数学分析 第二版 复旦大学数学系 陈传璋等著 课后习题答案

学习必备-----欢迎下载第二部分单变量积分学第六章不定积分2.求下列不定积分；解；学习必备-----欢迎下载学习必备-----欢迎不载学习必备-----欢迎下载2.求下列不定积分；于是2I=r√z²-a²-a²In|z+√ir²-a²|+C₁,③学习必备-----欢迎下载4.求下列不定积分；学习必备-----欢迎下载因因故5.求下列不定积分；学习必备-----欢迎不载于学习必备-----欢迎下载学习必备-----欢迎下载学习必备-----欢迎下载,于学习必备-----欢迎下载第七章定积分利用定积分的定义计算积分：于学习必备-----欢迎下载§2定积分存在的条件解上≤学习必备-----欢迎下载学习必备-----欢迎下载学习必备-----欢迎下载θ₂≤xi(i=1,2,…,n),△rz=Ti—Ti-1(co=a,Tn=b).学习必备-----欢迎下载1.计算下列定积分；学习必备-----欢迎下载(20)令x2.计算下列积分；于在后积分中，令x=π-y则于(5)令x=acos学习必备-----欢迎下载则证明；于于即EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up24(于),ʃ)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up24(是),f)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up24(sm),m)学习必备-----欢迎下载处,且在极大点的左右两边各承受总载荷的半.,,联立方程12.求极限：因;则则.1.于是.从面=²344.学习必备-----欢迎下载0第八章定积分的应用和近似计算1.求由下列各曲线所国成的图形面积：即学习必备-----欢迎下载学习必备-----欢迎下载1.所求弧长学习必备-----欢迎下载83体积(3)x=asin³t,y=bcos³学习必备-----欢迎下载(5)x=a(t-sint),y=a(1(ii)利用对称性，只需将上式答案中a,b时调，即得3.证明把面积0≤α≤θ≤β≤π,0≤刚整个由边扇形绕极轴陀转得EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up2(物),op)以学习必备-----欢迎下载所求的宅转体又V₁=V₂-5.把由绕x轴姹转得一舵转体，它在点x=0'jx=ξ之间的体积记作V(ξ),求a等于何值时，能又a>0.故a=1.于棉球体体积的一半，决定钻空的半径p(图8-15).解：设圈中利下的环形体体积为V.椭球体体积为V₁由愿意，得胖比方程，得p=b√1-2-3学习必备-----欢迎下载(4)宅轮线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π)(5)双纽线r²=2a²cos20曲(ii)x=√2aVcos20cos0,y=√2aVcos学习必备-----欢迎下载从面柱由面积为：学习必备-----欢迎下载(2)以A(0,0),B(0,1),C(2,1),D(2,0)为顾点的矩形周界，由线上任点的密度等于该点到原点距离的二(1)以原点为岗心，弧半经的起始边所在直线为x铂建立直角坐标系，则圆瓶方程为x=acosα,y=(2)先求出密度函数.其上任点的密度为AB其上任点的密度为p=2yBC的p=2p=2x学习必备-----欢迎下载学习必备-----欢迎下载解；半波整流时，消耗在R上的平均功字为：全波整流时，消耗在R上的平均功率为：2.计算交流电生u=UmCoswtt在的平均值为：内的平均值为：在在的平均值为：内的平均值为：3.求下列函数在给定区同内的平均值：4.