第4讲-角平分线八年级数学下册同步讲义(北师大版)

第4讲角平分线目标导航目标导航1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3.熟练运用角的平分线的性质解决问题．知识精讲知识精讲知识点01角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

【知识拓展1】（2021春•漳州期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点【即学即练1】（2021秋•黔西南州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【即学即练2】（2020秋•芝罘区期末）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③【知识拓展2】（2021秋•盐池县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是．【即学即练1】（2021秋•朝阳期中）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点．PE⊥BC于E点，则PE的长是．【即学即练2】（2021秋•东莞市期中）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为cm2．【即学即练3】（2021秋•千山区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于．【知识拓展3】（2021秋•抚顺县期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．【即学即练1】（2019秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【即学即练2】（2021秋•龙门县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝50°．（1）求∠AEC的度数．（2）DE＝2，AC＝6，求△ACE的面积．【即学即练3】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．【即学即练4】如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．知识点02角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

【知识拓展1】已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.

【即学即练1】如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．知识点03角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.射线OC即为所求.【知识拓展1】（2021春•济宁期末）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．知识点04轨迹把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆.【知识拓展1】过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是________.能力拓展能力拓展类型一、角的平分线的性质及判定1、（新洲区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．2.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.3.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（）A.11B.5.5C.7D.3.54.如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．类型二、角的平分线的性质综合应用1.如图，P为△ABC的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC.2.如图，已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分线交CD于点E，且点E是CD的中点.问：（1）点E在∠ABC的平分线上吗？（2）AD+BC与AB的大小关系怎样？请证明.类型三、点的轨迹1.到直线的距离等于2的点的轨迹是（）A．半径为2的圆B．与平行且到的距离等于2的一条直线C．与平行且到的距离等于2的两条直线D．与垂直的一条直线分层提分分层提分题组A基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2021春•威宁县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC交边BC于D点．若CD＝3，则△ABD的面积为（）A．15 B．30 C．10 D．202．（2021春•铁西区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝2，则DE的长为（）A．3 B． C．2 D．63．（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（2021秋•黔西南州期中）如图，在△ABC中，AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且ID⊥BC，垂足为D．若△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（）A．27 B．30 C．24 D．185．（2021秋•徐闻县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（）A．2 B．4 C．6 D．86．（2021秋•铁东区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝3cm，则PD的长为（）A．大于等于3cm B．大于3cm C．小于等于3cm D．小于3cm二．填空题（共6小题）7．（2021春•丹东期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝9cm．则点D到AB的距离为．8．（2021•福建）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是．9．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为．10．（2021秋•越秀区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，已知AC＝3，BC＝4，AB＝5，则CD的长为．11．（2021•鞍山二模）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝2，则△ABC的面积为．12．（2021春•大埔县期末）如图，△ABC中，AB＝5cm，AC＝12cm，BC＝13cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为cm．三．解答题（共4小题）13．（2018秋•白云区期末）如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）14．（2020秋•金乡县期中）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．15．（2019秋•武清区期中）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．题组B能力提升练一．选择题（共3小题）1．（2020秋•花都区期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．32．（2020秋•中山市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．4 B．6 C．3 D．123．（2021秋•铁西区期中）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共3小题）4．（2021春•威宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝4cm，则D到AB的距离是cm．5．（2021春•织金县期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30，40，50，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝．6．（2021春•株洲期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是．三．解答题（共3小题）7．（2021•章丘区模拟）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．8．（2021秋•东莞市期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC．9．（2020秋•费县期末）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．题组C培优拔尖练一．选择题（共1小题）1．（2020春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54° B．50° C．48° D．46°二．填空题（共1小题）2．（2021秋•高邮市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为．三．解答题（共4小题）3．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．4．（2020秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．5．（2020秋•朝