北京市东城区2024高三数学上学期期末考试试题

北京市东城2024高三第一学期期末统一检测

数学试题

2024.1

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后,

将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合4={%卜1<%<2},B={x|x<l},则AB=

(A)(-oo,2)(B)(一L+oo)

(C)(-1,1](D)[1,2)

(2)在下列函数中，为偶函数的是

(A)f(x)=x-cosx(B)/(x)=xcosx

(C)/(x)=ln国(D)/(%)=«

(3)在(x+工)"的绽开式中，若第3项的系数为10,则〃=

x

(A)4(B)5(C)6(D)7

(4)在等比数列{%}中，4=1,a2a3=8,则%=

(A)8(B)16C)32(D)64

(5)北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其

中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门

广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北

向南位列轴线中心相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个

重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个巡游，则选取的3个中肯定有

故宫的概率为

1131

(A)—(B)-(C)—(D)上

119113

(6)在平面直角坐标系中，角a以。无为始边，终边位于第一象限，且

与单位圆。交于点尸，尸轴，垂足为若尸的面积为9

25

则sin2a=

(A)—(B)—(C)—(D)—

25252525

r2v2

(7)已知双曲线=—==1(。＞0,匕＞0)的左、右焦点分别为£,工，其渐近线方程为丁=±2%，「是。上一

ab

点，且尸耳，尸西•若△尸耳^的面积为4,则c的焦距为

(A)73(B)273(C)2^/5(D)4百

(8)在△A8C中，“对于随意rwl,是“△ABC为直角三角形”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(9)在平面直角坐标系xOy中，若点尸(。,。)在直线依+by+4a+3=0上，则当。力改变时，直线0P的斜率的

取值范围是

(A)(f一知一百,+S)®［一,岑］©(-00,41卓+8)⑴)呼等］

(10)如图，在正方体ABCD-A4G2中，。是棱。2上的动点，下列说法中正确的是

①存在点Q,使得GQ//A。；

②存在点。，使得GQJLA。；

③对于随意点。，。到4c的距离为定值；

④对于随意点。，44。。都不是锐角三角形.BC

(A)①③(B)②③(C)②④(D)①④

其次部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

⑴)若复数z满意(z+i)i=—3,则忖=_____.

(12)已知函数/(%)二石sin%-cosx,贝！|/(：)=______；若将/(X)的图象向左平行移动一个单位长度后得

6

到g(x)的图象，则g(x)的一个对称中心为.

(13)经过抛物线V=2px(p>0)焦点尸的直线与抛物线交于不同的两点A3,经过点A和抛物线顶点的直线

交抛物线的准线于点D,则点B的纵坐标为与点D的纵坐标yD的大小关系为yB%.(用“〉”

“<”“=”填写)

~2

x-1,x>a,/、/、

(14)设函数/(%)=।,当〃=0时，/(%)的值域为__________;若的最小值为1,则〃的

|x-6Z-l|,x<a.

取值范围是.

(15)对于数列令<=q-2+々3-。4+L+(-1)"”为，给出下列四个结论：

①若ctn-n,则4023=1012；

②若Tn=n,则。2022=一1；

③存在各项均为整数的数列｛《｝,使得圜对随意的〃wN*都成立；

④若对随意的“wN*,都有圜<M,则有.

其中全部正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

B=-点。在边的延长线上，且

如图，在锐角△A8C中，9AB=3C,AC=6,5c8=10.

4

A

(I)求ZACB；

(II)求△ACD的周长.

BCD

(17)(本小题15分)

如图，在四棱锥尸―ABCD中，底面A5CD是边长为2的正方形，PA=2,PALAB,石为的中点,

F为PD上一点、,EF平面Q钻.P

(I)求证：方为？D的中点；

求直线/；\\

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,ADA\F

与平面AEF所成角的正弦值./;

条件①：AD±PB；

条件②：PC=261/

BVEVC

注：假如选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(18)(本小题13分)

“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参与志愿服务和体育熬炼等课后活动.某校为了解学生课后活动

的状况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参与课后活动的时间(单位：小时)，分别位于区间[7,9),

[9,11)，[11,13),[13,15),[15,17),[17,19],用频率分布直方图表示如下：

假设用频率估计概率，且每个学生参与课后活动的时间相互独立.个频率/组距

(I)估计全校学生一周参与课后活动的时间位于区间[13,17)的概率；0'200'

0.125------------------------------

(II)从全校学生中随机选取3人,记1f表示这3人一周参与课后活动的0.075—

0.050----------1-

时间在区间[15,17)的人数，求^的分布列和数学期望酹；°-025hzM.J_J_±^-------->

791113151719时间/小时

(III)设全校学生一周参与课后活动的时间的众数，中位数，平均数的估

计值分别为a,b,c,请干脆写出这三个数的大小关系.(样本中同组数据用区间的中点值替代)

(19)(本小题14分)

已知椭圆C:《+4=1(。〉。〉0)的离心率为立，长轴长与短轴长的和为6,4,巴分别为椭圆。的

ab2

左、右焦点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设尸为椭圆C上一点，”(1,0).若归用，2归闾，归阊成等差数列，求实数2的取值范围.

