人教版七年级数学下册《一元一次不等式（第4课时）》示范教学设计

一元一次不等式（第4课时）教学目标1．能从实际问题中抽象出数学问题，根据数量关系建立一元一次不等式模型进行求解，体会数学建模的思想．2．能解决方案设计、阶梯收费问题，发展分析问题和解决问题的能力，体会分类讨论思想的重要作用．教学重点运用一元一次不等式解决实际问题中的方案型问题．教学难点从实际问题中抽象出不等式的数学模型，分类讨论进行求解．教学过程知识回顾列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤是什么？【师生活动】学生独立思考作答，教师强调：“审”这一步，在解决实际问题中发挥着“突破口”的作用，只要审清理明，多层次的复杂问题也能达到最终的解决目标．【答案】（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的不等关系．（2）设：设出适当的未知数．（3）列：根据题中的不等关系列出不等式．（4）解：解不等式．（5）验：检验解（或解集）是否符合实际意义．（6）答：写出答案．【设计意图】复习一元一次不等式解决实际问题的一般步骤，巩固基础，为本节课学习“方案设计、阶梯收费问题”做准备．新知探究一、探究学习【问题】商店为了促销，将某种定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．现有27元钱，最多可以购买该商品多少件呢？【师生活动】教师引导学生找出题目的关键信息，分析题意：设购买商品x件．购买数量/件购物花费/元x＜53xx＝515x＞515＋3(x－5)×0.8【思考】你能根据表格列出一元一次不等式，并完成解答吗？【师生活动】学生小组讨论，列出方程，完成作答．【答案】解：设购买商品x件．由题意，得15＋3(x－5)×0.8≤27．解得x≤10．答：最多可以购买该商品10件．【设计意图】通过简单的问题，引导学生进行分类讨论，为学习“列一元一次不等式解决方案设计问题”作铺垫．【问题】甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买100元后，超出100元的部分按90％收费；在乙商场累计购买超过50元后，超过50元的部分按95％收费．顾客到哪家商场购物花费少？【师生活动】教师提问：如何理解题意呢？学生先独立思考，理解题意，然后发表自己的观点．教师追问：如果购物款x元，你能分别表示出在两家商场花费的钱数吗？学生独立思考、列式子，教师引导学生发现：由于优惠起点的不同，需要进行分类讨论，每种情况下有各自对应的式子．【分析】在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠，因此，我们需要分三种情况讨论：（1）累计购物不超过50元；（2）累计购物超过50元而不超过100元；（3）累计购物超过100元．【师生活动】引导学生利用表格表示题目中的量，并请学生代表在黑板上绘制表格．购物款/元在甲商场花费/元在乙商场花费/元x≤50xxx＞50且x≤100x50＋0.95(x－50)x＞100100＋0.9(x－100)50＋0.95(x－50)【设计意图】让学生能够主动思考问题、自己寻找方法，呈现出问题所表达的意思，培养学生的思维能力．【思考】你能从表格中看出哪家商场花费少吗？【师生活动】学生小组讨论，师生共同分析，完成表格．购物款/元在甲商场花费/元在乙商场花费/元比较x≤50xx一样x＞50且x≤100x50＋0.95(x－50)乙少x＞100100＋0.9(x－100)50＋0.95(x－50)？（1）如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的；（2）如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商场购物花费少．【思考】如果累计购物超过100元，在哪家商场花费少呢？【师生活动】学生自由发言，在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出当购物超过100元时，需要分三种情况讨论：（1）什么情况下，到甲商场购物花费少？（2）什么情况下，到乙商场购物花费少？（3）什么情况下，到两商场购物花费一样？学生分小组讨论、交流，得出答案：当甲商场花费＜乙商场花费时，100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50)；当甲商场花费＞乙商场花费时，100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50)；当甲商场花费＝乙商场花费时，100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50)．教师追问：你能综合上面的分析完成解答，并给出一个合理化的消费方案吗？学生独立思考，完成作答，教师在黑板上完善表格．购物款/元在甲商场花费/元在乙商场花费/元比较x≤50xx一样x＞50且x≤100x50＋0.95(x－50)乙少x＞100x＞50且x＜150100＋0.9(x－100)50＋0.95(x－50)乙少x＝150一样x＞150甲少【答案】解：（1）当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样．（2）当累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购物花费少．（3）当累计购物超过100元时，设累计购物x（x＞100）元．①若到甲商场购物花费少，则100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50)．解得x＞150．所以累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少，②若到乙商场购物花费少，则100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50)．解得x＜150．所以累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少．③若100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50)，解得x＝150．所以累计购物为150元时，到甲、乙两商场购物花费一样．答：购物不超过50元和刚好是150元时，在两家商场购物，花费没有区别；超过50元而不到150元时，在乙商场购物花费少；超过150元后，在甲商场购物花费少．【归纳】不等式的方案设计问题包括两种：（1）确定方案的种数；（2）最优方案问题．解答此类问题时，注意分类讨论的标准，先分清情况，再作答．【设计意图】帮助学生从实际问题中抽象出数学问题，找出问题中的不等关系，列出不等式，让学生体会建立不等式模型的过程．教师及时进行引导、归纳和总结，展现完整的解答过程，培养学生有条理地思考和表达的习惯，让学生体会分类讨论思想的重要作用．二、典例精讲【例题】自来水公司的收费标准如下，若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.8元，若每户每月用水超过5m3，则超出的部分每立方米收费2元，小明家每月的水费都不少于15元，则小明家每月的用水量至少是多少立方米？【师生活动】教师引导学生独立分析题意：每月用水量/m3每月水费/元x＜51.8xx＝59x＞59＋2(x－5)学生根据分析独立思考作答，请一名学生代表板演，教师讲评．【答案】解：设小明家每月的用水量是xm3．由题意，得9＋2(x－5)≥15．解得x≥8．