天津市部分区2024届中考数学模拟预测题含解析

天津市部分区2024年中考数学模拟预测题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）

A.8B.9C.10D.11

2.如图，点A、B在数轴上表示的数的绝对值相等，且AB=4,那么点A表示的数是（）

AB

，*•***•*，

A.-3B.-2C.-1D.3

3.某市初中学业水平实验操作考试，要求每名学生从物理，化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小

强都抽到物理学科的概率是（）

1111

A.—B.—C.-D.—

9463

4.如图，在4ABC中，ZC=90°,将小ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN/7AB,

MC=6,NC=2g",则四边形MABN的面积是（）

A.6若B.12石C.1873D.24^/3

5.在数轴上表示不等式2（1-x）V4的解集，正确的是（）

6.如图，已知点A在反比例函数上，ACLx轴，垂足为点C,且AAOC的面积为4,则此反比例函数的表达式

X

为（）

4288

A.y——B.y——c.尸一D.y=----

XXx.x

7.如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与a与a相似的是（）

2

8.下列运算结果是无理数的是（)

A.B.V3xV2C.D-7132-52

9.如图，在热气球C处测得地面A、5两点的俯角分别为30。、45°,热气球C的高度CZ＞为100米，点A、。、5在

同一直线上，则两点的距离是（)

B.200G米C.220G米D.100(6+1)米

10.下列二次根式中,是最简二次根式的是（）

1

A.V48+/C.D.V03

11.如图，正方形ABCD的边长为女m,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达A点停

止运动；另一动点Q同时从B点出发，以lcm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动.设P点运动时

间为x（s）,ABPQ的面积为y（cm2）,则y关于x的函数图象是（）

12.若一元二次方程x2-2kx+k2=0的一根为x=-1,则k的值为()

A.-1B.0C.1或-1D.2或0

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y=x2(x>0)与丫2=、(xK>)于B、C两点，过点C作y轴的平

DE

行线交yi于点D,直线DE//AC,交y?于点E,则商〜

14.如图1,在RSABC中，NACB=90。，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿折线AC-CB运动，到点B停

止.过点P作PDLAB,垂足为D,PD的长y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图2所示.当点P运动

5秒时，PD的长的值为.

15.写出一个大于3且小于4的无理数：.

16.一般地，当a、0为任意角时，sin(a+0)与sin(a-0)的值可以用下面的公式求得：sin(a+p)=sina»cosp+cosa»sinp；

A/3V3

sin(a-p)=sina»cosp-cosa,sinp.例如sin90°=sin(60°+30°)=sin60°»cos300+cos600*sin30°=-------X--------+—X—=1.类

2222

似地，可以求得sinl5。的值是

17.因式分解：2m2-8n?=.

18.分解因式：9x3-18x2+9x=.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

19.(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=与一次函数.丫=-x+7的图像交于点A,

(1)求点A的坐标；

(2)设x轴上一点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧)，分别交y尤和y=-x+7的图像于

7_

点B、C,连接OC,若BC=§OA,求AOBC的面积.

20.(6分)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A(-6,0)和点B(4,0),与y轴的交点为C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是线段OA上一动点(不与点A重合)，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q,点D、M在线段AB上,

点N在线段AC上.

①是否同时存在点D和点P,使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；

②若NDCB=NCDB,CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标.

21.(6分)已知抛物线(38+1)x+b-3(a>0),若存在实数使得点P(加，m)在该抛物线上，我们称

点PCm,m)是这个抛物线上的一个“和谐点”.

(1)当。=2,6=1时，求该抛物线的“和谐点”；

(2)若对于任意实数心抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A、B.

①求实数。的取值范围；

②若点45关于直线产…4+1）对称，求实数方的最小值.

22.（8分）某同学用两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起（如图1）固定△ABC不动，将ADEF沿线段AB向

右平移.