(20)(本小题15分)

已知函数/(x)=xel.

(I)求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(II)求/(x)的极值；

(III)证明：当mWl时，曲线G:y=/(x)与曲线C2:y=lnx+x+机至多存在一个交点.

(21)(本小题15分)

已知数列A：q，a2,L,an,满意：a；e{0,1}(«=1,2,,n,n>T),从A中选取第7；项、第三项、…、第

乙项(。<力2<-<心m>2),称数列%为A的长度为m的子列.记T(A)为A全部子列的个数.例如

A：0,0,l,其T(4)=3.

(I)设数列A：1,1,0,0,写出A的长度为3的全部子列，并求7(A)；

r

(II)设数列A：4,a2,L,an,A：an,an_x,L,q,A"：1—q,1-tz2,L,1一q，推断T(A),T(A'),T(A")

的大小，并说明理由；

(III)对于给定的正整数〃k(l<k<n-I),若数列A：ax,%,L,。〃满意：+a2+L+an=k,求T(A)的最小

值.

高三数学参考答案及评分标准

2024.1

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

(1)A(2)C(3)B(4)D(5)D

(6)D(7)C(8)A(9)B(10)C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

(11)2(12)1(0,0)(答案不唯一)

(13)=(14)(-l,+oo)[V2,+<®)(15)①②④

三、解答题（共6小题,共85分）

(16)(共13分)

解：ACAB

（I）在△ABC中，由正弦定理-----

sin3sinZACB

.AB-sinB百

得ZAsinZACB=-----------二—.

AC2

JTJT

又因为在锐角中，ZACBe（0,-），所以NAC^=—..........6分

23

TT/jr

(II)因为NAC3=—,所以NACD=—.

33

2

在△ACD中，由余弦定理AD?=4。2+。。2一24。・。£）.0）53再得"）=14.

所以△ACD的周长为AC+CD+AD=30........................13分

（17）（共15分）

解：（I）在中，过点尸作尸G〃AD交K4于点G,连接GB.

因为AD〃3C,

所以EG〃3C,

所以8,E,F,G四点共面.

因为所〃平面B钻，EFu平面BEFG,

平面、平面3EFG=5G,

所以EF〃BG.

所以四边形BERG是平行四边形.

所以EG=BE=LAD.

2

所以厂为的中点.6分

(II)选条件①：AD±PB.

因为底面A5CD为正方形，

所以

又AD工PB,ABPB=B,

所以平面a

所以AD_LK4.

如图建立空间直角坐标系A-孙z,因为底面A3CD是边长为2的正方形，PA=2,

则A(0,0,0),£>(0,2,0),£(2,1,0),砥0,1,1),

所以AD=(0,2,0),AE=(2,1,0),AF=(0,1,1).

设平面AE77的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-AE=0,f2%+y=0,

则即

n-AF=0,[y+z=0.

令x=l,则y=—2,z=2.于是"=(L—2,2).

设直线A。与平面AEb所成角为。，

则sin0=|cos<n,AD>|="‘°〔=—.

Iw||ADI3

2

所以直线AD与平面AEP所成角为的正弦值为一...............15分

3

选条件②：PC=2出.

如图，连接AC.

因为底面A5CD是边长为2的正方形,

所以ADLAB,AC=2收.

因为B4=2,PC=273,

所以P/V+AC?=「。2.

所以B4LAC.

因为？ALAB,ABAC=A,

所以PAL平面A5CD

所以

以下同选条件①.15分

(18)(共13分)

解：(I)依据频率分布直方图，可得学生一周参与课后活动的时间位于区间［13,17)的频率

为(0.125+0.200)x2=0.65,

因此估计全校学生一周参与课后活动的时间位于区间［13,17)的概率为0.65.3分

(II)从全校学生中随机选取1人，其一周参与课后活动的时间在区间口517)的概率为0.4.

因此1f2(3,04).

P(J=0)=(1-0.4)3=0.216;P记=1)=C*x0.41x(l-0.4)2=0.432;

P(J=2)=C；x0.42x(1-0.4)1=0.288;尸(J=3)=0.43=0.064.

则J的分布列为：

40123

P0.2160.4320.2880.064

=0x0,216+lx0.432+2x0.288+3x0.064=1.2.

