新高考物理一轮复习提升练习导学案第22讲 万有引力定律的综合应用（解析版）

第22讲万有引力的综合应用第22讲万有引力的综合应用学习目标学习目标明确目标确定方向双星问题赤道上物体，近地卫星同步卫星的比较天体的追及相遇问题信号传播和遮挡问题【知识回归】回归课本夯实基础一双星问题1.向心力大小相等：两颗恒星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两恒星做匀速圆周运动的向心力大小相等。2.周期和角速度相等：两颗恒星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的。3半径关系：（1）两颗恒星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L（2）半径与质量成反比二．三星模型1.直线型：如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：eq\f(Gm2,r2)＋eq\f(Gm2,2r2)＝ma两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。2正三角形：如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。eq\f(Gm2,L2)×2×cos30°＝ma其中L＝2rcos30°。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。【典例分析】精选例题提高素养【例1】．印度尼西亚一中学生特别喜欢用天文望远镜仰望星空，有一次他对准某一方向观察了很长时间，发现一颗人造卫星A始终“静止不动”，另一颗人造卫星B从视野中的西方而来，“越过”卫星A，最终消失于视野中的东方。设该中学生、卫星A、卫星B的加速度分别为a人、aA、aB，下列关系式正确的是（）A．a人>aA>aB B．a人<aA<aB C．a人<aA>aB D．a人>aA<aB【答案】B【详解】通过情景分析可知，该中学生观察星空时位于赤道上卫星A是同步卫星，卫星B比卫星A运动更快，就中学生和同步卫星面言，做圆周运动的角速度相同，根据SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0就两卫星而言，均是地球施加给它们的万有引力提供向心力，由SKIPIF1<0可知卫星A的运行半径大于卫星B，再由SKIPIF1<0即有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0故B正确，ACD错误。故选B。【例2】某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有T时间会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看做平行光，则下列说法正确的是（）A．宇宙飞船离地球表面的高度为2RB．一天内飞船经历“日全食”的次数为C．宇航员观察地球的最大张角为120°D．地球的平均密度为ρ=【答案】D【解析】A．由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过角，所需的时间为由于字航员发现有时间会经历“日全食”过程，则：SKIPIF1<0所以设宇宙飞船离地球表面的高度h，由几何关系可得SKIPIF1<0可得选项A错误；B．飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，而地球自转一圈时间为T0，得一天内飞船经历“日全食”的次数为SKIPIF1<0选项B错误；C．设宇航员观察地球的最大张角为，则由几何关系可得SKIPIF1<0可得选项C错误；D．根据万有引力提供向心力，有解得又所以地球的平均密度SKIPIF1<0选项D正确。故选D。【例3】．西汉时期，《史记·天官书》作者司马迁在实际观测中发现岁星呈青色，与“五行”学说联系在一起，正式把它命名为木星。如图甲所示，两卫星Ⅰ、Ⅱ环绕木星在同一平面内做圆周运动，绕行方向相反，卫星Ⅲ绕木星做椭圆运动，某时刻开始计时，卫星Ⅰ、Ⅱ间距离随时间变化的关系图象如图乙所示，其中R、T为已知量，下列说法正确的是（）A．卫星Ⅲ在M点的速度小于卫星Ⅰ的速度B．卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为SKIPIF1<0C．卫星Ⅰ的运动周期为TD．绕行方向相同时，卫星Ⅰ、Ⅱ连续两次相距最近的时间间隔为SKIPIF1<0【答案】C【详解】A．过M点构建一绕木星的圆轨道，该轨道上的卫星在M点时需加速才能进入椭圆轨道，根据万有引力定律有SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0则在构建的圆轨道上运行的卫星的线速度大于卫星Ⅰ的线速度，根据以上分析可知，卫星Ⅲ在M点的速度一定大于卫星Ⅰ的速度，A错误；BC．根据题图乙可知，卫星Ⅰ、Ⅱ间的距离呈周期性变化，最近为3R，最远为5R，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又根据两卫星从相距最远到相距最近有SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，根据开普勒第三定律有SKIPIF1<0联立解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B错误，C正确；D．