（1）若NA=60。，斜边AB=4,设AD=x（0<x<4）,两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y,试求出y与x的函数关

系式；

（2）在运动过程中，四边形CDBF能否为正方形，若能，请指出此时点D的位置，并说明理由；若不能，请你添加

一个条件，并说明四边形CDBF为正方形？

23.（8分）如图，AABC是等腰直角三角形，且AC=BC,P是△ABC外接圆。O上的一动点（点P与点C位于直

线AB的异侧）连接AP、BP,延长AP到D,使PD=PB,连接BD.

（1）求证：PC〃BD；

（2）若。O的半径为2,ZABP=60°,求CP的长；

pA+PR

（3）随着点P的运动，_的值是否会发生变化,若变化，请说明理由；若不变，请给出证明.

24.（10分）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD.展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C

重合），折痕为EF,点B在AC上的对应点为M,设CD与EM交于点P,连接PF.已知BC=1.

（1）若M为AC的中点，求CF的长;

（2）随着点M在边AC上取不同的位置，

①4PFM的形状是否发生变化？请说明理由;

②求APFM的周长的取值范围.

A

25.(10分)在」ABC中，AB=BC=2,ZABC=120°,将AABC绕着点B顺时针旋转角a(0°<a<90°)得到AAiBC；

AiB交AC于点E,AiG分另Ij交AC、BC于D、F两点.

(1)如图L观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论.

(2)如图2,当a=30。时，试判断四边形BCDA的形状，并证明.

(3)在(2)的条件下，求线段DE的长度.

26.(12分)在△ABC中，ZACB=45°.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD,以AD为一边

且在AD的右侧作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC.如图①，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.

(2)如果ABWAC,如图②，且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立，为什么？

(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=40,BC=3,CD=x,求线段CP

的长.(用含x的式子表示)

k

27.(12分)如图，在平面直角坐标系九0y中，函数)=—(%>0)的图象与直线y=x—2交于点A(3,m).求k、m的值;

x

k

已知点P(n,n)(n>0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=-(彳>0)

x

的图象于点N.

①当n=l时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；

②若PNNPM,结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

y

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、A

【解题分析】

分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算.

详解：多边形的外角和是360。，根据题意得：

110°«(n-2)=3x360°

解得n=l.

故选A.

点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征.求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决.

2、B

【解题分析】

如果点A,B表示的数的绝对值相等，那么AB的中点即为坐标原点.

【题目详解】

解：如图，AB的中点即数轴的原点O.

根据数轴可以得到点A表示的数是-2.

故选：B.

【题目点拨】

此题考查了数轴有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点•确定数轴的原点是解决本

题的关键.

3、A

【解题分析】

作出树状图即可解题.

【题目详解】

解：如下图所示

小华物化生

小强物化生

一共有9中可能，符合题意的有1种，故小华和小强都抽到物理学科的概率是

故选A.

【题目点拨】

本题考查了用树状图求概率，属于简单题，会画树状图是解题关键.

4、C

【解题分析】

连接CD,交MN于E,

\,将AABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处,

.\MNJ_CD,且CE=DE./.CD=2CE.

VMN/7AB,ACD±AB./.ACMN^ACAB.

•%CMN

Q(CDJ4

°ACAB

.在ACMN中，ZC=90°,MC=6,NC=26，ASMifpN!?

62=5—xxy/~=y/~

2

•••徭/=鸵3=4义6"=1•

•••S四嘉温M阙AB^-SACMN=24旷一「=AT.故选c.

5、A

【解题分析】

根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数

轴上表示不等式的解集.2(l-x)<4

去括号得：2-2x<4

移项得：2x>-2,

系数化为1得：x>-l,

故选A.

“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边

都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

6、C

【解题分析】

由双曲线中k的几何意义可知SA。。=；阳，据此可得到闵的值；由所给图形可知反比例函数图象的两支分别在第一、

三象限，从而可确定k的正负，至此本题即可解答.

【题目详解】

VSAAOC=4,

••k=2S^AOC=8；

.8

••y=—；

X

故选c.