10分

(III)c<b<a...............13分

(19)(共14分)

2a+2b=6,

解：(i)由题设，」£=走，

a2

a1=b~+c2.

解得/=4,〃=1.

无2

所以椭圆C的方程为一+>2=1...............5分

4-

(II)设为)为椭圆C上一点，

则有归司+户阊=2。=4.

由归用，川〃川，|尸闾成等差数列，得2川尸闾=4,4/0,

即阿=；

由M(l,0),则—1y+%2.

又P(%,九)在椭圆。上，有亨+为2=1,

故归闸=J-I,+靖=J®_1)2+[一_j=七%?-2%+2,

因为不£[—2,2],所以1PM归[乎,3].

日n2rV6

即不£[:一,3],

X3

2r-

所以Xe[―,^6]

所以实数2的取值范围是弓,布］...............14分

(20)(共15分)

解：(I)因为/(%)=汽工

所以_f(x)=(x+l)e，.

所以y(o)=o,r(o)=i.

所以曲线y=/(X)在点(0,y(0))处的切线方程为y=龙........4分

(II)令/'(%)=0,得x=—1.

当xe(To,-l)时，/'(尤)<0,/(尤)单调递减；

当无e(—1,+8)时，/(%)>0,“力单调递增；

当x=—1时，/'(力=0，/(尤)在x=—1时取得微小值.

所以函数/(力的微小值为-，，不存在极大值...............9分

(III)令g(%)=%e*-1口九一1-根，其定义域为(0,+oo).

g'(x)=(X+1)el---1=+l)(eA--),x+l>0.

XX

令=〃(%)=e"+4>0,

所以h(x)在(0,+oo)上单调递增.

因为〃⑴〉0,久心)<0,所以比e(3,1),

当无e(0,尤0)时，7z(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减；

当无«无0，+°°)时，妆%)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增；

当％=%时,〃(％)=0,即e为=，,g(尤)取得微小值g(%o).

xo

g(%)二/e与一In/-x0-m,

因为e“二」所以％0匕/=1,x0=-lnx0,

%

所以g(x0)=l-m.

因此，当加vl时，g(毛)>0,

所以Vx£(0,+oo)，g(x)>0,

即Vx£(0,+8),/(x)>lnx+x+m,曲线G与曲线g无交点；

当m=1时，g(xo)=O,

所以存在且仅存在一个XoW(g,l),使得g(%)=0，

对Vxe(0,+oo)且xw/,都有g(九)>0,即/(x)>lnx+x+ni.

所以当机=1时，曲线G与曲线G有且仅有一个交点；

故当mW1时，曲线。与曲线G至多存在一个交点...............15分

(21)(共15分)

解：(I)由T(A)的定义以及A：l,l,0,0,可得：A的长度为3的子列为：1,0,0；1,1,0,

A的长度为2的子列有3个，4的长度为4的子列有1个，

所以T(A)=6...............5分

(II)T(A)=T(4)=T(A〃).

理由如下：

若叫，m?,L,7叫_〃是A：q,a2,L,a”的一个子列，

r

则外,mk_x,L,m2,5为A：an,an_x,L,q的一个子列.

若叫，加2,L,mk_v/与々，%,L,nk_v久是A：ax,a2,L,的两个不同子列,

则叫，mk_x,L,m2,%与敢，nk_x,L,%,々也是A：an,an_x,L,q的两个不同子列.

所以T(A)WT(A).

同理T(A)<7(A),

所以T(A)=7(4).

同理T(A)=7(A').所以有T(A)=7(A)=7(A")...........................10

分

(III)由已知可得，数列A：ax,%,L,。“中恰有k个1,〃一上个0.令

A*：94P2%4°\次2%3匕

〃一女个女个

下证：T(A)>T(A*).

1

由于A*：q4P\hhs,所以A*的子列中含有/个0，j个1

”-上个为个

(Z=0,1,..n—k,j=0,1,,k,i+j>2)的子列有且仅有1个，

设为：9*2%吗°\b1A31-而数列A：%，的工，%的含有/个0,/个1的子列至少有

冷j个

一个，

所以T(A)2T(A*).

数列A*：94P2%4°1.2931中，不含有0的子列有％一1个’含有1个0的子列有卜个，

〃-4个4个

含有2个。的子列有k+1个，LL,含有〃-左个。的子列有k+1个，

所以T(A*)=(n-k)(k+1)+k—2=nk+n—k2—2.

所以T(A)的最小值为〃左+〃—左2—2...........................15分

高三数学参考答案及评分标准

2024.1

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

(1)A(2)C(3)B(4)D(5)D

(6)D(7)C(8)A(9)B(10)C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

(11)2(12)1(0,0)(答案不唯一)

(13)=(14)(-1,+oo)[A/2,+co)(15)①②④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：ACAB

（1）在443。中，由正弦定理-----

sin3sinZACB

AB-sinB班

得sinZACB=-----------=—.

