人教版八年级下册数学期末综合模拟测试卷1

人教版八年级下册数学期末综合模拟测试卷

（范围：全册，时间：120分钟，满分：120分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.在平行四边形ABCD中，ZA+ZC=100°,则的度数为（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

2.ABC中，NA、NB、/C的对边分别为，、b、c,下列条件中，不能判定ABC是直角三角形的是

()

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.(a+Z?)(«-Z?)=c2

C.ZA+NB=NCD.a:b:c=l：y/3:2

3.下列计算正确的是（）

A.712-73=73B.A/2+A/3=5/5

C.3+5/5=3^D.

4.如图，钓鱼竿AB的长为6m,露在水面上的鱼线3c长为2m.钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿A5

转到的位置，此时露在水面上的鱼线8c长为3亚m,则CC的长为（）

A.>/2mB.2及mC.6mD.2石m

5.4月23日是世界读书日.习近平总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正

当时,莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动.小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进

行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如下图）.下列说法中，正确的是（）

1

人数（人）

8

7

6

5

4

3

2

1

4阅读量（本）

A.小明这组共有14名同学B.本组同学4月份的课外阅读量的中位数是2.5

C.本组同学4月份的课外阅读量的众数是4D.本组同学4月份的课外阅读量的平均数是2.4

6.如图，梯形上底的长为8,下底长为X,高为10,梯形的面积为y,则下列说法不正娜的是（）

A.梯形面积y与下底长X之间的关系式为y=5尤+40

B.当，=40时，x=0,此时它表示三角形面积

C.当X每增加1时，?增加5

D.当x从15变到8时，＞的值从105变化到80

7.已知四边形A3CD是菱形，AC,3。相交于点。，下列结论正确的是（）

A.AO^BOB.菱形ABCD的面积等于ACBD

C.AC平分,54。D.若ZAOD=90。，则四边形ABCD是正方形

8.如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光

线所在直线的表达式分别为％=kAx,%=k2x,则关于kt与k2的关系，正确的是（

A.%>0,&<°B.仁<0,网>°C.拓1<层1D.«1>也1

2

9.对于任意的正数"z,"，定义运算※:加※〃=*,计算（5X3）x02X20）的结果为（)

y[m+-Jn(m<n)

A.4-4715B.2遥+2百C.4D.32

10.如图①，在矩形"MP。中，动点R从点N出发，沿着NfPfQfM方向运动至点M处停止.设点

R运动的路程为X,必尔的面积为y,如果y关于X的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是

c.y的最大值是10D.矩形MNP。的周长是18

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11.比较大小：4出375（填“>,<或="）.

12.如图，正方形A的面积为.

13.已知有一组正整数2,4,6,5,x,如果这组数据的中位数和平均数相等，那么x的值是.

14.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交A8,AD

于点/、N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点尸；③作射线AP,交边

8于点Q,若。Q=2QC,BC=4,则平行四边形ABC。周长为.

3

15.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图(1)所示的菱形，并测

得-3=60。，接着活动学具成为图(2)所示的正方形，并测得对角线AC=40,则图(1)中对角线AC的

长为.

,,4，

16.已知直线y=§x-4与无轴交于点A,与y轴交于点点C是y轴上一动点，是以A3为腰的等

腰三角形，则满足条件的点C的坐标为.

三、解答题(一)：本大题共4小题，每小题6分，共24分.

17.计算下列各题：

(1)2A/48-9^1+712

18.已知：一次函数>=辰+万伏，6是常数，左片0)的图象过M(l,0),N(0,2)两点.

⑴求该函数的表达式；

(2)试判断点P(~a,2“+2)是否在直线MN上？并说明理由.

19.如图，菱形A8CD的对角线AC、3。相交于点。,E是的中点，点RG在CO上，E尸人CD,OGEF.

⑴求证：四边形OEFG为矩形；

(2)若AD=10,EF=3,求OE和CG的长.

4

20.如图，A村和8村相距1500米，经过A村和8村(将A,8村看成直线/上的点)的笔直公路/旁有一

块山地正在开发，现需要在C处进行爆破.C处与8村的距离为1200米，C处与A村相距900米.

C

(1)判断爆破点C与4、2两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路/的距离；

(2)己知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需

要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由.

四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题8分，共24分.

