新高考数学复习考点知识讲解与练习：抛物线(二)

新高考数学复习考点知识专题讲解与练习

专题60抛物线(二)

一、单项选择题

1.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为120。的直线与抛物线C交于A

,B两点，若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=4小，则抛物线C的

准线方程为()

3

A.x=­1B.x=­2C.x=—D.x=—3

2.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线与y轴交于点A,点M(l,yo)

在抛物线C上，|MF|=翠，则tanNFAM=()

2554

A-5B2C-4D5

3.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,点A@,a)

(a>0)在C上，|AF|=3.若直线AF与C交于另一点B,则|AB|的值是()

A.12B.10C.9D.4.5

4.若抛物线y=4x2上一点到直线y=4x—5的距离最短，则该点的坐标是()

A41)B.(0,0)C.(1,2)D.(1,4)

5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(xi,yi),B(X2,y2),则

票|的值一定等于

A.-4B.4C.p2D.一p?

6.已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x—4交于A,B两点(点A在点B下方)，焦点为F,则

cosZAFB=

4334

A-5B5C-D--5

2

7.（2018•课标全国I）设抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点（一2,0）且斜率为]

的直线与C交于M,N两点，则由I.卡=（）

A.5B.6C.7D.8

8.（2021•石家庄市质

检）已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F和抛物线上一点M（2,2陋）的直线1交抛物线于

另一点N,则|NF|：|FM|等于（）

A.1：2B.1：3C.l：y[2D.1：^3

9.（2021•衡水中学调

研）已知抛物线y2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（xi,yi）,B（X2,y2）两个不

同的点，则yJ+yz?的最小值为（）

A.12B.24C.16D.32

10.（2021・石家庄市模

拟）过抛物线y2=4x的焦点的直线1与抛物线交于A,B两点，设点M（3,0）.若AMAB的

面积为RL则|AB|=（）

A.2B.4C.2小D.8

二、多项选择题

11.（2021•山东高考实战演练仿真

卷）已知抛物线x?=4y的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A（xi,yi）,B（X2,y2）,点A

,B在抛物线准线上的射影分别为Ai,Bi,以下四个结论中正确的是（）

A.xiX2=_4B.|AB|=yi+y2+1

C.ZA1FB1=^D.AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2

12.（2021•山东高考统一模

拟）设M,N是抛物线y2=x上的两个不同的点，O是坐标原点.若直线OM与ON的斜率之

积为一；，则（）

A.|OM|+|ON|N4、「B.以MN为直径的圆的面积大于4兀

C.直线MN过定点（2,0）D.点O到直线MN的距离不大于2

三、填空题与解答题

13.（2021•山东高考统一模

拟）已知抛物线y2=2px（p>0）与直线1：4x—3y—2p=0在第一、四象限分别交于A,B两点

,F是抛物线的焦点，若府尸川Ffi|,则入=.

14.（20204|^州质

检）设抛物线y2=16x的焦点为F,经过点P（l,0）的直线1与抛物线交于A,B两点，且2强

=云，则|AF|+2|BF|=.

15.（2021・四川遂宁市高三三

诊）已知点M（0,2）,过抛物线y2=4x的焦点F的直线AB交抛物线于A,B两点，若直面•

而1=0,则点B的纵坐标为.

16.（2021•广西柳州模

拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.

⑴若#=3由，求直线AB的斜率；

（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为点C,求四边形OACB面积的最

小值.

国重点班•选做题.

17.（2021•八省联

考）已知抛物线y2=2px上三点A（2,2）,B,C,直线AB,AC是圆（x—2>+y2=1的两条

切线，则直线BC的方程为（）

A.x+2y+l=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

x21

18.（2019•课标全国HI）已知曲线C：y=下，D为直线y=—/

上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A,B.（l）证明：直线AB过定点；

（2）若以E（0,|）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.