把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比.4.把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比.已知少功?克.厘米)=5J5.修建大桥桥敏时要光下围图设网柱形围图的直径为20采，水深27米，围图高出水面3米，要把水抽尽，计算克服重力所作的功6.某水库的用门是一梯形。上底6米，下底2米，高10米，求水灌病时用门所受的力设水的比重为1吨/米27.物体按现律x=ct³(c>0)作直线运动。x表示在时间内物体移动的距离，设介质的阻力与速度平方成正比.求物体从x=0到x=a时阻力所作的功解：因x=ct³(c>0),故v=x′=3ct²学习必备-----欢迎下载1.用物物线形公式求的近似值(取n=3).,可得：2.求某翼型的面积真型如图8-24所示，x油是它的对称轴，OAK2米，10等分，测得数据如下(单位：厘米);X0y003.在宽为20米的河面上，测量河流模碱由的由积如果从河的一岸向对岸每隔2米，测得河水深度如下表所列：T02468y(本深)学习必备-----欢迎下载第三篇级数论第一部分数项级数和广义积分§1.预备知识：上极限和下极限1.证明：有m+<+于是，0n>,有m+<+fm+h>if+ifn证明；学习必备-----欢迎下载证四；设4.求下列数列的上极限与下极限：)),■,■此处ko是任意固定的整数.时学习必备-----欢迎下载于是得此结论正确.(2)若,结论未必成章,,1.讨论下列级数的放放性：故由数列级数性质2,知(5)因故级数发散.2.利用柯西收敏原理判别下列级数是收效还是发放.(1)ao+a₁q+a₂q²+…+amq+…,|q|<从而对Ve>0学习必备-----欢迎下载4.确定使下列级数收放的x的范围.从而收放域为x<-2或x>0.学习必备-----欢迎下载解,其中an→a,an,b,a正数，a≠0故级数敏.学习必备-----欢迎下载则由比较判别法，得级数(9)因且级(10)因且级数收敛,级数散；证阴；因放，则学习必备-----欢迎下载从而由比较判别法，得收效.一其道不真.例：收放，散；放，放.一3.设为两正项级数证明：当收敛时，也收敛.又若发散时，何?若邦2和的敛散性之同有什么关系?(1)因为两正项级数一取Eo=1,则存在正整数N,当n>N时，1即0收放，则由比较判别法，得收效一散，则可能收效，也可能发散发散，且发放.物4.若两正项级发散，欲散性不定.5.利用级数收敏的必要条件证明：证M;学习必备-----欢迎下载 6.讨论下列级数的收放性：都是非负逐减的，且当n≤3时是正值遏减函数.o时，积分发散；当p=1时，若g>1.积分收敛，若q≤1积分发散，学习必备-----欢迎下载又因u2n+1≤u2n,Un≥0,则0≤(2n+1)u8.证明达明贝尔判别法及其极限形式.由上极限的定理1的证明中，知只有有限项大于ī+Eo,于是定存在个正整数N(只要取级数收效.但学习必备-----欢迎下载1.讨论下列级数的收敏性(包括条件收放或绝对收敛):(1)因(1)因.收放，从而原级数绝对收放.发散发散于是原级数发散.则由达明贝尔判别法的极限形式，得级数收放又3),则(x≥3),于单调下降，从而n≥3付单调下降条件收效.则据达明贝尔判别法，得收放发散收放 发散，发散N时，与x有相同的符号H随n增大面减小到0,则山菜布尼兹判别法，得放2.证明；若级数的项加括号后收效，并且在同一个括号内项的符号相同，那末去捽括号后，此级数亦收放；并由此考察级数(1)已知新级在同一括号内的符当原级数的下标nnk-1到nz时，部分和单调变化，即收款，即则当k放，从而原级数收敏.3.讨论下列级数是否绝对收欲成条件收欲：则由菜布尼兹判别法知则由比较判别法，发放N时，有n+x>0.