2024年中考数学二轮题型突破综合探究题（复习讲义）（学生版）

题型十一综合探究题（复习讲义）

【考点总结I典例分析】

（3要点1I纳

一、命题内容及趋势：

⑴从数量角度反映变化规律的函数类题型：

⑵以直角坐标系为载体的几何类题型：

⑶以“几何变换”为主体的几何类题型：

⑷以“存在型探索性问题”为主体的综合探究题：

⑸以“动点问题”为主的综合探究题：

二、需要注意的问题及建义：

⑴在复习中要更多关注“几何变换”，强化对图形变换的理解.

加强对图形的旋转、平移、对称多种变换的研究，对不同层次的学生进行分层拔高，使每一

个学生都有较大的提升空间.

⑵让学生参与数学思维活动，经历问题解决的整个过程。

复习中应多引导学生运用“运动的观点”来分析图形，要多引导学生学会阅读、审题、获取

信息，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，逐步提高学生的数学能力。

⑶要特别重视“函数图像变换型”问题教学的研究。

通过开展“函数图像变化”的专题教学，树立函数图像间相互转换的思维，尽量减少学生对

函数“数形”认知的欠缺，比如，平时渗透抛物线的轴对称、旋转等知识点。当某个函数图

像经过变换出现多个函数图像时，要引导学生从图形间的相互联系中寻找切入点，排除识图

的干扰，对图像所蕴含的信息进行横向挖掘和纵向突破，将“有效探索”进行到底。此类试

1

题考查的思路是从知识转向能力，从传统应用转向信息构建，这就提醒我们课堂上重要的不

是讲解，而是点拨、引导、提升，一定要从重视知识积累转向问题探究的过程，关注学生自

主探究能力的培养。

⑷突出数学核心概念、思想、方法的考查.

中学数学核心概念、思想方法是数学知识的精髓，也势必会成为考查综合应用能力的重要载

体，这包括方程、不等式、函数，以及基本几何图形的性质、图形的变化、图形与坐标知识

之间横纵向的联系，也包括中学数学中常用的重要数学思想.如：函数与方程思想、数形结

合、分类讨论思想很化归与转换思想。而数学基本方法是数学的具体表现，具有模式化和可

操作性，常用的基本方法有配方法、换元法、待定系数法、归纳法和割补法。

㊀典例解析

1.（2023•浙江绍兴•统考中考真题）在平行四边形/BCD中（顶点按逆时针方向排

⑴如图1,求45边上的高C3的长.

⑵P是边AB上的一动点，点同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C',D'.

①如图2,当点C，落在射线C4上时，求的长.

②当△/CD是直角三角形时，求5尸的长.

2.（2022•重庆市A卷）如图，在锐角△ABC中，NA=60。，点D,E分别是边AB,AC上一

动点，连接BE交直线CD于点F.

2

(1)如图1,若AB>AC,且BD=CE,ZBCD=ZCBE,求NCFE的度数；

(2)如图2,若AB=AC,且BD=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60。得到

线段CM,连接MF,点N是MF的中点，连接CN.在点D,E运动过程中，猜想线段BF,CF,

CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)若AB=AC,且BD=AE,将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP,

点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内

得到△QHK,连接PQ.在点D,E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK_LPF时，请

直接写出黑的值.

DU

3.(2023•甘肃武威•统考中考真题)【模型建立】

(1)如图1,“3C和都是等边三角形，点C关于4D的对称点尸在2。边上.

①求证：AE=CD;

3

②用等式写出线段/D,BD,。尸的数量关系，并说明理由.

［模型应用】

（2）如图2,"3C是直角三角形，AB=AC,CD1BD,垂足为。，点C关于4D的对称

点尸在8。边上.用等式写出线段BD,。尸的数量关系，并说明理由.

［模型迁移】

（3）在（2）的条件下，若/。=4逝，BD=3CD,求cos//用的值.

4.（2022•广东省深圳市）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将

△AEB沿BE翻折至BEF处，延长EF交CD边于G点.求证：△BFG/aBCG；

⑵探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6.将△AEB沿BE

4

翻折到4BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求AE

的长.

(3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6,E为CD边上的三等分点，ND=60。.将aADE

沿AE翻折得到aAFE,直线EF交BC于点P,求PC的长.

图①图②图③

5.(2023•湖北随州•统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:

给定不在同一条直线上的三个点B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位

置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里

拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

5

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”

中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处

填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)

当^ABC的三个内角均小于120°时,

如图1,将△2PC绕，点C顺时针旋转60。得到AHPC,连接PP,

由PC=PC,/尸CP=60。，可知△PCP为①三角形,故.PP=PC,又PA'=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',/在同一条直线上时，P/+P8+PC取最小值，如图2,最小

值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”，且有NAPC=ZBPC=AAPB=(3);

已知当小3C有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若

ABAC>120°,则该三角形的“费马点”为④点.

(2)如图4,在“BC中，三个内角均小于120。，且/C=3,3c=4,N/CB=30。，已知点P

为^ABC的“费马点”，求尸4+P8+PC的值；

A

(3)如图5,设村庄B,。的连线构成一个三角形，且已知

/C=4km,BC=2V3km,AACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向/,B,C三个村庄铺

设电缆，已知由中转站P到村庄N,B,C的铺设成本分别为a7L/km,a兀/km,亚0兀/km,

选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果用含°的式子表

示)

6

6.（2022•重庆市B卷）在△ABC中,ZBAC=90°,AB=AC=21/市D为BC的中点，E,F

分别为AC,AD上任意一点，连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转90。得到线段EG,连

接FG,AG.