运动方向相同时卫星Ⅰ、Ⅱ连续两次相距最近，有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0D错误。故选C。【例4】如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。(1)求两星球做圆周运动的周期。(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者的平方之比。(结果保留3位小数)【答案】(1)2πeq\r(\f(L3,GM＋m))(2)1.012【解析】(1)A和B绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等，且A、B的中心和O点始终共线，说明A和B组成双星系统且有相同的角速度和周期。设A、B做圆周运动的半径分别为r、R，则有mω2r＝Mω2R，r＋R＝L联立解得R＝eq\f(m,M＋m)L，r＝eq\f(M,M＋m)L对A，根据牛顿第二定律和万有引力定律得eq\f(GMm,L2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2eq\f(M,M＋m)L解得T＝2πeq\r(\f(L3,GM＋m))。(2)由题意，可以将地月系统看成双星系统，由(1)得T1＝2πeq\r(\f(L3,GM＋m))若认为月球绕地心做圆周运动，则根据牛顿第二定律和万有引力定律得eq\f(GMm,L2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)))2L解得T2＝2πeq\r(\f(L3,GM))所以T2与T1的平方之比为eq\f(T22,T12)＝eq\f(M＋m,M)＝eq\f(5.98×1024＋7.35×1022,5.98×1024)＝1.012。【巩固练习】举一反三提高能力1．2023年1月9日天文学家发现有史以来距离最近的两个黑洞，相距750光年，设质量大的为A，质量小的为B，它们在彼此之间的引力作用下互相环绕，周期相等，如图所示，不考虑其它星体对它们的作用，下列说法正确的是（）A．A、B组成的系统能量守恒，动量不守恒B．A、B的速度之比等于它们质量之比C．若A、B的间距增大，则周期减小D．若A、B因吞噬物质质量都增大而其中心间距不变，则它们的角速度增大【答案】D【详解】A．A、B组成的系统不受外力，能量和动量都守恒，故A错误；B．周期相等则角速度相等，相互作用的万有引力充当向心力，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即速度之比等于质量之反比，故B错误；C．对A黑洞，有SKIPIF1<0对B黑洞，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0联立可得SKIPIF1<0若A、B的间距L增大，则周期T一定增大，故C错误；D．当A、B因吞噬物质质量都增大时，则周期T减小，根据周期与角速度的关系SKIPIF1<0可知，角速度增大，故D正确。故选D。2．科学家通过研究双中子星合并的引力波，发现：两颗中子星在合并前相距为SKIPIF1<0时，两者绕连线上的某点每秒转SKIPIF1<0圈；经过缓慢演化一段时间后，两者的距离变为SKIPIF1<0，每秒转SKIPIF1<0圈，则演化前后（）A．两中子星运动周期为之前SKIPIF1<0倍 B．两中子星运动的角速度为之前SKIPIF1<0倍C．两中子星质量之和为之前SKIPIF1<0倍 D．两中子星运动的线速度平方之和为之前SKIPIF1<0倍【答案】C【详解】A．合并前相距为SKIPIF1<0时，周期SKIPIF1<0缓慢演化一段时间后，周期SKIPIF1<0故A错误；B．角速度之比即转速之比，两中子星运动的角速度为之前SKIPIF1<0倍，故B错误；C．对SKIPIF1<0，根据万有引力提供向心力SKIPIF1<0对SKIPIF1<0，根据万有引力提供向心力SKIPIF1<0得SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0转速之比为p且距离变为SKIPIF1<0，所以总质量SKIPIF1<0故C正确；D．根据SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0只有当M=m时SKIPIF1<0两者的距离变为SKIPIF1<0时，线速度平方之和为之前SKIPIF1<0倍，但现在质量关系不确定，则线速度平方之和不一定为之前SKIPIF1<0倍，故D错误。故选C。3．如图所示为一三星系统和一四星系统。三星系统为质量均为m1的三个天体，三个天体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。四星系统为质量均为m2的四个天体，其中三个天体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，第四个天体位于等边三角形的中心。