7.3.1离散型随机变量的均值课件高二下学期数学人教A版选择性2

7.3离散型随机变量的数字特征第七章随机变量及其分布 7.3.离散型随机变量的均值复习回顾一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，

‧‧‧，xn，则X的概率分布列为：1.离散型随机变量的分布列2.两点分布或0—1分布X01P1-pp定值Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.求概率列表离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便。

离散型随机变量的数字特征——一组数据的均值和方差样本均值：样本方差：

已知一组样本数据：x1，x2，…，xn

反映这组数据相对于平均值的集中程度的量

例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。反映这组数据的平均水平问题1某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？X1234P权数加权平均每个取值相应的频率环数的所有可能取值样本均值等于每个取值与它相应频率乘积的和某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？方案一，二合理吗？你能否给出更合理的方案18元/千克24元/千克36元/千克方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元/千克.方案2：按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为元/千克.方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为元/千克.决策问题样本均值等于每个取值与它相应频率乘积的和问题1甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢?首先比较击中的平均环数，如果平均环数相同，再看稳定性即先比较均值，均值相同再比较方差假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为则甲n次射箭射中的平均环数为稳定于当n足够大时，频率稳定于概率离散型随机变量的均值等于每个取值与它相应概率乘积的和同理，乙射中环数的平均值为从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn均值反映了随机变量取值的平均水平.均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征.权数加权平均数随机变量X的均值也称数学期望，简称期望.用E（X）表示离散型随机变量的均值等于每个取值与它相应概率乘积的和求离散型随机变量期望（均值）的步骤:(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列（表格）；(4)求均值：由期望（均值）的定义求出E(X)Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn求随机变量的分布列例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?由题意得，X的所有取值为：0,1，则：解：即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么所以X的分布列为：X01P0.20.8例2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.由题意得，X的所有取值为：1,2，3，4，5，6则：解：即点数X的均值是3.5.所以X的分布列为：X123456P完成课本66-67页练习的1，2，3，练习的1思考E(3X+2）与E(X）的关系。并思考能否推广到一般情况。

证明如果X是一个离散型随机变量，则E(aX＋b)=aE(X)+b(其中a,b为常数)证明：Xx1x2…xnaX+bax1+bax2+baxn+bPp1p2…pn则X的期望为

：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn则aX+b的期望为

：E(aX+b)＝(ax1+b)p1＋(ax2+b)p2＋…＋(axn+b)pn＝a(x1p1＋

x2p2＋…＋xnpn)+b(p1+p2＋…＋

pn)＝E(X)+b

例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表规则如下:按照A，B，C的顺序,B,C,A的顺序,C,B,A的顺序，C,A,B的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.分别求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.并思考:这三个均值的大小蕴含什么道理？歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000解：

例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示.规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000同理

当按A,C,B的顺序时

当按B,A,C的顺序时当按B,C,A的顺序时当按C,B,A的顺序时当按C,A,B的顺序时E(X)=2144,E(X)=2256，E(X)=2112E(X)=1872，E(X)=1904.当按A,B,C的顺序时E(X)=2336可以发现,按由易到难的顺序猜歌,得到公益金的期望值最大.例3是概率决策问题也称为风险决策，选择不同的猜歌顺序，X的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序。

例4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案:

方案1运走设备，搬运费为3800元；

方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；

方案3不采取措施.

工地的领导该如何决策呢?总损失越小越好，分析：各方案的总损失分别为多少？没有洪水的概率又是多少？自学课本66页最后一段一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn则X的数学期望（或均值）为

E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn=若X服从两点分布，则E(X)=_____p数学期望的线性性质:E(aX＋b)=__________aE(X)＋b1、离散型随机变量取值的平均水平——数学期望2、求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定随机变量取值(2)求概率(3)写分布列(4)求均值均值E(X)刻画的是随机变量X取值的“平均水平”.

均值在实际中有着广泛的应用，如在成绩预测、消费预测、工程方案预测、产品合格率预测、投资收益预测中，都可以通过随机变量的均值来进行估计.（决策问题）

作业：课本71页2，3，4,6导学案57-61，其中57页1，2不做，61页1，2不做，固学案22-23，其中22页1，2不做课堂小结观察掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?

样本平均值和随机变量均值的区别与联系①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化；②联系:对于简单随机样本,随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值.解：课本66页1.已知随机变量X的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2).解：课本67页2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的均值