AC2

jrjr

又因为在锐角中，ZACBG（0,-），所以NACg=—・.......................6分

23

TT/jr

(II)因为NAC3=—,所以NACD=—.

33

2

在△ACD中，由余弦定理AD?=4。2+。。2一24。・。£）.0）53再得"）=14.

所以△ACD的周长为AC+CD+AD=30........................13分

（17）（共15分）

解：（I）在中，过点尸作尸G〃AD交K4于点G,连接GB.

因为AD〃3C,

所以EG〃3C,

所以8,E,F,G四点共面.

因为所〃平面B钻，EFu平面BEFG,

平面、平面3EFG=5G,

所以EF〃BG.

所以四边形BERG是平行四边形.

所以EG=BE=LAD.

2

所以厂为的中点.6分

(II)选条件①：AD±PB.

因为底面A5CD为正方形，

所以

又AD上PB,ABPB=B,

所以平面a

所以AD_LK4.

如图建立空间直角坐标系A-孙z,因为底面A3CD是边长为2的正方形，PA=2,

则A(0,0,0),£>(0,2,0),£(2,1,0),砥0,1,1),

所以AD=(0,2,0),AE=(2,1,0),AF=(0,1,1).

设平面AEE的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-AE=0,f2%+y=0,

贝叫即

n-AF=0,[y+z=0.

令x=l,则y=—2,z=2.于是"=(L—2,2).

设直线A。与平面AEF所成角为3,

贝!]sin0=|cos<n,AD>|=".

Iw||ADI3

2

所以直线AD与平面AEE所成角为的正弦值为一.15分

3

选条件②：PC=243.

如图，连接AC.

因为底面A5CD是边长为2的正方形，

所以ADLAB,AC=2收.

因为PA=2,PC=273,

所以PA2+AC2=「。2.

所以B4LAC.

因为？A,AB,ABAC=A,

所以PAL平面A5CD

所以

以下同选条件①...............15分

（18）（共13分）

解：（I）依据频率分布直方图，可得学生一周参与课后活动的时间位于区间［13,17）的频率

为(0.125+0.200)x2=0.65,

因此估计全校学生一周参与课后活动的时间位于区间［13,17）的概率为0.65...........3分

（II）从全校学生中随机选取1人，其一周参与课后活动的时间在区间［15,17）的概率为0.4.

因此12（3,04）.

P(J=0)=(1-0.4)3=0.216;PG=1)=C*x0.41x(l-0.4)2=0.432;

PC=2)=C；X0.42x(l-0.4)1=0.288;尸(J=3)=0.43=0.064.

则J的分布列为:

40123

P0.2160.4320.2880.064

=0x0,216+lx0.432+2x0.288+3x0.064=1.2.10分

(III)c<b<a.13分

(19)(共14分)

2a+2b=6,

c

解：（I）由题设，＜=

厂可，

a2=b2+c2.

解得/=4,〃=1.

r2

所以椭圆C的方程为一+尸=1.5分

4

（II）设尸（%,为）为椭圆。上一点，

则有归司+卢鸟|=2。=4.

由归制，彳归闾，归阊成等差数列，得2川产叫=4,2/0,

即四|=：

由M(l,0)，则|尸闾=>/一M+%2.

又P（Xo，%）在椭圆C上，有午+%2=1,

故归闸=J-I,+靖=J®_1)2+[一_j=七%?-2%+2,

因为不£[—2,2],所以1PM归[乎,3].

日n2rV6

即不£[:一,3],

X3

2r-

所以Xe[―,^6]

所以实数2的取值范围是..............14分

(22)(共15分)

解：(I)因为/(x)=xex

所以广(x)=(x+l)e1

所以/(o)=o,r(o)=i.

所以曲线丁=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=龙...............4分

(II)令/'(%)=0,得x=—1.

当xe(7,—1)时，/'(%)<。，/(可单调递减；

当xe(—1,+8)时，/'(x)>0，单调递增；

当x=—1时，/'(x)=0，"％)在％=—1时取得微小值.

所以函数/(X)的微小值为-：，不存在极大值...............9分

(III)g(x)=xex-lnx-x-m,其定义域为(0,+oo).

g'(x)=(x+1)ex---1=(x+l)(ex--),x+l>0.

XX

令/z(x)=e，_L〃(x)=e，+3>0,

所以/z(x)在(0,+8)上单调递增.

因为〃⑴〉0,/z(1)<0,所以比e(3,1),

当无e(O,尤0)时，7z(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减；

当无«无0，+°°)时，妆%)>0,即g'(x)>0,g