21.某中学为全面普及和强化急救知识和技能，特邀某医疗培训团在全校开展了系列急救培训活动，并于

结束后在七、八年级开展了一次急救知识竞赛.竞赛成绩分为A、8、C、。四个等级，其中相应等级的

得分依次记为10分、9分、8分、7分.学校分别从七、八年级各抽取20名学生的竞赛成绩整理并绘制成如

下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题:

年级平均分中位数众数方差

七年级8.79a1.01

八年级8.7b91.175

5

七年级竞赛成绩统计图八年级竞赛成绩统计图

(1)根据以上信息可以求出：«=_,b=_,并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；

(2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；

(3)若该校七年级有800人、八年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该

校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少？

22.2024年4月23日是第29个世界读书日，某书店在“世界读书日”前夕购进A,8两类图书.已知购进4

本A类图书和3本6类图书共需260元；购进2本A类图书和5本B类图书共需270元.

(1)分别求A,8两类图书每本的进价.

⑵该书店计划用4000元全部购进A,8两类图书，设购进A类图书x本，3类图书y本.

①求》关于x的关系式；

②进货时，A类图书的购进数量不少于40.已知A类图书每本的售价为38元，3类图书每本的售价为45元

若书店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明如何进货才能使获得的利润最大，最大利润为

多少元？

23.如图1,四边形中，AD//BC,ADJ.AB,BDA.DC,E、尸分别为。C、上一点，G为DB

6

延长线上一点，DE=DF=GB,昉的延长线交A3于交ZM的延长线于点N,ZDBC=ZDGM,

DN=GM+BM.

⑴①求证/G=ZA£>G；

②试判断四边形NBCD的形状，并加以证明；

(2)如图2,过点M作VP〃AD,BF=】，MF=4g，求BG的长.

五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.

24.在正方形ABCD中，点E为射线AC上一点，连接DE,过点E作跖，DE交射线于点尸，以DE,EF

为邻边作矩形。班G,连接CG.

图1图2

(1)如图1,当点E在线段AC上时.

①求证：矩形。跳G是正方形；

②求证：CG=AC-CE；

⑵如图2,当点E在线段AC的延长线上时，正方形ABCD的边长为3,CE他,请直接写出GE的长.

7

25.如图，在平面直角坐标系中，长方形0LBC的顶点A,C分别在>轴和x轴上，。为坐标原点，B（5,4）,

。为0C上一点，且OD:OC=3:2,E为长方形Q4BC边上一动点（不与点A,。重合），作A关于直线OE

的对称点4.

D

备用图

（1）当4在y轴上时，4点的坐标为.

（2）当时，请求出直线。E的表达式;

（3）当ABC为以8C为直角边的直角三角形时，请直接写出点E的坐标.

8

答案解析

(范围：全册，时间：120分钟，满分：120分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.在平行四边形A3CD中，ZA+ZC=100°,则N3的度数为()

A.50°B.80°C.100°D.130°

【答案】D

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知/A与NC是对角，即可求出/A和/C的度数；再根

据与，A是邻角，即可求得—3.

【详解】解：如图：

•/四边形ABCD为平行四边形，

ZA+ZS=180°,ZA=ZC.

ZA+ZC=100°,

NA=50。，

ZB=130°.

故选D.

2.一ABC中，/4、ZB.NC的对边分别为。、b、c,下列条件中，不能判定一ABC是直角三角形的是

()

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.(a+b)(a-b)=c2

C.ZA+AB=Z.CD.a:b'.c=\:A/3:2

【答案】A

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理即可判断A、C；

如果三角形的三边长。，b,c满足/+〃=/,那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断B、D.

【详解】解：A、VZA+ZB+ZC=180°,ZA:ZB:ZC=3:4:5,

9

345

・・・ZA=180°x----------=45。，ZA=180°x-----------=60°,ZA=180°x-----------=75。，

3+4+53+4+53+4+5

・•・ABC不是直角三角形，符合题意；

B、V(a+Z?)(«-Z?)=c2,

222

a—b=cJ

a2=c2+b2，

・・・一抽。是直角三角形，不符合题意；

C、VZA+ZB=ZC,且ZA+NB+NC=180。，

・・・ZC=90°,

・•・是直角三角形，不符合题意；

D、9•*a:b:c=l:6:2，

・,•设〃=b=,c=2x,且X、+=%?+3/=©2=(2力2,

・•・一•。是直角三角形，不符合题意；

故选：A.