【题目点拨】

本题是关于反比例函数的题目，需结合反比例函数中系数k的几何意义解答；

7、B

【解题分析】

根据相似三角形的判定方法一一判断即可.

【题目详解】

解：因为AABJG中有一个角是135。，选项中，有135。角的三角形只有B,且满足两边成比例夹角相等，

故选：B.

【题目点拨】

本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

8、B

【解题分析】

根据二次根式的运算法则即可求出答案.

【题目详解】

A选项：原式=3x2=6,故A不是无理数；

B选项：原式=灰,故8是无理数；

C选项：原式=6,故C不是无理数；

D选项：原式=J(13—5)(13+5)=48x18=12,故。不是无理数

故选民

【题目点拨】

考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.

9、D

【解题分析】

在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45。，BD=CD=100米，再在R3ACD中求出AD的长，据此即可求出AB

的长.

【题目详解】

•.•在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45。，

.*.5Z>=CZ>=100米，

•.•在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30。，

.•.40=2x100=200米，

,40=A/2002-1002=10073米，

,\AB=AD+BD=100+10073=100(1+73)米，

故选D

【题目点拨】

本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.

10、B

【解题分析】

根据最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式判断即可.

【题目详解】

A>^/48=4若，不符合题意；

B、j/+y2是最简二次根式,符合题意；

c、收,不符合题意；

D、7o3=—.不符合题意；

io

故选B.

【题目点拨】

本题考查最简二次根式的定义.最简二次根式必须满足两个条件：（D被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得

尽方的因数或因式.

11、C

【解题分析】

试题分析：由题意可得BQ=x.

113,

①OWxSl时，P点在BC边上，BP=3x,贝!UBPQ的面积=—BP・BQ,解y=—・3x・x=—/；故A选项错误;

222

113

②1VXW2时，P点在CD边上，则ABPQ的面积=—BQ・BC,解y=—・x・3=—X；故B选项错误;

222

1193

③2VxW3时，P点在AD边上，AP=9-3x,则△BPQ的面积=—AP・BQ,解y=—・（9-3x）・x=—X-一%2；故D选

一2222

项错误.

故选C.

考点：动点问题的函数图象.

12、A

【解题分析】

把x=-1代入方程计算即可求出k的值.

【题目详解】

解：把x=-l代入方程得：l+2k+k2=0,

解得：k=-1,

故选：A.

【题目点拨】

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、5-75

【解题分析】

试题分析：本题我们可以假设一个点的坐标，然后进行求解.设点C的坐标为（1,-）,则点B的坐标为（或，

555

点D的坐标为（1,1）,点E的坐标为（石，1）,贝（JAB=9,DE=75-b则==5一6.

5AB

考点：二次函数的性质

14、2.4cm

【解题分析】

分析：根据图2可判断AC=3,BC=4,则可确定U5时BP的值，利用sin/5的值，可求出PD

详解：由图2可得，AC=3,BC=4,

.,.AB-^32+42-5,

当Z=5时，如图所示:

此时AC+CP^5,故BP=AC+BC-AC-CP=2,

,AC3

.sinZB=---=—,

AB5

36

/.PD-BP-sinXB-2x—=—=1.2（cm）.

55

故答案是：1.2cm.

点睛：本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，锐角三角函数等知识，解答本题的关键是根据图形得到AC、BC

的长度，此题难度一般.

15、如屈，兀等,答案不唯一.

【解题分析】

本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，因为3?=9,42=16,故而

9和16都是完全平方数，&5,而,疵，，都是无理数.

A/6-^2

l1Ko>--------•

4

【解题分析】

试题分析：sinl5°=sin（60°-45°）=sin600*cos450-cos600*sin45°=x-—x.故答案为―.

222244

考点：特殊角的三角函数值；新定义.

17、2(m+2n)(m-2n).

【解题分析】

试题分析：根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数2,进一步发现提

公因式后，可以用平方差公式继续分解.

