湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025届高三上学期入学考试数学试题

2024年岳阳县第一中学新高三入学考试试卷全卷满分150分。考试用时120分钟。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图是函数的部分图象，则的解析式为（）A. B.C. D.4.在中，已知，则（）A.3 B.2 C. D.15.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26 B.28 C.30 D.32 6.已知数列满足，，，则数列的第2024项为（）A. B. C. D.7.若，则（）A. B. C. D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为、.过向一条渐近线作垂线，垂足为P.若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为1610.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减11.已知函数，则（）A.有两个极值点B.有三个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.的展开式中的系数为______.13.已知，，且恒成立，则实数m的取值范围为______.14.已知函数，记等差数列的前n项和为，，，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为，点D是线段BC上靠近点B的一个三等分点，.（1）若，求c；（2）若，求的值.16.已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点为F，已知，.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交Y轴于点Q，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程.17.有个正数，排成n行n列的数表：，其中表示位于第i行，第j列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知，，.（1）求公比.（2）求.18.如图，在正四棱柱中，，，点、、、分别在棱、、、上，，，.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积；（3）点P在棱上，当二面角大小为时，求线段的长.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.（3）若在存在极值，求a的取值范围。

2024年岳阳县第一中学新高三入学考试试卷参考答案1~8.CCCACBAD 9.AD 10.ABD 11.ACD12.24 13. 14.13（1） （2）【详解】（1）由题可得：，故又，即，，即在中，根据余弦定理得即，即，（2），，即又，①又②，由①②得：，16.（1）椭圆的方程为，离心率为.（2）.【详解】（1）如图，由题意得，解得，，所以所以椭圆的方程为，离心率为.（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得设直线的方程为，联立方程组，消去y整理得：，由韦达定理得，所以，所以，.所以，，，所以，所以，即，解得，所以直线的方程为.17.（1） （2）【详解】（1）第4行公差为，.由己知：，所以.又每个数都是正数，所以.（2）因为，所以是首项为，公差为的等差数列.故.因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以.故，设的前n项和为，①.②，①-②得.所以.18.（1）证明见解析 （2） （3）【详解】（1）解：以C为坐标原点，CD，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，又，不在同一条直线上，.（2）解：，点到平面的距离为，故.（3）解：设，则，，，设平面的法向量，则，令，得，，，设平面的法向量，则，令，得，，，，化简可得，，解得或，或，.19.（1）；（2）存在，满足题意，理由见解析.（3）.【详解】（1）当时，，则，据此可得，，函数在处的切线方程为，即.（2）令.函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得.由对称性可知.取可得，即，则，解得，经检验，满足题意，故，.即存在，满足题意.（3）由函数的解析式可得，由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点；令，则，令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，，当时，，在区间上单调递减，此时，在区间上无零点，不合题意；当，时，由于，所以，在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，所以在区间上无零点，不符合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，令，则，函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立，则，由一次函数与对数函数的性质可得