3.下列计算正确的是()

A.旧-石=6B.8+石=百

C.3+君=3«D.且夜=走

2

【答案】A

【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式的性质，合并同类二次根式法则，二次根式的除法法

则逐项判断即可.

【详解】解：A.712-73=273-^=73,原计算正确，符合题意；

B.0与否不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意；

C.3与石不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意；

D.巫+叵=拒,原计算错误，不符合题意；

故选：A.

4.如图，钓鱼竿A5的长为6m,露在水面上的鱼线5C长为2m.钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB

转到延，的位置，此时露在水面上的鱼线8C长为3行m,则CC的长为()

10

B

C.VJmD.2«m

【答案】A

【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理.

根据勾股定理进行计算即可得.

【详解】解：在中，AB'=6m,BC=2m,

根据勾股定理得，AC'=。AB'?-BC'。='6?一（3@2=30m

在RtABC中，AB=6m,BC=2m,

根据勾股定理得，AC=A/AB2-BC2=762-22=4A/2m,

：•CC=AC-AC=4垃-3母=母rn,

故选:A.

5.4月23日是世界读书日.习近平总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正

当时,莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动.小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进

行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如下图）.下列说法中，正确的是（）

01234阅读量（本）

A.小明这组共有14名同学B.本组同学4月份的课外阅读量的中位数是2.5

C.本组同学4月份的课外阅读量的众数是4D.本组同学4月份的课外阅读量的平均数是2.4

【答案】D

【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数，分别根据折线统计图和中位数、众数、平均数的

定义求解即可.

11

【详解】解：A、随机选取了1+2+4+6+2=15（名）同学，故该选项错误，不符合题意；

B、将数据从小到大排列，位于第8个位置的数为3,则中位数为3本，故该选项错误，不符合题意；

C、课外阅读量为3的出现次数最多，则众数为3,故该选项错误，不符合题意；

D、该组数据的平均数为（0xl+2xl+4x2+6x3+2x4H15=2.4（本），故该选项正确，符合题意，

故选：D.

6.如图，梯形上底的长为8,下底长为X,高为10,梯形的面积为y,则下列说法不氐斛的是（）

/10\

11_________X

1

A.梯形面积，与下底长龙之间的关系式为y=5x+40

B.当y=40时，x=0,此时它表示三角形面积

C.当x每增加1时，y增加5

D.当尤从15变到8时，V的值从105变化到80

【答案】D

【分析】本题考查了变量间的关系，正确理解题意是解题的关键.根据梯形面积公式得出y与x之间的关系;

结合关系式逐项分析即可得解.

【详解】解：A.•..梯形上底的长是8,下底的长是X,高是10,

梯形的面积y与下底长尤之间的关系式为：y=；（8+x）xl0=5x+40,该项正确，不符合题意；

B.当＞=40时，x=0,此时它表示三角形面积，该选项正确，不符合题意；

C.Vy=5^+40,

.•.当x每增加1时，y增加5,故该选项正确，不符合题意；

D.当x=15时，y=5x15+40=115,

当x=8时，,=5x8+40=80,

当x从15变到8时，V的值从115变化到80,故该选项错误，符合题意；

故选：D.

7.已知四边形ABCD是菱形，AC,3D相交于点。，下列结论正确的是（）

A.AO^BOB.菱形A3CZ）的面积等于AC8D

C.AC平分D.若ZAOD=90。，则四边形ABCD是正方形

【答案】C

12

【分析】本题考查了菱形的性质，熟记相关结论是解题关键.

【详解】解：如图所示：

:菱形的对角线互相垂直平分，

AO=CO,BO=DO

40=80不一定成立，故A错误；

菱形A8CD的面积=gxBOx（AO+CO）=；AC.2£）,

故B错误；

:菱形的对角线平分一组对角，

，AC平分NEW,故C正确；

,••菱形的对角线互相垂直平分，

4400=90。显然成立，

故D错误；

故选：C.

8.如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光

线所在直线的表达式分别为My2=k2x,则关于％与网的关系，正确的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得

到比例系数的关系.利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可

13

求解.

【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为相<0,的两个点A和8,

k[tn<k2m,

k1>k2,

当取横坐标为正数时，同理可得匕>后，

.V0,左2<0，

•"-IK|<|k2\,

故选：C

9.对于任意的正数相，”，定义运算※：加※〃=广:一，计算（5X3）x02X20）的结果为（）

+（m<〃）

A.4-4715B.2百+2百C.4D.32

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键.根据定义的新运算列出算式,

然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：

（5M）x（12X20）

=（君-石卜（夜+亚）

=（班-石卜（28+2君）

=2厉+10-6-2岳

=4,

14

故选：c.