解:2m2-8n2,

=2(m2-4n2),

=2(m+2n)(m-2n).

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

18、9x(x-l)2

【解题分析】

22

试题分析：首先提取公因式9x,然后利用完全平方公式进行因式分解.原式=9x(X-2X+1)=9X(X-1).

考点：因式分解

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)A(4,3)；(2)28.

【解题分析】

33

(1)点A是正比例函数>=与一次函数y=x+7图像的交点坐标，把y兀与y=-x+7联立组成方程组，方程组的

44

7

解就是点A的横纵坐标；(2)过点A作x轴的垂线，在R3OAD中，由勾股定理求得OA的长，再由BC=《OA求

得OB的长'用点P的横坐标a表示出点B、C的坐标'利用BC的长求得a值'根据九尸即可求得AOBC

的面积.

【题目详解】

3.

y=—xfx=4

解：(1)由题意得：4,解得,

“一+71I

点A的坐标为(4,3).

(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D,

在RtAOAD中，由勾股定理得，

OA=y/ob2+AD1=A/42+32=5

77

二BC=-OA=-x5=J.

55

337_

***P(a,0),B(a,—ci),C(a,-a+7)，•*•BC=—a—(—a+7)——a—7,

444

7

；・一a—7=7,解得a=8.

4

S.=-BC-OP=-x7x8=28.

IXnUDiiLC-22

1133

20、(1)y=--x2--x+3；(2)①点D坐标为(--,0)；②点M(-,0).

8422

【解题分析】

(1)应用待定系数法问题可解；

(2)①通过分类讨论研究△APQ和4CDO全等

②由已知求点D坐标，证明DN〃BC,从而得到DN为中线，问题可解.

【题目详解】

(1)将点(-6,0),C(0,3),B(4,0)代入y=ax?+bx+c,得

36a—6b+c=0

<16a+4b+c=0,

c=0

1

a=——

8

解得：<b=~—,

4

c=3

二抛物线解析式为：y=」x2-'x+3；

84

(2)①存在点D,使得△APQ和△CDO全等，

当D在线段OA上，NQAP=NDCO,AP=OC=3时，△APQ和^CDO全等，

/.tanNQAP=tanNDCO,

PC_OP

~OA~~OC，

.3_OD

••,

63

3

二点D坐标为(―,0).

2

3

由对称性，当点D坐标为(一，0)时，

2

由点B坐标为(4,0),

此时点D(23,0)在线段OB上满足条件.

2

②；OC=3,OB=4,

；.BC=5,

VZDCB=ZCDB,

；.BD=BC=5,

.\OD=BD-OB=1,

则点D坐标为(-1,0)且AD=BD=5,

；.NNDC=NDCB,

；.DN〃BC,

AN_AD

"2VCD5-，

则点N为AC中点.

•*.DN时AABC的中位线，

15

；DN=DM=-BC=—，

22

3

/.OM=DM-OD=-

2

3

...点M(-,0)

2

【题目点拨】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识.解答时，注

意数形结合.

21、(1)或(-1,-1)；(1)①2VaV17②》的最小值是1

223

【解题分析】

(1)把x=y=m,a=Lb=l代入函数解析式，列出方程，通过解方程求得m的值即可；

(1)抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A、B.则关于m的方程m=am1+(3b+l)m+b-3的根的判别式△=9b1-4ab+lla.

①令y=9b1.4ab+lla,对于任意实数b,均有y>2,所以根据二次函数y=9bi-4ab+ll的图象性质解答；

②利用二次函数图象的对称性质解答即可.

【题目详解】

(1)当。=1,>=1时，m=lm1+4m+l-4,

解得m=^或m--1.

2

所以点P的坐标是(一，一)或(T,-1);

22

(1)m=ami+(3ft+l)m+b-3,

△=9眇-4ab+lla.

①令y=9"-4而+11%对于任意实数儿均有y>2,也就是说抛物线y=9针-4仍+11的图象都在8轴(横轴)上方.