干是是交错级数，且由单调减少收放，从则当x不为负整数时，比级数为条件收放.(2)因,H则由达朗贝尔判别法，得收敏再据比较判别法，得敛，从由对收敛.则由状立克菜判别法，得效.及数列单则由狄立克菜判别法，收放.发散，从面发散(4)(i)当p>1时，因台对收效.则由狄立克菜判别法，得放.学习必备-----欢迎下载收放时条件收敛时条件收敛上,则级数4.若级数收放，并H趣能否断也收放?(1)若级数(2)若级数都是正项级数收放.则据正项级数比较判别法，得级数收放收放.定都是正项级数由级数收就，不可断收效例；级数为菜布尼兹型级一收放.一收放.又级数收效，则其部分和数列有极限，设其极限为S7.若绝对收收，收能，那末收敛.证明；令由Abel变换，得收放，因而存在M>0-使有有8.利用柯西收敛原理证明交错级数的菜布尼兹定理.从面由柯西收敛原理，得收敏.学习必备-----欢迎下载绝对收放(6)绝对收敏(7)证四；因对据达阴贝尔判别法的极限形式，得级数收效证四；因绝对收敛3.证明：可以作出条件收敏级数的更序级数，使其发散到+0.证四；设条件收放由定性1,得和都发散，且发散到发散到-0选取发放到+0的数列{βn}即然后取m₂,使v₁+v₂+·+vm₁+Um1+1+·+Um₂>β₂+w₁+w₂股地，可取充分大的mk>mk-1,使得v₁+v₂+…+vm₁+…+vm₂+…+0mz>βk+w₁+w₂+…+wk(k=这样交语地放入一组正项和一个负项：(v₁+…+Um₁-wi)+(vm₁+1+…+Um₂-w₂)此级数显然为原级数的更序级数(v1+…+Um₁-wi)+(vm₁+1+…+Vm₂-w₂)+…+(vmk学习必备-----欢迎下载1.讨论无行乘积的收放性：(1)因,n≥3H从面据定理2,得效.收敛，从而无了乘移(3)由于部分乘故无行乘积2.证明；若证四；因于是据定性2,得n收敛.由绝对收放第十章广义积分1.求下列广义积分的值；2.讨论下列积分的收放性：为正常积分，则其必收放(2)因收放则由比较判别法的极限形式，得收放.学习必备-----欢迎下载(ii)当n-m≤1Hx≥13.证明绝对收放的广义积分必收放，但反之不监.印印则7A(2)积分同理，内正常积分，用必收敏对收放对收放05I9)--其中7.对无疗限广义积分，讨论平方可积和和其中学习必备-----欢迎下载效绝对可积本平方可积8.讨论下列积分的绝对收效性及条件收放性：, 单,(2)(i)当λ效，从面绝对收放证明，可知发散，从面dr条件收敏发散则当λ≤0时，发散综合知，λ>1时，λ<0时，x够大时，随x→+α而单调下降趋于0x则据状立克菜判别法，原积分收效散17时，积分绝对收效.正常积分，则必收放，于正常积分，则必收放，于收效学习必备-----欢迎下载学习必备-----欢迎下载收敛于-1.则据柯丙判别法，得对收敢.则据柯西判别法，得对收敏；则x=1不是奇点，于是比积分只有个奇点0则=0(见书上册231页1.(16))收效.发散dx发散.学习必备-----欢迎下载则由法的极限形式，得当1-b<1即b>0时积分收放；当1-b≥1即b≤0时，积分发散；综上所述，当a>0Eb>0时，dx收敞，其余情形积分均发散.对对则由柯内判别法的校限形式，得当-b<综上所述，得当a>0Hb>-1时，积x收放，其余情形积分均发散.3.证明无界函数广义积分的柯西判别法及其极限形式.(1)柯西判别法：学习必备-----欢迎下载0Hε→0时)则对Vk>E>0存在δ>0,使当a<T<a+δ时，有0<k-ε<(x-a)P|f(x)|<k+ex发散综上，得若0≤综上，得若0≤k<+α,p<1.那末对收敏；若0那4.讨论下列积分的收放性：对积分对积分同此证法，同此证法，因x≥3时，绝对收放则由比较判综上可知,则当α>1时，0为奇点当α≤1时，x为正常积分，故必收效则当α-λ>0甲α>λ>1时从而当1<α<2付，x绝对收效dx都发放.