10.如图①，在矩形中，动点R从点N出发，沿着NfP-QfM方向运动至点M处停止.设点

R运动的路程为x,一肱\次的面积为y,如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是

C.y的最大值是10D.矩形MNP。的周长是18

【答案】B

【分析】此题主要考查的是动点问题的函数图象，根据图②求出矩形的长和宽是解题的关键.根据图②可

知：PN=4,PQ=5,然后根据三角形的周长和面积公式求解即可.

【详解】解：由图象可知，四边形必由。的边长，PQ=MN=5,QM=NP=4,

A、当x=6时，点R在线段P。上，y=；x5x4=10,此选项正确，不符合题意；

B、当y=5时，点R在线段PN或。“上，x=2或x=H,此选项答案不全，符合题意；

C、y的最大值是10,此选项正确，不符合题意；

D、矩形MNP。的周长是5+4+5+4=18,此选项正确，不符合题意；

故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11.比较大小：3后（填“>,（或="）.

【答案】>

【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据/>届即可得到46>3

【详解】解：：48>45,

；.弧〉国,

/.46>3书,

故答案为：>,

15

12.如图，正方形A的面积为

【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方.根据勾

股定理即可解答.

【详解】解：根据题意可得："=644=36,

根据勾股定理可得：+°2=36+64=100,

13.已知有一组正整数2,4,6,5,x,如果这组数据的中位数和平均数相等，那么x的值是.

【答案】3或8

【分析】此题考查了中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间

的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，关键是根据中位数和平均数相等列出方程.根

据这组数据的中位数和平均数相等，分尤44和x25两种情况列方程求解即可.

【详解】

•••这组数据的中位数和平均数相等，

.,.当x44时，4=(2+4+6+5+%)+5,

解得：x=3.

当x25时，5=(2+4+6+5+x)+5,

解得：x=8.

故答案为3或8.

16

14.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交A8,AD

于点/、N；②分别以M、N为圆心，以大于g的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP,交边

2

8于点。，若。。=2QCBC=4,则平行四边形ABC。周长为.

【答案】20

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明AD=。。，求出8,即可求解.

【详解】解：由题意可得，A。平分一/MB,

.・.ZDAQ=ZBAQ,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

・・・DC//AB,

NDQA=ZBAQ,

.・.ZDAQ=ZDQA,

AD=DQ,

・・・DQ=2QC,

：.DQ=^DC=49

：.DC=6,

C"8=2x（4+6）=20,

故答案为：20.

【点睛】本题考查作图-角平分线、平行四边形的性质、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的作法是解题

的关键.

15.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测

得-3=60。，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC=40,则图（1）中对角线AC的

长为.

17

A

/\/—\

百BC

(I)(2)

【答案】200

【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及勾股定理，得出A5C是等边三角形是

解题关键.根据正方形的性质，利用勾股定理可求出AB=200,根据菱形的性质，结合-8=60。得出ABC

是等边三角形，即可得出答案.

【详解】解：在正方形ABCD中，?B90?,

AB2+CB2=AC2,

VAB=CB,AC=40,

2AB2=4()2,

AB=20A/2,

在菱形ABCD中，AB=CB=206，

'：4=60°,

，.ABC是等边三角形，

---AC=AB=20V2，

故答案为：2072

4

16.已知直线y=与无轴交于点A,与y轴交于点点C是y轴上一动点，ABC是以为腰的等

腰三角形，则满足条件的点C的坐标为.

【答案】(0,4)或(0,1)或(0,-9)

【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分AC为腰及8C为

腰两种情况，求出点C的坐标.利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A,8的坐标，在中，

利用勾股定理，可求出AB的长，分AC为腰及BC为腰两种情况考虑，当AC为腰时，利用等腰三角形的三

线合一，可得出0C的长，进而可得出点C的坐标；当BC为腰时，利用等腰三角形的性质，可得出BC的

长，结合点B的坐标，即可得出点C的坐标，综上所述，即可得出结论.

【详解】解：如图：

18

4

当％=0时，y--x0-4=-4

・,•点3的坐标为（0,-4）,

・•・05=4；

4

当y=0时，-x-4=0

解得：x=3,

点A的坐标为（3,0）,

OA=3.