若两系统圆周运动的周期相同，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】对三星系统分析，任意两个天体之间的万有引力SKIPIF1<0对任意一个天体，受力分析，可得合力为SKIPIF1<0由几何关系可得运动的半径为SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0根据合力提供向心力，则有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0对四星系统，处在三个顶角上的任意两个天体之间的万有引力SKIPIF1<0处于等边三角形的中心天体会对顶角上的任一个天体有万有引力作用，则有SKIPIF1<0故顶角上的任一个天体的合力为SKIPIF1<0则对顶角上的任一个天体，其所受的合力提供向心力，轨道半径仍为r，则有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0故选C。4．环顾太阳系，目前科学家认为“土卫六”可能是人类最宜居的地外天体，生命会得以存活。“土卫六”可看成半径为R的质量均匀球体，其质量为M，它的自转周期为SKIPIF1<0。设想人造飞船贴近“土卫六”做匀速圆周运动一周的时间为T，引力常量为G，下列说法正确的是（）A．“土卫六”自转周期SKIPIF1<0等于人造飞船贴近“土卫六”做匀速圆周运动的周期TB．“土卫六”赤道上静止物体的加速度大于人造飞船贴近“土卫六”做匀速圆周运动的加速度C．“土卫六”天体的密度为SKIPIF1<0D．“土卫六”天体的密度为SKIPIF1<0【答案】C【详解】A．设人造飞船的质量为m，根据牛顿第二定律得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0设“土卫六”赤道上静止物体的质量为SKIPIF1<0，表面加速度为g，根据牛顿第二定律得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故A错误；B．对人造飞船分析，由牛顿第二定律得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0对“土卫六”赤道上静止的物体分析，表面加速度为g，由牛顿第二定律得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故B错误；CD．对人造飞船分析，由牛顿第二定律得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0“土卫六”的体积SKIPIF1<0“土卫六”的密度SKIPIF1<0故C正确，D错误。故选C。多选5．近年来，科学家们发现茫茫宇宙中，有双星系统，三星系统。设想有两个相距L1、质量均为m1的星球在相互引力作用下，绕其中心做匀速圆周运动，运动速度大小为v1，角速度为ω1；另有三个分别相距L2、质量均为m2的星球构成等边三角形，三个星球在相互引力作用下，绕其中心做匀速圆周运动，运动速度大小为v2，角速度为ω2，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【详解】对双星系统，若星球质量相等，则运动的轨道半径相等，角速度相等，相速度相等，如图所示根据万有引力提供向心力，有SKIPIF1<0解得角速度为SKIPIF1<0线速度为SKIPIF1<0对三星系统，三星的质量相等，轨道半径相等，角速度相等，线速度相等，如图所示根据几何关系有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0根据万有引力提供向心力，有SKIPIF1<0解得角速度为SKIPIF1<0所以线速度为SKIPIF1<0所以角速度之比为SKIPIF1<0线速度之比为SKIPIF1<0故选AC。多选6．如图，A，B两颗人造地球卫星绕地球做圆轨道环绕，图中时刻地心与A的连线OA和地心与B的连线OB互相垂直。若已知地球对A，B两颗星的张角为分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，卫星B的周期为T。下列说法正确的是（）A．A，B两颗星的轨道半径之比为1:4B．若两颗星均按图中顺时针方向转动，则至少经过SKIPIF1<0两星相距最远C．若两颗星均按图中逆时针方向转动，则再经过SKIPIF1<0两星相距最近D．若两颗星均按图中逆时针方向转动，则再经过2T两星相距最近【答案】BD【详解】A．根据几何关系有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0A错误；B．若两颗星均按图中顺时针方向转动，令则至少经过SKIPIF1<0两星相距最远，则有SKIPIF1<0根据开普勒第三定律有SKIPIF1<0结合上述解得SKIPIF1<0B正确；CD．若两颗星均按图中逆时针方向转动，令则至少经过SKIPIF1<0两星相距最近，则有SKIPIF1<0（n=1，2，3…）结合上述解得SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0不符合题意，若SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0符合题意，C错误，D正确。故选BD。多选7．如图所示，地球的两颗卫星A、B所在圆轨道均与赤道共面，地球半径、卫星A轨道半径、卫星B轨道半径之比为SKIPIF1<0。初始时A、B、地心三者共线，A、B间无遮挡物时，A、B可保持通讯，已知A、B绕行方式相同，A的运行周期约为100min，B的运行周期约为225min。下列说法正确的是（

