2024年中考数学复习：有理数的概念复习讲义

有理数的概念复习讲义

一、正数和负数

在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习

中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4。。和零上6℃，收入20元和支出30元，向东30米和

向西100米等等.这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数：

L用正负数表示相反意义的量：

我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给

数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数.

【例】以上几个例子分别记为：-4℃和+6℃,+20元和-20元,+30米和-100米.

2.正数:像30、+6、兀这样的数叫做正数，正数都大于零；

3.负数：在正数前面加上“「号的数叫做负数，比如：-20、-3.14、-0.001,-辛

【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“-”号一定不能省略；

②数0既不是正数也不是负数.

二、有理数的概念及分类

1.有理数：整数与分数统称为有理数.

2.有理数的分类：

⑴有理数按性质分类：

‘正整数

自然数

整数零

有理数负整数

,正分数

分数＜

负分数

⑵有理数按符号分类

正整数

正有理数

正分数

有理数零（既不是正数，也不是负数）

'负整数

负有理数＜

.负分数

⑶小数的分类

有限小数）

小数无限循环小数卜----可化成分数，是有理数

1无限小数［f'

［无限不循环小数——不可化成分数，是无理数

【注】注意以下几个概念的区分：

非负数：正数和零；非正数：负数和零；

非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；

非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零.

三、数轴

1.数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线.

【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素；

①原点：表示数。的点；

②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向；

③单位长度：人为规定的代表T的线段的长度.

2.数轴的画法

(1)画一条水平直线；

(2)在这条直线上取一点作为原点；

(3)一般用箭头表示正方向；

(4)选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方.

［例］一个标准的数轴：一士一力—012—>

【注】画数轴的常见错误：

①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度；

②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；

③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱.

一些错误的数轴示例：

错误类型错误示例

11

三要素缺失-101

62,123

」1__1»

单位长度不统一012-201-101

111

110-1

方向不统一10-1

1

201

3.数轴与有理数的关系

①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；

但数轴上的点不一定代表有理数，比如71.

②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；

③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数.

4.数轴与数学思想

①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系；

②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零.

四、相反数&倒数

L相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反

数特别地，0的相反数是0.

【例】+5与-5互为相反数;-5是+5的相反数；

【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“-5是相反数”是错误的.

2.相反数的性质：

(1)代数性质:若a与b互为相反数，则a+b=0;反之，若a+b=0,则a与b互为相反数.

(2)几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于

原点对称的.

3.倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数.

【例】2与*-3与一］一?与一*

N5o5

4.负倒数：乘积为-1的两个有理数互为负倒数.

【例】2与-%-3与"衿*

【注】①0没有倒数，也没有负倒数；

②倒数是它的本身的数1或-L

五、绝对值

L绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

2.绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；。的绝对值是0.

'a(a>0)

|a|—'0(a=0)

、一a(a<0)

3.绝对值的性质：

⑴非负性：*0；

⑵双解性:若|a|=|b|,则a=b或a=-b.

【注】如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.例如，若|a|+|b|+|c|=0,则a=0,6=0,c=0.

模块一正数和负数

例题1

(1)仔细思考以下各对量：

①胜二局与负三局；②气温为-3丁与气温升高30。(7;

③盈利5万元与亏损5万元；④增加10%与减少20%.

其中具有相反意义的量有()

A.1对B.2对C.3对D.4对

⑵①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋

战国时期可表示为.

②如果80m表示向东走80m,那么-60m表示.

③A,B两地海拔高度分别是120米,-10米，则B地比A地低一米.

(3)饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600±30(mD”字样，请问“600±30(ml)”是什么含义？质检局对

该产品抽查5瓶，容量分别为603ml,611ml,589ml,573ml,627ml，问抽查产品的容量是否合格？

【解析】⑴C;［①③④具有相反意义］;

⑵①-500年,②向西走60m,③130;

(3)“600±30(ml)”表示每瓶饮料容量最小可以是(600-30)ml,最大可以是(600+30)ml抽出的5瓶容量均在(600-30)ml

与(600+30)ml之间,因此合格.

【提示】通过这道例题反复强调，正数和负数可以表示相反意义的量.

模块二有理数的概念及分类

例题2

⑴下列说法错误的是()

A.0既不是正数也不是负数B.正整数和负整数统称整数

C.整数和分数统称有理数D.正有理数包括正整数和正分数

⑵把下列各数分别填在所属分类里：

22RRR

一5,0,—3.14,32,—2.4,丝，-5.5,2.8,—三，3,14159,2003

77114

①正数:{};

②负数:{};

③非负整数:{);

④分数:{};

⑤非正有理数:{};

模块三数轴

例题3

⑴下面图形是数轴的是()

“I」」」[_____111___________1I|1I»1111111A

-2-1012123-2-1012-1-2-30123

A.B.C.D.

(2)如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为—.

(3)已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数

A

--------------------11--------------------------->

是一一3---------------O

(4)在数轴上标出下列各数：0,-4.2,3义,-2,+7,并用连接.

IIIIIII1IIIIII1>

-7-6-5-4-3-2-10I234567

【解析】(DC；

(2)-1,0,1,2;

(3)-1或—5;

(4)图略,-4.2<-2<0<11<3|<+7.

【提示】主要考查数轴的基础：(1)数轴三要素：原点，单位长度和正方向；(2)在数轴上表示数，右边的数大于左

边的数另外，第一次接触分类讨论，需要仔细引导.