在RtZ\AO3中，ZAOB=90°,OA=3,03=4,

AB=yJo^+OB2=732+42=5

当AC为腰时，0c=03=4,

.,.点C的坐标为（0,4）；

当BC为腰时，BC=BA=5,

又：点B的坐标为（O,T）,

点C的坐标为（0,1）或（0,-9）.

综上所述，满足条件的点C的坐标为（0,4）或（0,1）或（0,-9）.

故答案为：（0,4）或（0,1）或（0,-9）.

三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.

17.计算下列各题：

（1）2748-9^+712（2）（应一同+2^x3忘

19

【答案】⑴7百；

⑵5;

【分析】(1)本题考查二次根式的混合运算，先化简为最简二次根式，再合并即可得到答案；

(2)本题考查二次根式的混合运算及完全平方公式的运用，根据完全平方及乘法法则展开并化到最简即可

得到答案；

【详解】(1)解：原式=8/-3力+26

=7用；

(2)解：原式=2+3-2#+26

=5.

18.已知：一次函数y=履+)伏，6是常数，左二0)的图象过M(1,O),N(0,2)两点.

⑴求该函数的表达式；

(2)试判断点PJa,2“+2)是否在直线MN上？并说明理由.

【答案】⑴该函数的表达式为，=-2尤+2

⑵点尸(-a,2a+2)在直线上，理由见详解.

【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征.

(1)把%(0,2)分别代入〉=履+。，用待定系数法即可求出该函数的表达式；

(2)通过计算自变量为一。所对应的函数值可判断点尸(-。,2a+2)是否在直线上.

【详解】(1)解：把"(1,0),N(0,2)分别代入＞=履+6

k+b=0

得：

b=2'

[k=-2

解得,

[0=2、，

•••该函数的表达式为＞=-2尤+2；

(2)点P(-a,2a+2)在直线肋V上.

理由如下：

20

当x=-a[hj*,y=—2x(—a)+2=2a+2,

点尸(-。,2a+2)在直线肋V上.

19.如图，菱形ABCD的对角线AC、3D相交于点0,E是AD的中点，点F,G在8上，EF1CD,OGEF.

⑴求证：四边形OEFG为矩形；

(2)若AD=10,EF=3,求0E和CG的长.

【答案】(1)见解析；

(2)5,1.

【分析】(1)先根据两组对边分别平行证明四边形OEFG是平行四边形，再证明Z£FG=90。，从而证得结论;

(2)根据菱形的性质先求出CD,利用中位线定理求出OE,根据矩形的性质得出GF=OE,再利用勾股

定理求出即可求出CG.

【详解】(1)证明：：点0为菱形A3CD对角线AC、即的交点，

：.OA=OC,

:点E为边AD的中点，

OECD,

OE//GF,

OGEF,

•••四边形OEFG为平行四边形，

又EF_LDC,

：.ZEFG=90°,

，四边形OGFE为矩形；

(2)解：VAD=10,EF=3,

：.CD=AD=W,

：.OE=GF^-AD=5,

:四边形ABC。为菱形，点E为BC中点,

21

DE=-AD=5,

2

在Rt_EFD中，DF=4ED。-EF?=力守一学=4,

：.CG=CD-GF-DF=10-5-4=1.

【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直

角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形OERG为矩形是

解题的关键.

20.如图，A村和8村相距1500米，经过A村和B村(将A,3村看成直线/上的点)的笔直公路/旁有一

块山地正在开发，现需要在C处进行爆破.C处与8村的距离为1200米，C处与A村相距900米.

C

⑴判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路/的距离；

(2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需

要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由.

【答案】(1)爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形，爆破点C处到公路/的距离为720米；

⑵公路有危险而需要封锁，420米.

【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用.

(1)根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求得CD=720米;

(2)根据720米＜750米可以判断有危险，根据勾股定理求出DE,进而求出EF.

【详解】(1)解：在—ABC中，AB=1500米，AC=900米，3c=1200米，

，AB2=2250000，AC2+BC~=9002+12002=2250000,

AC2+BC2=AB2,

ABC是直角三角形，

如图，过C作8,45于£).

S=-ABCD=-BCAC,

板ARC22

.ACBC900x1200

AB1500

22

=720（米）.

答：爆破点C与A、8两村围成的三角形是直角三角形；爆破点C处到公路/的距离为720米;

（2）解:公路A3有危险而需要封锁.

