高考数学 数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲课后练习二 理

数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲题一：已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A(2，eq\f(1,2))，B(3,1)，若记an＝log2f(n)(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最小值是________．题二：已知函数f(x)＝eq\f(2x＋3,3x)，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(eq\f(1,an))，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝eq\f(1,an－1an)(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<eq\f(m－,2)对一切n∈N*成立，求最小的正整数m.题三：已知数列{an}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an＋1＝eq\f(an,2)；当an为奇数时，an＋1＝eq\f(an－1,2)；(1)若a1为偶数，且a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；(2)设a1＝2m＋3(m>3且m∈N)，数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn≤2m(3)若an为正整数，求证：当n>1＋log2a1(n∈N)时，都有an题四：定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“摆动数列”．（1）设，（），，判断数列、是否为“摆动数列”，并说明理由；（2）已知“摆动数列”满足，，求常数的值；（3）设，且数列的前项和为，求证：数列是“摆动数列”，并求出常数的取值范围.

数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲课后练习参考答案题一：－3详解：将A、B两点坐标代入f(x)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＝ab2，,1＝ab3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,8)，,b＝2，))∴f(x)＝eq\f(1,8)·2x.∴f(n)＝eq\f(1,8)·2n＝2n－3.∴an＝log2f(n)＝n令an≤0，即n－3≤0，∴n≤3.∴数列第3项小于或等于零，故S3或S2最小．S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋(－1)＋0＝－3.题二：（1）an＝eq\f(2,3)n＋eq\f(1,3);(2)m最小＝.详解：(1)∵an＋1＝f(eq\f(1,an))＝eq\f(2＋3an,3)＝an＋eq\f(2,3)，∴{an}是以eq\f(2,3)为公差，首项a1＝1的等差数列，∴an＝eq\f(2,3)n＋eq\f(1,3).(2)当n≥2时，bn＝eq\f(1,an－1an)＝＝eq\f(9,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))，当n＝1时，上式同样成立．∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(9,2)(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(9,2)(1－eq\f(1,2n＋1))，∵Sn<eq\f(m－,2)，即eq\f(9,2)(1－eq\f(1,2n＋1))<eq\f(m－,2)对一切n∈N*成立，又eq\f(9,2)(1－eq\f(1,2n＋1))随n递增，且eq\f(9,2)(1－eq\f(1,2n＋1))<eq\f(9,2)，∴eq\f(9,2)≤eq\f(m－,2)，∴m≥，∴m最小＝.题三：（1）2或0；（2）省略；（3）省略详解：(1)设a1＝2k，则a2＝k，由条件知2k＋a3＝2k，∴a3＝0.分两种情况讨论：若k是奇数，则a3＝eq\f(a2－1,2)＝eq\f(k－1,2)＝0，∴k＝1，a1＝2，a2＝1，a3＝0，若k是偶数，则a3＝eq\f(a2,2)＝eq\f(k,2)＝0，∴k＝0，a1＝0，a2＝0，a3＝0，∴a1的值为2或0.(2)当m>3时，a1＝2m＋3，a2＝2m－1＋1，a3＝2m－2，a4＝2m－3，a5am＝2，am＋1＝1，am＋2＝…＝an＝0，∴Sn≤Sm＋1＝1＋2＋…＋2m＋4＝2m(3)∵n>1＋log2a1，∴n－1>log2a1，∴2n－1>a由定义可知：an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，an是偶数,\f(an－1,2)，an是奇数))，∴an＋1≤eq\f(an,2)，∴eq\f(an＋1,an)≤eq\f(1,2).∴an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1≤eq\f(1,2n－1)a1，∴an<eq\f(1,2n－1)·2n－1＝1，∵an∈N，∴an＝0，综上可知：当n>1＋log2a1(n∈N)时，都有an题四：（1）不是“摆动数列”；是“摆动数列”.（2）；（3）详解：（1）假设数列是“摆动数列”，即存在常数，总有对任意成立，不妨取时则，取时则，显然常数不存在，所以数列不是“摆动数列”；由，于是对任意成立，其中.所以数列是“摆动数列”.（2）由数列为“摆动数列”，，即存在常数，使对任意正整数，总