2025届四川省峨眉山市第七教育发展联盟高三数学试题理下学期综合练习含解析

2025届四川省峨眉山市第七教育发展联盟高三数学试题理下学期综合练习注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是（）A．甲得分的平均数比乙大 B．甲得分的极差比乙大C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位数和乙相等2．已知当，，时，，则以下判断正确的是A． B．C． D．与的大小关系不确定3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．44．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（）A． B． C． D．5．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（）A． B． C． D．6．已知，，，若，则（）A． B． C． D．7．若x,y满足约束条件的取值范围是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,8．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（）A． B． C． D．10．的展开式中的项的系数为（）A．120 B．80 C．60 D．4011．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（）A． B． C． D．12．已知，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.14．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．15．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.16．在中，，，，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）记为数列的前项和，N.（1）求；（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和.18．（12分）如图，在三棱锥中，，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：（1）是的中点；（2）平面平面.19．（12分）的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.20．（12分）如图，三棱柱的所有棱长均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值.21．（12分）已知分别是内角的对边，满足（1）求内角的大小（2）已知，设点是外一点，且，求平面四边形面积的最大值.22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为.若直线交曲线于，两点，求线段的长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论．【详解】对于甲，；对于乙，，故正确；甲的极差为，乙的极差为，故错误；对于甲，方差.5，对于乙，方差，故正确；甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，故正确．故选：．本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．2．C【解析】

由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果．【详解】解：设，则，即为增函数，又，，，，即，所以，所以．故选：C．本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．3．A【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的半个焦距为，由题意又，则，，，所以离心率，故选：A.本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题4．A【解析】

设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.【详解】设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，由题意，，，则所求的概率为.故选：A.本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.5．B【解析】

先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如图所示：确定一个平面，因为平面平面，所以，同理，所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四边形故选：B本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.6．B【解析】

由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算．【详解】由，得，则，，，所以．故选：B．本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键．7．D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．8．A【解析】

结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由，则，所以；而当，则，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.9．A【解析】

由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.10．A【解析】

化简得到，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】展开式中的项为.故选：本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.11．A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1时，等号成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A．12．D【解析】

根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为，所以，所以是减函数，又因为，所以，，所以，，所以A,B两项均错；又，所以，所以C错；对于D，，所以，故选D.这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.【详解】，故，当时，，故，解得.故答案为：；.本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.14．【解析】

根据正弦定理得，根据余弦定理得2PF1•PF2cos∠F1PF23，联立方程得到，计算得到答案.【详解】∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1•PF2cos∠F1PF23，②①②联解，得，可得，∴双曲线的，结合，得离心率.故答案为：.本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．40【解析】

设等比数列的公比为，根据，可得，因为，根据均值不等式，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为，，，等比数列的各项为正数，，，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为：.本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16．1【解析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【详解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案为：1．本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）证明见详解，【解析】

（1）根据，可得，然后作差，可得结果.（2）根据（1）的结论，用取代，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前项和公式，可得结果.【详解】（1）由①，则②②-①可得：所以（2）由（1）可知：③则④④-③可得：则，且令，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列所以本题主要考查递推公式以及之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】

（1）推导出，由是的中点，能证明是有中点．（2）作于点，推导出平面，从而，由，能证明平面，由此能证明平面平面．【详解】证明：（1）在三棱锥中，平面，平面平面，平面，，在中，是的中点，是有中点．（2）在三棱锥中，是锐角三角形，在中，可作于点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，平面平面．本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．19．（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得，根据可求得结果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（当且仅当时取等号）即三角形面积的最大值为：本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）连接交于点，连接，由于平面，得出，根据线线位置关系得出，利用线面垂直的判定和性质得出，结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面平面；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和平面的法向量，利用空间向量线面角公式，即可求出直线与平面所成角的余弦值.【详解】解：（Ⅰ）证明：连接交于点，连接，则平面平面，平面，，为的中点，为的中点，平面，，平面，平面，平面平面（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，设则，，，，，设平面的法向量为，则，取得，设直线与平面所成角为，直线与平面所成角的余弦值为.本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力.21．（1）（2）【解析】

（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本关系得到，即可求出角；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理可得：，则，得到，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值；【详解】解：（1）由，，，，，，，；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理得：，，