参考答案

1.答案D解析设A（xi,yi）,B（X2,y2）,由抛物线C的焦点为g,0）,知AF,BF的

中点的纵坐标分别为9苧，则|MN|=专一斗=；卜2—yi|=44，所以|y2—yi|=84.由

题意知直线AB的方程为丫=—小（x—习，与抛物线方程y2=2px联立消去x,得y=一

4•仔即/y?+2py—小p2=0,所以yi+y2=-一1’yiy2=~P2,于是由Iy2—yi|

=84，得（yz+yip—4yiy2=192,所以］—用）+4p2=192,解得p=6,§=3，所以抛物

线C的准线方程为X=-3.故选D.

2.答案D解析过点M向抛物线的准线作垂线，垂足为N,则|MN|=yo+^=

^故yo=2p.又M(l,yo)在抛物线上，故yo=*于是2P=5，解得p=J,

5IANI4

.'.|MN|=a，/.tanNFAM=tanNAMN=j^M=5.故选D.

3.答案C解析结合抛物线的性质可得£+5=3,解得P=4,所以抛物线方程为y2=

8x,所以点A的坐标为(1,2^2),所以直线AB的方程为y=-2[i(x—2),代入抛物线

方程，计算B的坐标为(4,—4、”)，所以|AB|=N(xl—x2)2+(yl—y2)2=9.故选

C.

4.答案A解析设与直线y=4x—5平行的直线为y=4x+m,由平面几何的性质可知，

抛物线y=4x2上到直线y=4x—5的距离最短的点即为直线y=4x+m与抛物线相切的

点.而对y=4x2求导得y，=8x,又直线y=4x+m的斜率为4,所以8x=4,得x=g,

此时丫=4乂8=1,即切点为1),故选A.

5.答案A解析①若焦点弦AB_Lx轴，则XI=X2=2,则xiX2=^,yiy2=-p2,则兴!

=一4.②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设直线AB：y=k[x—5),联立y?=2px得lAc?

一(k2P+2p)x+。券=0,则xiX2=^\•；yi2=2pxi,y22=2px2,y12y22=4p2xiX2=p4.X

,；yiy2<0,...yiy2=—p2.故票|=一4.故选A.

6.答案D解析,抛物线C：y2=4x的焦点为F,.•.点F的坐标为(1,0).又,直线y

=2x—4与C交于A,B两点(点A在点B下方)，，A,B两点坐标分别为(1,—2),(4,

FXFft—84

4),则FA=(O,-2),FS=(3,4),/.cosZAFB=­：—=后=一不故选D.

|FA|.|Ffi|iU)

22

7.答案D解析过点(一2,0)且斜率为]的直线的方程为y=§(x+2),由

y=7(x+2)

得x?—5x+4=0,设M(xi,yi),N(X2,y2),则yi>0,y2>0,根据根与

、y2=4x,

系数的关系，得XI+X2=5,XIX2=4.易知F(l,0),所以由=(xi—1,yi),H^=(X2—1,

y2),所以而I,FT^=(xi—1)-(X2-l)+yiy2=xiX2—(xi+x2)+l+4-\/xlx2=4—5+l+8=8.

故选D.

8.答案A解析方法一：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),M(2,2也)，.•.直

lfy2=4x,

线1的方程为y=2啦(x—l).由彳r得2X2—5X+2=0,解得*=2或*=

ly=2^/2(x—1),

113

点N的横坐标为亍•.•抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,.•.[NF|=],|MF|=3,/.

|NF|：|MF|=1：2.故选A.

方法二：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),M(2,2陋)，...直线1的方程为y=2、「

y2=4x,广l

(x-1).由厂，、得y?—/y—4=0,解得y=2吸或y=—也，点N的

(y=2y/2(x—1),

纵坐标为一也.过点M作MM'轴，垂足为M',过点N作NN'轴，垂足为N',

则△乂乂'F^ANNZF,?.|NF|：|MF|=|NN,|：|MMZ|=|-^2|：2^2=1：2.故选A.