，△=(-4。)1-4x9xll«<2.

：.2<a<V7.

②由“和谐点”定义可设A(xi,ji),B(xi,ji),

贝!|修，xi是依I+(36+1)x+6-3=2的两不等实根，生土石=—亚土1.

22a

线段A5的中点坐标是：(-亚坦，-亚以).代入对称轴y=x-(二+1)，得

la2aa

3/7+13Z?+1,1、

-------=-------(丁1),

lalaa

••38+1=—+〃.

a

Va>2,->2,。•工=1为定值，

aa

••.6的最小值是

3

【题目点拨】

此题考查了二次函数综合题，其中涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与X轴的交点，一元二次方程与二

次函数解析式间的关系，二次函数图象的性质等知识点，难度较大，解题时，掌握“和谐点”的定义是解题的难点.

22、(1)y=闻4—x)-(0<x<4);(2)不能为正方形，添加条件：AC=BC时，当点D运动到AB中点位置时四边

8

形CDBF为正方形.

【解题分析】

分析：(1)根据平移的性质得到DF〃AC,所以由平行线的性质、勾股定理求得GD，^,BG=\_L,

所以由三角形的面积公式列出函数关系式；(2)不能为正方形，添加条件:AC=BC时，点D运动到AB中点时，四边形

CDBF为正方形；当D运动到AB中点时，四边形CDBF是菱形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推

知CD=，AB,BF=^DE,所以AD=CD=BD=CF,又有BE=AD,贝!!CD=BD=BF=CF,故四边形CDBF是菱形，根据有一内

22

角为直角的菱形是正方形来添加条件.

详解：(1)如图(1)

...NDGB=NC=90°,NGDB=NA=60°,NGBD=30°

y=SABDG=1X呼、虫0=①立.(0<X<4);

2228

(2)不能为正方形，添加条件：AC=BC时，当点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形.

VZACB=ZDFE=90°,D是AB的中点

.\CD=—AB,BF=—DE,

22

，CD=BD=BF=B，E,

VCF=BD,

，CD=BD=BF=CF,

二四边形CDBF是菱形；

VAC=BC,D是AB的中点.

/.CD±ABBPZCDB=90°

•.•，四边形CDBF为菱形，

二四边形CDBF是正方形.

点睛：本题是几何变换综合题型,主要考查了平移变换的性质，勾股定理,正方形的判定，菱形的判定与性质以及直角三角

形斜边上的中线.(2)难度稍大，根据三角形斜边上的中线推知CD=BD=BF=BE是解题的关键.

pA_i_PRPA+PRI—

23、(1)证明见解析；(2)#+0；(3)的值不变,=0

LL

【解题分析】

(1)根据等腰三角形的性质得到NABC=45。，ZACB=90°,根据圆周角定理得到NAPB=90。，得到NAPC=ND,根

据平行线的判定定理证明；

(2)作BHLCP,根据正弦、余弦的定义分别求出CH、PH,计算即可；

(3)证明ACBP^AABD,根据相似三角形的性质解答.

【题目详解】

(1)证明：•.'△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC,

.,.ZABC=45°,ZACB=90°,

.•.ZAPC=ZABC=45°,

；.AB为。O的直径，

...NAPB=90°,

VPD=PB,

...NPBD=ND=45。，

；.NAPC=ND=45。，

；.PC〃BD；

(2)作BHLCP,垂足为H,

VOO的半径为2,NABP=60。,

，BC=20,ZBCP=ZBAP=30°,ZCPB=ZBAC=45°,

在RtABCH中，CH=BC«cosZBCH=瓜,

BH=BC»sinZBCH=72，

在RtABHP中，PH=BH=72，

/.CP=CH+PH=V6+V2;

PA+PB

(3)的值不变,

PC

；NBCP=NBAP,ZCPB=ZD,

/.△CBP^AABD,

—AD=—AB=6厂，

PCBC

PA+PD「PA+PB「

•••-------------=叵，即an---------=72.

