题，根据题意，找准为动点的运动轨迹，当运动到时,

【答案】2,

垂直平分线上，证得点E,尸运动过程中，点G经过的路线是a48c的中位线，根据三角形中位线定理求［

得结果.■

在财。E和回8。尸中，,^SiADESEBDF(SAS),0DE=DF,SADE^BDF,

IG为EF的中点，回，回点G在8。的垂直平分线上,

在点瓦尸运动过程中，点G经过的路线是的中位线，如图,

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判断和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，三

【答案】B-

C。的中点为。/,连接EO/,则,回点E的运动轨迹在以点。为圆心，E。/为半径的圆

I上，

/为。中点，0,,，回，

0，团，即，解得：.故选：B

【点睛】本题考查动点问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出当。八E、A三点|

____________________|

比0是中点，EOM=BM=1,HEfBBG,0,

团Rt团BHM是等腰直角三角形，E1MH=BH=,AH=,

^AG>AM-MG=,当A,M,G三点共线时，AG最小=,故选：D.

是求出AM,MG的值.HW^-Mi

一」

【分析】在中，，易得，故点尸在的外接圆的弧BC上，当

而为AP的中点，0DE=AP,回当4P最小时，£>E最小.

是等边三角形，BE1+回PBC=60。,

回1=回2,回团2+ElP8C=60。，EEBPC=180°-(E12+PBC)=120。，

0PF=FCtanl3PFC=3x=,AF===3,

【分析】根据平行四边形的性质可知点在平行的线段上运动，当时，最小，根据勾|

_______

__________________)

_______________________________

即最小值为.故答案为:

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键.

【点睛】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的性质等知识点，正确添加常用辅助I

【分析】先根据抛物线解析式求出点A、而得出，再根据勾股定・

在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾|

____-___________.

I

由沿折叠所得，在以为圆心，为半径的圆弧上运动,

当，，在同一直线上时，最小,

【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据

【答案】B,

__r

【详解】解：连接8凡则E—F—BE,当点B、E、尸在同一条直线上时，EF的长度有最小值，如图.

由翻折的性质，BE=AB=4,在正方形ABCD中，BC=CD=4,fflC=90",

点、F为边的中点，0CF=2,E，回：故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键掌握所学的知

识，正确找出线段最小值的临界点，从而进行解题.

【答案】0

【分析】延长尸尸交A2于M,当FPEAB时，点P到A3的距离最小,