（1）如图1,点E与点C重合，且GF的延长线过点B,若点P为FG的中点，连接PD,求PD

的长；

（2）如图2,EF的延长线交AB于点M,点N在AC上，NAGN=NAEG且GN=MF,求证:

AM+AF=V2AE；

（3）如图3,F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE,H为直线BC上一动点，连

接EH,将△BEH沿EH翻折至^ABC所在平面内，得到△B，EH,连接B，G,直接写出线段

B'G的长度的最小值.

7（2023・湖南•统考中考真题）（1）［问题探究］

如图1,在正方形/BCD中，对角线/C、8。相交于点。.在线段工。上任取一点尸（端点

除外），连接尸DPB.

7

图1

①求证：PD=PB;

②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处.当点P在线段AO

上的位置发生变化时，40尸。的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究么。与。尸的数量关系，并说明理由.

(2)［迁移探究］

如图2,将正方形48CD换成菱形48CD,且N48c=60。,其他条件不变.试探究工。与CP

的数量关系，并说明理由.

8.(2021•四川省达州市)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线

段做了如下探究：

8

图1图2

【观察与猜想】

(1)如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,DE1CF,

则"的值为;

(2)如图2,在矩形ABCD中,AD=7,CD=4,点E是AD上的一点,连接CE,BD,且CE1BD,

则案的值为;

bU

【类比探究】

(3)如图3,在四边形ABCD中，NA=NB=90。，点E为AB上一点，连接DE,过点C作

DE的垂线交ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F,求证：DE-AB=CF-AD；

图3图4

【拓展延伸】

(4)如图4,在RtaABD中，NBAD=90°,AD=9,tanNADB=*将△ABD沿BD翻折,

点A落在点C处得^CBD,点E,F分别在边AB,AD±,连接DE,CF,DE1CF.

①求颉勺值；

②连接BF,若AE=1,直接写出BF的长度.

9.(2023・湖南岳阳•统考中考真题)如图1,在AABC中，4B=4C,点、M,N分别为边AB,BC

的中点，连接儿W.

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初步尝试：（]）MN与NC的数量关系是,与/C的位置关系是.

特例研讨：（2）如图2,若NB/C=90。,3c=4后，先将ABMV绕点3顺时针旋转a（a为

锐角），得至U48跖，当点4及尸在同一直线上时，NE与BC相交于点。，连接CF.

（1）求N8C尸的度数；

（2）求CC的长.

深入探究：（3诺N8/C＜90。，将^BMN绕点B顺时针旋转a,得至!]△成尸，连接AE,CF.^

旋转角a满足0。＜。＜360。，点。,瓦厂在同一直线上时，利用所提供的备用图探究NR4E与

乙42歹的数量关系，并说明理由.

10.（2021•山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题:

如图①，在口48。£＞中，BEVAD,垂足为E,尸为的中点，连接£/，BF,试

10

猜想EE与5尸的数量关系，并加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将口4BCD沿着BF（/为C。的中点）所在

直线折叠，如图②，点C的对应点为C',连接。。并延长交48于点G,请判断NG与BG

的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将口45CD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对

应点为ZL使451CO于点〃，折痕交2。于点连接交3于点N.该

小组提出一个问题：若此口45CD的面积为20,边长48=5,BC=245,求图中阴影部

分（四边形的面积.请你思考此问题，直接写出结果.

11.（2023・湖北黄冈・统考中考真题）【问题呈现】

△C4B和ACDE都是直角三角形，NACB=NDCE=91,CB=mCA,CE=mCD,连接4D,

BE,探究4D,BE的位置关系.

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DD

常用图

(1)如图1,当m=l时，直接写出4。，BE的位置关系:

(2)如图2,当加N1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

【拓展应用1

(3)当加=，，出=4时，将ACDE绕点C旋转，使4。,E三点恰好在同一直线上,

求8E的长.

12.(2021•北京中考真题)在平面直角坐标系xQy中，。。的半径为1,对于点A和线段BC,

给出如下定义：若将线段绕点A旋转可以得到0。的弦BC(8',。分别是5,C的对

应点)，则称线段是。。的以点A为中心的“关联线段”.

12

(1)如图，点4综G，%G，83c的横、纵坐标都是整数•在线段4。1，32c2,骂03中,

。。的以点A为中心的“关联线段”是;

(2)4/台。是边长为1的等边三角形，点/(01),其中，W0.若5C是。。的以点A为

中心的“关联线段”，求才的值；

(3)在△45。中，AB=1,AC=2,若是。。的以点A为中心的“关联线段”，直接

写出0A的最小值和最大值，以及相应的BC长.

13.(2023•河北•统考中考真题)如图1和图2,平面上，四边形48co中，

48=8,8。=241,。。=12,。/=6,乙4=90。，点〃■在么。边上，S.DM=2.将线段绕

点M顺时针旋转«°(0<«<180)到MA；AA'MA的平分线MP所在直线交折线AB—BC于点

P,设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0),连接4尸.

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(1)若点尸在上，求证：A'P=AP;

(2)如图2.连接AD.

①求的度数，并直接写出当〃=180时，x的值;

②若点P到BD的距离为2,求tanAA'MP的值;

⑶当0<xw8时，请直援写出点H到直线的距离.(用含x的式子表示).

14.(2021•湖南中考真题)如图，在Rta/BC中，点P为斜边上一动点，将

沿直线/尸折叠，使得点3的对应点为玄，连接Z5‘，CB1,BB',PB'.

(1)如图①，若PB'14C,证明：PB'=AB'.

(2)如图②，若4B=4C,BP=3PC,求cos/B'/C的值.

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PC

（3）如图③，若乙4cB=30。,是否存在点P,使得4B=CB'.若存在，求此时三片的

BC

值；若不存在，请说明理由.

①