若p≤0,则为正常积分，收效dx发放；故积分对积分设max(p,q)=9则积分(4)当0<α≤1时，则0为奇点则0为奇点对则由柯西判别法的极限形式，得α-1<1即α<2时积分收放；当α≥2时，积分发散因因则由比较判别法，得当o则由比较判别法，得当o总之，当1<α<2时，其余情形此积分均发散.总之，当1<α<2时，考考由学习必备-----欢迎下载从而积收放。..6.讨论下列积分的绝对收效和条件收放性：则当q-p>1即q>p+1时,于是由比较判别焰对收放 2件收敏.则由柯西判别法的极限形式，得当λ-1<1即λ<2时，收败，则收败，则又又学习必备-----欢迎下载从而当1<λ<2时;,则11对I₁,由I₂的结论，得当2-n>1即n<1时绝对收欲：当1≥2-n>011≤n<2时条件收敛学习必备-----欢迎下载于是由比较判别法，得|f(x)可积即平方可积定绝对可积.反之不然.例：由57页例1.得敛即焰对收敛但发散，即在[1,2]上不可积.9.计算下列积分的柯西主值：10.证明广义积分及柯西主值之间的关系：(1)若放，其值为A.则柯西主值存在，且等于A-但反之不然；(2)若f(x)≥0.P.Vx存在，其值为A.则收敛，且收故于A.则在，且等于A这表明P.V旨在，且等于A但反之不然.(2)用反证法.若不然，则由于得x和4至少有一为x于是中当A→+α时至少有一箱于+0-而另一个大于等于0-从而它们的和学习必备-----欢迎下载第十一章函数项级数、幂级数学习必备-----欢迎下载(3)当-(4)因O≤(1-n²|z|)²=1-2n²|z|+n⁴x²,则2n²|z|≤1+n⁴x²学习必备-----欢迎下载证明：定义1=定义2立事于定事于定学习必备-----欢迎下载学习必备-----欢迎下载8.证明；政收放.(1)fn(x)=(sinx)”,i学习必备-----欢迎下载n则由定义2.n则由定义2.致收放于0.在[0,1-e]致收放于0.在[0,1-e]上在(1-e,1+e)不致收敏.(ii)当1+ε≤x<+o从而由定义2.从而由定义2.11.证明在(0,+o)内连续.则由达明贝尔判别法的极限形式，得级于则由达明贝尔判别法的极限形式，得级于在xo在xoH在(-o,+o)H在(-o,+o)又在(-0,+o)又致收放在(-0o,+)致收放又又学习必备-----欢迎下载在1<x<+α上连续放学习必备-----欢迎下载分，得16.用有限度盖定理证明状尼定旺.1.求下列各幂级数的收敏区间：则其收放域为(-0,+o).重由十于是其收效区间重当r=-1时，原级数且则单调减少则据正项级数的比较判别法及级数发散.得级数发散则此级数的收放域为(-1,1).因■。刚其收效半径为■时，原级数由洛必适法则，得≠0则级发放，于是原级数的收敛域为对收效则收敛则级数收放半径为时，原级数变发散发散，则级发散则级数n的收放域为则级数时，原级数变则据运明贝尔判别法，得收效，则当同法可得，时，原级数发放2.求级数的收敛半径学习必备-----欢迎下载①于是其收放半径(2)∑(an+bn)z”Va+b≤Vol+1b<V2m×(aJIB.5)=v2.√max(|an,bnl)=V2max(V|anl,√|bnl)EQ\*jc3\*hps94\o\al(\s\up3(<e),的收败半)径为Q5.证明不级数的性质1和性质2.证明；性质1.设x为(ro-R,xo+R)内任点。总可以选取0<r<R.使得|x-ro|≤r性质2.收放于B,6.设收放于B,6.设收就，则一定收放于即零级即零级7.时收效，那末当时是否收败B8.利用上愿证明9.的麦克劳林及数，说明它的麦克劳林级数并不表示这个函数.证明；因(-α,+0)),H收敛，则由M判别法，得学习必备-----欢迎下载数②则知对任x,不级数