PCPC

【题目点拨】

本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的概念，掌握圆周角定理、相似三角形的判定

定理和性质定理是解题的关键.

3

24、(1)CF=-；(2)①△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，理由见解析；②4PFM的周长满足：2+2&

<(1+72)y<l+lV2.

【解题分析】

(1)由折叠的性质可知，FB=FM,设CF=x,则FB=FM=l-x,在RtACFM中，根据FM2=CF2+CM2,构建方程即

可解决问题；

(2)①△PFM的形状是等腰直角三角形，想办法证明△POFsaMOC,可得NPFO=NMCO=15。，延长即可解决问

题；

②设FM=y,由勾股定理可知：PF=PM=42y,可得△PFM的周长=(1+&)y,由2<yVI,可得结论.

【题目详解】

(1)•••"［为AC的中点，

11

/.CM=-AC=-BC=2,

22

由折叠的性质可知，FB=FM,

设CF=x,贝！JFB=FM=1-x,

在RtACFM中，FM2=CF2+CM2,即(1-x)2=x2+22,

33

解得，x=-,BPCF=-

22;

(2)①△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，

理由如下：由折叠的性质可知，NPMF=NB=15。，

；CD是中垂线，

.,.ZACD=ZDCF=15°,

ZMPC=ZOPM,

/.△POM^APMC,

.POOM

""PM~MC'

.MCOM

"PM~PO'

,/ZEMC=ZAEM+ZA=ZCMF+ZEMF,

，NAEM=/CMF,

VZDPE+ZAEM=90°,ZCMF+ZMFC=90°,ZDPE=ZMPC,

/.ZDPE=ZMFC,ZMPC=ZMFC,

VZPCM=ZOCF=15°,

.,.△MPC^AOFC,

.MPMC

"~OF~~OC'

.MCPC

"PM~OF'

.OMPC

"PO—OF'

VZPOF=ZMOC,

/.△POF^AMOC,

.,.ZPFO=ZMCO=15°,

...△PFM是等腰直角三角形；

②•••△PFM是等腰直角三角形，设FM=y,

由勾股定理可知：PF=PM=—y,

2

.♦.△PFM的周长=(1+V2)y.

V2<y<l,

.,.△PFM的周长满足：2+2拒V(1+72)y<l+lV2.

【题目点拨】

本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解

题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

25、(1)E\^FC.(2)四边形BCQA是菱形•(3)2-1A/3.

【解题分析】

(1)根据等边对等角及旋转的特征可得即可证得结论；

(2)先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再得到邻边相等即可判断结论；

(3)过点E作EGLAB于点G,解Rt_AEG可得AE的长，结合菱形的性质即可求得结果.

【题目详解】

(1)EA、=FC.

证明：(证法一)AB=BG:.ZA=ZC.

由旋转可知，AB=BG，NA=NG，/ABE=NC、BF

:BF=^CBE.

:・BE=BF,又AB=BQ,

:.N4=NC,A}B=CB,即EA^=FC.

(证法二)AB=BC,:.ZA=ZC.

由旋转可知，BA、-BE=BC-BF,而NEBC=NEBA

A^BF=CBE

：.BE=BF,：.BA—BE=BC-BF

即=FC.

(2)四边形BGOA是菱形.

证明：NA=NA网=30°,，4。洲A5同理ACMBC]

二四边形§GZ>4是平行四边形.

又AB=BCp四边形BQDA是菱形

(3)过点£作石于点E,则AG=5G=1.

在EGLAB中，

AE=-43

3

.由(2)知四边形5GzM是菱形，

/.AG=BG=1.

ED=AD-AE=2--yf3.

3

【题目点拨】

解答本题的关键是掌握好旋转的性质，平行四边形判定与性质，的菱形的判定与性质，选择适当的条件解决问题.

26、(1)CF与BD位置关系是垂直,理由见解析；(2)ABWAC时，CFLBD的结论成立，理由见解析；(