人教版七年级数学下册实数《平方根（第4课时）》示范教学设计

平方根（第4课时）教学目标1．理解算术平方根的概念，掌握算术平方根的非负性，并能解决相关问题．2．理解平方根的概念，能够区分它与算术平方根的不同之处，能运用平方根进行计算求值．教学重点算术平方根与平方根的应用．教学难点算术平方根与平方根的应用．教学过程新课导入本节我们学习了算术平方根和平方根，并通过开平方认识了不同于有理数的无限不循环小数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算．本课时，主要对前面所学的内容进行复习巩固，进一步提高同学们对算术平方根和平方根问题的解决能力．新知探究类型一、算术平方根的概念【例1】的算术平方根是（）．A．±3 B．3 C．－3 D．【师生活动】学生作答，教师给出正确答案和解析．【答案】D【解析】∵＝3，∴的算术平方根是．【归纳】算术平方根的性质：（1）正数的算术平方根是一个正数；（2）0的算术平方根是0；（3）负数没有算术平方根；（4）被开方数越大，对应的算术平方根也越大．【设计意图】通过解答本题，让学生回顾算术平方根的相关概念与性质．【跟踪训练1】下列说法正确的是（）．A．－5是25的平方根 B．±4是16的算术平方根C．2是－4的算术平方根 D．1的平方根是它本身【答案】A【解析】选项A：－5是25的平方根，故该项符合题意；选项B：4是16的算术平方根，故该项不符合题意；选项C：2是4的算术平方根，故该项不符合题意；选项D：1的平方根是±1，故该项不符合题意．类型二、利用算术平方根的非负性解题【例2】若x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）．A．9 B．12 C．15 D．12或15【师生活动】学生作答后小组讨论得出正确答案．【答案】C【解析】∵x，y满足|3－x|＋＝0，∴x＝3，y＝6．当3为腰时，三边为3，3，6，而3＋3＝6，则3，3，6不能组成三角形；当3为底时，三边长分别为3，6，6，∴等腰三角形的周长为3＋6＋6＝15．【归纳】算术平方根和绝对值都是非负数，当几个非负数的和等于0时，每一个非负数都为0．【设计意图】通过该例巩固学生对算术平方根非负性的理解．【跟踪训练2】若，那么（）．A．1 B．－1 C．－3 D．－5【答案】D【解析】∵，∴且，解得，所以．类型三、估计算术平方根的取值范围【例3】估计＋1的运算结果应在哪两个连续自然数之间（）．A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5【师生活动】小组讨论后作答，教师给出正确答案和解析．【答案】C【解析】∵，即，∴．【归纳】估计算术平方根的取值范围的一般步骤：第1步：将算术平方根平方：第2步：找出其结果在哪两个相邻的完全平方数之间；第3步：确定算术平方根的取值范围．【设计意图】通过该例，让学生知道并掌握如何估计算术平方根的大小．【跟踪训练3】估计的值应在（）．A．4和5之间 B．3和4之间C．2和3之间 D．1和2之间【答案】B【解析】∵，，∴．∴．∴．类型四、平方根的概念理解【例4】下列说法错误的是（）．A．1的平方根是±1 B．－1没有平方根C．是2的平方根 D．－3是的平方根【师生活动】学生作答，小组讨论得出正确答案．【答案】D【解析】选项A：1的平方根是±1，说法正确，故本选项不符合题意；选项B：－1没有平方根，说法正确，故本选项不符合题意；选项C：是2的平方根，说法正确，故本选项不符合题意；选项D：是的平方根，原说法错误，故本选项符合题意．【归纳】（1）平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根．（2）如果正数a不能写成有理数的平方的形式，那么可以将a的平方根表示成±．【设计意图】通过该例，让学生回顾平方根的性质等知识．【跟踪训练4】下列说法正确的是（）．A．＝±5 B．－42的平方根是±4C．64的平方根是8 D．【答案】D【解析】选项A：＝5，原说法错误，故此选项不符合题意；选项B：因为－42＝－16，所以－42没有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；选项C：64的平方根是±8，原说法错误，故此选项不符合题意；选项D：，原说法正确，故此选项符合题意．类型五、求平方根【例5】求下列各式的值：（1）； （2）； （3）．【师生活动】学生代表板书，然后教师和学生一起纠正．【答案】解：（1）因为62＝36，所以；（2）因为0.92＝0.81，所以；（3）因为，所以．【归纳】当a≥0时，，和的区别：（1）：表示一个非负数的算术平方根．（2）：表示一个非负数的算术平方根的相反数．（3）：表示一个非负数的平方根．【设计意图】通过该例，巩固学生对平方根的求解能力和对，和三者区别的掌握．【跟踪训练5】下列各式中，正确的是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】选项A：，故正确；选项B：，故不正确；选项C：，故不正确；选项D：，故不正确．类型六、利用平方根解方程【例6】求下列各式中x的值：（1）4x2－12＝0； （2）48－3(x－2)2＝0．【师生活动】学生作答，小组讨论得出正确答案．【答案】解：（1）4x2－12＝0，4x2＝12，x2＝3，x＝±；（2）48－3(x－2)2＝0，3(x－2)2＝48，(x－2)2＝16，x－2＝±4，x＝6或x＝－2．【归纳】利用平方根的定义解方程的一般步骤：（1）移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在等号的另一边；（2）系数化为1，将方程化为x²＝a的形式；（3）根据平方根的定义求出未知数x的值（一般有两个解）．【设计意图】通过该例，让学生能够解形式为x²＝a的方程．【跟踪训练6】求满足下列各式x的值．（1）169x2－100＝0； （2）(2x－1)2＝(－5)2．【答案】解：（1）∵169x2－100＝0，∴．∵，可得．（2）由(2x－1)2＝(－5)2得2x－1＝±5，解得x＝3