2024年湖南省长沙市中考三模数学试题（原卷版）

2024年湖南省长沙市中考数学三模冲刺训练试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.2024的倒数是（）A. B.2024 C. D.2.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列运算正确的是（）A. B. C. D.4.从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中概率是（）A. B. C. D.5.某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（）A.18，18 B.9，9 C.9，10 D.18，96.如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为()A. B. C. D.7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A B.C. D.8.如图．AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（）A.130° B.124° C.114° D.100°9.如图，点在双曲线（，k是常数）位于第一象限的图象上，轴，B为垂足，，则k的值是（）A.1 B.2 C.4 D.810.如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（）A.9 B.12 C.15 D.18二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.因式分解：=______．12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____．13.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．14.如图，已知的直径为10，弦，于点E，则的值为___________．15.如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝_____．16.如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为______．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：．18.先化简，再求值：，其中．19.如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，．当AB，BC转动到，时，求点C到直线AE距离．（精确到0．1cm，参考数据：，，）20.某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了________名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；③扇形统计图中圆心角________度；（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；（3）刘老师计划从E组（人工智能）甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．21.如图，在平行四边形中，分别平分、，分别交、于点E、F．（1）求证：；（2）若，，求四边形的面积．22.某商场计划购进、两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：类型/价格进价（元/盏）售价（元/盏）型6090型80120（1）若商场预计进货款为6500元，则这两种台灯各购进多少盏？（2）若商场规定型台灯的进货数量不超过型台灯数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？23.如图，AB是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．（1）求证：为的切线；（2）延长与AB的延长线交于点D，求证：；（3）若，求阴影部分面积．24.【问题发现】（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为；【拓展延伸】（2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；【归纳应用】（3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长．25.如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．（1）请直接写出点，，的坐标；（2