理由如下：如图，以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点、E,F,连接CE,CF,

由于720米＜750米，故有危险,

因此A3段公路需要封锁.

EC=FC=750米，

ED=,7502-72（）2

=210（米），

故EF=420米，

则需要封锁的路段长度为420米.

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.

21.某中学为全面普及和强化急救知识和技能，特邀某医疗培训团在全校开展了系列急救培训活动，并于

结束后在七、八年级开展了一次急救知识竞赛.竞赛成绩分为A、8、C、。四个等级，其中相应等级的

得分依次记为10分、9分、8分、7分.学校分别从七、八年级各抽取20名学生的竞赛成绩整理并绘制成如

下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：

年级平均分中位数众数方差

七年级8.79a1.01

八年级8.7b91.175

23

七年级竞赛成绩统计图八年级竞赛成绩统计图

(1)根据以上信息可以求出：«=_,b=_,并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；

(2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；

(3)若该校七年级有800人、八年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该

校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少？

【答案】(1)9,8.5,见解析

(2)七年级更好，理由见解析

(3)估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人

【分析】本题考查了统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，熟练掌握统计图，三数的计

算公式是解题关键.

(1)首先根据题意求出七年级C组的人数，然后根据众数和中位数的概念求解，最后完成统计图的补充即

可.

(2)根据平均数，中位数和方差的意义求解即可；

(3)用总人数乘以优秀率即可得到人数.

【详解】(1)由七年级竞赛成绩统计图可得，

七年级C组的人数为：20-5-7-3=5(人)，

，七年级8组的人数最多，

...七年级的众数为a=9；

由八年级竞赛成绩统计图可得，

将20名学生的竞赛成绩从大到小排列，第10个数据在B组，第11个数据在C组，

；・中位数6=三9+8=8.5,

补充统计图如下：

24

七年级竞赛成绩统计图

(2)七年级更好，

理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，说明七年级一半以上人不低于9分，七

年级方差小于八年级方差，说明七年级的波动较小，

所以七年级成绩更好.

(3)解：800+700x(5%+45%)=830(人)，

答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人.

22.2024年4月23日是第29个世界读书日，某书店在“世界读书日”前夕购进A,8两类图书.已知购进4

本A类图书和3本8类图书共需260元；购进2本A类图书和5本B类图书共需270元.

(1)分别求A,B两类图书每本的进价.

⑵该书店计划用4000元全部购进A,8两类图书，设购进A类图书x本，B类图书》本.

①求》关于x的关系式；

②进货时，A类图书的购进数量不少于40.已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为45元

若书店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明如何进货才能使获得的利润最大，最大利润为

多少元？

【答案】(1)4类图书35元/本，B类图书40元/本.

711

⑵①尸-gx+100；②W=-KX+500，当购进A类图书40本，B类图书65本可获得最大利润445元.

88

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用;

(1)设A类图书每本。元，3类图书每本b元，根据题意建立二元一次方程组求解.

(2)①根据用4000元全部购进两类图书可求出函数关系式.

②先求W与x的函数关系式，再根据函数性质求最值.

【详解】(1)设A类图书每本。元，B类图书每本万元，由题意得：

25

4Q+3Z?=260

2。+58=270

J〃=35

[b=40

答：A类图书35元/本，g类图书40元/本.

（2）①・・,用4000元全部购进两类图书，

35x+40y=4000,

7

y=——x+100,

8

②由题意得：W=（38-35）x+（45-40）y

=3x+5（一：x+ioo]

=--x+500.

8

[7

——x+100>0

8,

x>40

.•.40X吗

7

V-—<0,

8

随x的增大而减小，

当尤=40时，%大=-Ux40+500=445（元）.

8

7

>y=100--x40=65（本）.

•1•当购进A类图书40本，B类图书65本可获得最大利润445元.

23.如图1,四边形A3CD中，AD//BC,ADJ.AB,BDLDC,E、尸分别为OC、八8上一点，G为DB

延长线上一点，DE=DF=GB,所的延长线交AB于交ZM的延长线于点MZDBC=ZDGM,

DN=GM+BM.

⑴①求证NG=ZADG；

26

②试判断四边形A®CD的形状，并加以证明；

（2）如图2,过点M作MP〃AD,BF=I,MF=4版,求3G的长.