）A．从初始时刻起，B运行的5个周期内，A、B、地心三者再次共线12次B．从初始时刻起，B运行的5个周期内，A、B、地心三者再次共线13次C．从初始时刻起，A运行的1个周期内，A、B间不能通讯的时间约为60minD．从初始时刻起，A运行的1个周期内，A、B间不能通讯的时间约为55min【答案】AD【详解】AB．设从图示时刻到A、B下次共线所需的时间为t，则有SKIPIF1<0解得t=90min则从初始时刻起，B运行的5个周期内，即1125min内，A、B、地心三者再次共线12次。故A正确，B错误；CD．将B作为参考系，则A相对B的角速度为SKIPIF1<0画出A、B不能通讯的示意图，如图所示，根据几何关系可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0则从初始时刻起，A运行的1个周期内，根据示意图可知，A、B间转过的角度差小于等于90°或大于等于270°时能通讯，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得不能通讯的时间为55min。故C错误，D正确。故选AD。多选8．2021年10月，中国发射了首颗太阳探测科学技术试验卫星——羲和号，用于实现太阳H波段光谱成像的空间探测，该卫星轨道为圆轨道，通过地球南北两极上方，离地高度约为517km。如图所示，a为羲和号，b为地球同步卫星，c为赤道上随地球一起转动的物体。已知地球半径约为6400km，下列说法正确的是（）A．a的发射速度大于第二宇宙速度 B．a、b、c的线速度大小关系为SKIPIF1<0C．a的向心加速度大于c的向心加速度 D．a的运行周期小于24h【答案】CD【详解】A．a没有摆脱地球的万有引力作用，所以发射速度小于第二宇宙速度，故A错误；BCD．设地球质量为M，质量为m的卫星绕地球做半径为r、线速度为v、周期为T、向心加速度为a的匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有SKIPIF1<0①解得SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0

④根据②式可知SKIPIF1<0根据③式可知SKIPIF1<0根据④式可知SKIPIF1<0b和c的周期相同，所以角速度相同，根据SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0根据SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0则a、b、c的线速度大小关系为SKIPIF1<0向心加速度大小关系为SKIPIF1<0故B错误，CD正确。故选CD。9、宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船与地心的距离为地球半径的2倍，飞船圆形轨道平面与地球赤道平面重合。由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程。如图所示。已知地球表面重力加速度为g，近似认为太阳光是平行光，试估算：(1)飞船做匀速圆周运动的周期；(2)飞船绕地球一周，“日全食”的时间。9【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据万有引力等于向心力和在地球表面重力等于万有引力列式可求解出卫星周期；（2）根据几何关系，确定不能接受太阳光的角度，即可求出“日全食”的时间。（1）飞船做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律：又有由以上两式可得（2）如图当飞船在阴影区时不能接受阳光，据几何关系：飞船转过圆心角可得解得：10．在科幻题材的电影或动画中，经常提到太空电梯，建造太空电梯需要高强度的材料，目前纳米材料的抗拉强度几乎比钢材还高出100倍，使人们设想的太空电梯成为可能。其工作原理是从同步卫星高度的太空站竖直放下由纳米材料做成的太空电梯，另一端固定在赤道上，这样太空电梯随地球一起旋转，如图甲所示。当航天员乘坐太空电梯时，图乙中r为航天员到地心的距离，R为地球半径，a－r图像中的图线A表示地球引力对航天员产生的加速度大小与r的关系，图线B表示航天员在太空电梯中随地球同步旋转所需要的向心加速度大小与r的关系，下列说法正确的是（

）A．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心的距离成反比B．航天员在r＝R处的线速度大小等于第一宇宙速度C．图中SKIPIF1<0为地球同步卫星的轨道半径D．电梯舱在SKIPIF1<0处的站点时，航天员处于完全失重状态10【答案】CD【详解】A．太空电梯随地球一起旋转，角速度恒定，根据SKIPIF1<0可知太空电梯上各点线速度与该点离地球球心的距离成正比，