例题4

(1)一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数

是____-

(2)一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起

始位置所表示的数是—.

(3)数轴上的点A对应的数是-1,一只蚂蚁从A点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B点后，

用2秒的时间吃光了B点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长

度?B点与A点的距离是多少个单位长度?B点对应的数是多少？

【解析】(D-4AB

(2)6或2;*1012345*

(3)蚂蚁6s共爬行(6-2)x3=12个单位长度；B点到A点的距离为12+2=6个单位长度；所以B点对应的数是5.

【提示】总结：数轴上点的移动，点代表的数左减右加.

模块四相反数&倒数

例题5

(1)-2017的相反数是__,2017与____互为相反数.

(2)已知有理数a、b在数轴上表示如图，则a、b、-a、-b的大小，正确的是()

III

A.—a<—b<a<bB.a<—b<b<—a1°b

C.—b<a<—a<bD.a<b<—b<—a

⑶下列说法正确的是()

A.一个数的相反数一定是负数B.兀和.-3.14互为相反数

C.所有的有理数都有相反数D.13和31互为相反数

【解析】⑴2017,-2017;(2)C;⑶C.

【提示】主要考查相反数的基本性质，建立数形结合的思想.

例题6

我们可以用字母表示数，比如a、b都能代表一个数，在一个数的前面添上号，就得到这个数的相反数.

(1)5的相反数是—:扣勺相反数是_,0的相反数是_,数a的相反数是一：

(2)-5的相反数是—用勺相反数是_____-4的相反数是一；数-a的相反数是一；

⑶-(-2)的相反数是—;+(-5)的相反数是—，数-(+a)的相反数是一，数-(-a)的相反数是—;-(-a-b)与—互为相

反数

【解析】(1)0,-a;(2)51,4,a;(3)-2,5,a,-a,-a-b.

【提示】总结相反数的求法，可以结合数轴：先化简，再求相反数.

例题7

如果a<0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数

@-(+a)；②-(-a);③-[+(-a)];

@-{+[-(-a)]};®-{-{-{-{-{+[-(-a)]}}}}}

【解析】①-(+a)=-a,正数;@-(-a)=a,负数;③-[+(-a)]=a,负数;④-a,正数;⑤-{+[-(-a)]}=-a,正数；⑥-{-{-{-{-{+[-(-a)]}}}}}=-a,正

数.

【提示】总结：字母前面的符号“奇负偶正”.

例题8

(1)-2017的倒数是___,2017与____互为负倒数.

⑵一个数的倒数等于它本身，这个数是一;一个数的倒数等于它的相反数，则这个数.

(3)已知a、b为有理数，在数轴上如图所示，则()

1y111

A4.-<1<-叼</1

ab-1a01h

1111

(?.-<-<1D.l<-<-

baba

【解析】(1)—2;—焉;(2)1或-1,不存在;(2)B.

模块五绝对值

例题9

(1)-2017的绝对值是.+20171的相反数是.卜2017|与___互为倒数.

(2)①绝对值不大于3的整数有—；

②绝对值大于2而小于5的负整数是—.

⑶①若m、n满足||m-2|+|n-3|=。,,贝！|mn的值等于___;

②|x|=-|y-7|,则xy=.

(4)已知|a|=5,|b|=2,贝!!|a-b由勺值是____.

【解析】(1)2017,2017,嘉；

⑵①0,±1,±2,±3;②-4,-3;

⑶6,0;

(4)3或7.

【提示】⑵可结合数轴讲解，(3)绝对值的非负性，(4)分类讨论.

例题10

(1)下列说法正确的个数()

①-(-a)表示正数；②|a|一定是正数，-|a|一定是负数；③绝对值等于本身的数只有两个，是。和1；④如果|a|>|b|,则

a>b.

A.0个B.1个C.2个D.3个

(2)若x表示有理数，则+x|一定是()

A.正数B.负数C.非正数D.非负数

⑶下列说法正确的是()

A.若a表示有理数，则-a表示非正数B.和为零的两数互为相反数

C一个数的绝对值必是正数D.若|a|>|b|,则a<b<0

【解析】⑴A;⑵C;⑶B.

【提示】综合考查相反数，绝对值和倒数的概念，主要是代数感的建立.

复习巩固

演练1

(1)如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作.

⑵在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22,那么小东跳出了3.85米，记

作.

(3)把下列各数填入表示它所在的大括号：

-2.4,3,2.008,-0,-(-2),3.14,-|-4|.

a4

正有理数:{}

非负整数:{)

负分数:{}

【解析】(1)-6吨：

(2)-0.15;

(3)正有理数:3,2.008,1-(-2),3.14;

非负整数：3,0,-(-2);

负分数：-2.4,-三,-0.18.

演练2

(1)下列说法正确的是()

A.在有理数中，零的意义仅仅表示没有

B.正有理数和负有理数组成全体有理数

C.0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数

D.零既不是正数，也不是负数

(2)下列说法不正确的是()

A.绝对值等于本身的数是非负数

B.倒数等于本身的数有2个

C.有理数可分为整数和分数

D.两个负数比较大小，绝对值越大的数越大

【解析】(DD;

⑵D.

演练3

⑴如图，表示数轴正确的是（）

111II11II11

-2-1012-1-20123

A.B.

III■I

-2-1012