【答案】（1）①证明见解析；②平行四边形，证明见解析

【分析】（1）①由平行线的性质可得=结合已知即可证明；

②在ON取一点X,使DH=GM,连接BH交NF于点K,可证」）EF是等腰直角三角形，

ZDFE=ZDEF=45°,证明一GEM二」血汨，得到NMRG=//©£）=45°,证明=4VKH=90°,

BK=KF,NHNK=NMBK可得HNK冬MBK,NK=BK=KF,2\8侬是等腰直角三角形，

/BNK=ZNBK=45。,得到NA®尸=90。，BN//CD,即可证明；

（2）过点M作A/Q_LPG,设3G=上=%,由勾股定理可得=/。=4,求得2。=3,BM=5,GQ=3+x,

证明=得至UMG=MP,PG=2GQ=6+2x,PB=6+2x-x=6+x,由勾股定理可得

MP'=PB2-BM2=MQ2+PQ2,求解即可.

【详解】（1）①证明：：AD〃3C,

ZADB=NDBC,

:NDBC=NDGM,

ZG=ZADG-,

②四边形A®CD是平行四边形，

证明如下：

如图，在。N上取一点X,使。H=GM,连接BH交NF于点、K,

,:DE=DF,BD±DC

是等腰直角三角形，ZDFE=ZDEF=45°,

'：DN=GM+BM,

：.NH=BM,

•/DF=GB,

27

:.DB=GF,

在和AGFM中，

GM=DH

<NG=ZHDB,

DB=GF

・・・GFM竺BDH(SAS),

：.ZMFG=ZHBD=45°,

:・BK=KF,/BKF=9伊,

：.ZBKM=ZNKH=9Q0,

：.4HNK=/MBK,

在△〃区和.mHK中，

ZHNK=ZMBK

<ZHKN=ZMKB=90°,

HN=BM

：.ZHNK也ZMBK(AAS),

JNK=BK=KF,

•••△5MV是等腰直角三角形，ZBNK=ZNBK=45°,

：.ZA®F=90°,

■:ZNBF=ZBDC=9V,

：.BN//CD,

■:ND〃BC,

・・・四边形NBCD是平行四边形；

(2)如图，过点加作尸G,设5G=。方=工，

・.・=45°

：.MQ=FQ,

28

•：MQ2+FQ1=MF2,MF=4亚,

：.MQ=FQ=4,

"：BF=J,

：.52=7-4=3,

BM=1MQ2+BQ2=，4?+32=5,GQ=BG+BQ=3+X,

'：MP//AD,

：.MP//BC,

NMPB=NPBC,

;ZG=/PBC,

：.ZMPB=NG,

：.MG=MP,PG=2GQ=6+2x,PB=6+2x-x=6+x,

MP2=PB2-BM-=MQ2+PQ2

（6+X）2-52=42+（3+X）2

7

解得尤=：,

7

/.BG=—.

3

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，

正确作辅助线是解题的关键.

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.

24.在正方形ABCD中，点E为射线AC上一点，连接DE,过点E作EFLDE交射线8c于点尸，以DE,EF

为邻边作矩形OEFG,连接CG.

图1图2

（D如图1,当点E在线段AC上时.

①求证：矩形。跳G是正方形；

29

②求证：CG=AC-CE；

⑵如图2,当点E在线段AC的延长线上时，正方形ABCD的边长为3,CE=&,请直接写出GE的长.

【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析；

（2）GE=A/34.

【分析】（1）①过点E作于P,EQL3C于。，证明得到£F=£D,根据

正方形的判定定理证明即可；

②根据三角形全等的判定定理证明△AED七△CGD,得到AE=CG,根据线段和差证明结论即可；

（2）证明一ADE丝aCDG,由全等三角形的性质得出钮=CG,NDCG=4MC=45。，证出NACG=90。，

由勾股定理可求出答案.

【详解】（1）①证明：作EPLCD于尸,EQ，3c于Q,

:在正方形ABCD中，AC是对角线，

ZDCA=ZBCA^45°,

VEP±CD,EQLBC

：.EQ=EP,

■:EFIDE,NPEC=45。

：.NDEF=90。,

NPED+NFEC=45°,

ZQEF+ZFEC=45°,

：.NQEF=APED,

EP=EQ,ZEQF=ZEPD=90°

RtEQ尸丝RtEPD(ASA),

，EF=ED,

:四边形OEFG矩形，EF=ED,

30

・・・四边形DEFG是正方形，

②证明：•・•四边形