方法三：：M(2,2限)是抛物线上的点，且抛物线y2=4x的准线方程为x=—1,，|MF|

1123

=3•又丽+丽=0=1，，|NF|=5，，|NF|：|MF|=1：2.故选A.

9.答案D解析当直线的斜率不存在时，方程为x=4,

x=4,

由,得yi=-4,y2=4,•'-yi2+y22=32.

Ly2=4x,---

当直线的斜率存在时，设其方程为y=k(x—4),

[y2=4x,4

由J，/“、得ky2—4y—16k=0,.*.yi+y2=r,yiy2=-16,

、y=k(x—4),K

222

.*.yi+y2=(yi+y2)—2yiy2=rf+32>32.

KN

22

综上可知,yi+y2>32.

22

/.yi+y2的最小值为32.故选D.

10.答案D

解析抛物线y2=4x的焦点F为(1,0),可设直线1的方程为x=ty+l,

代入抛物线方程，可得y?—4ty—4=0,

设A(xi,yi),B(X2,y2),可得yi+y2=4t,yiy2=—4,

则|AB|=yl+t2,|yi—y2|=^/l+t2•yj(yl+y2)2—4yly2=^/l+t2•W6t2+16,

△MAB的面积为；|MF|•|yi—y2|=^X2|yi—y2|=4"\/2,

即6t2+16=4祀,解得t=±l,则|AB|=dl+l・#16+16=8.故选D.

11.答案ACD

解析抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),易知直线AB的斜率存在，设直线AB为y=kx

+1.

[y=kx+l,

由彳得x2—4kx—4=0,则xi+x2=4k,xiX2=—4,A正确;

lx2=4y,

|AB|=|AF|+|BF|=yi+l+y2+l=yi+y2+2,B不正确;

F^l=(xi,-2),由1=(x2,—2),/.F^l•I<1=XIX2+4=0,ZAiFBi

=$C正确；

AB的中点到抛物线的准线的距离d=|(|AAi|+|BBi|)=^(yi+y2+2)=1(kxi+l+kx2+l

+2)=|(4k2+4)^2.

当k=0时取得最小值2,D正确.故选ACD.

12.答案CD解析不妨设M为第一象限内的点，

1、历、历

①当直线MN_Lx轴时，koM=-koN,由koM•koN=—得koM=2，koN=—2，所

以直线OM,ON的方程分别为：丫=坐*和丫=—当x.与抛物线方程联立，得M(2,g),

N(2,f),

所以直线MN的方程为x=2,此时|0M|+|0N|=2%,

以MN为直径的圆的面积S=2n,故A、B不正确.

②当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y=kx+m,

与抛物线方程联立消去x,得ky2—y+m=0,则A=l—4km>0.

设M(xi,yi),N(X2,y2),则yiy2=£,因为koM•koN=—g,所以普。^|=一3，

则2y2yl=-X2Xi=-y22yl2,则丫旷2=—2,所以罕=-2,即m=-2k,

K

所以直线MN的方程为y=kx—2k,即y=k(x—2).

综上可知，直线MN为恒过定点Q(2,0)的动直线，故C正确；

易知当OQLMN时，原点O到直线MN的距离最大，最大距离为2,

即原点O到直线MN的距离不大于2.故D正确.故选CD.

13.答案4

解析直线1：当y=0时，x=g,...直线1过抛物线的焦点，A,F,B三点共线，

y2=2px,

联立直线与抛物线方程得8x2—17px+2P2=0,

4x—3y—2p=0,

解得：XA=2p,XB=|,，|AF|=XA+^=|P，|BF|=XB+5=1P，入=^^=4

14.答案15解析设A(xi,yi),B(X2,y2).VP(1,0),

.*.Bt*=(l—X2,—y2),PX=(xi—1,yi).V2B?=PX,.'.2(1—X2,—y2)=(xi—1,yi),

.*.xi+2x2=3,12y2=yi.将A(xi,yi),B(X2,y2)代入抛物线方程y?=16x,得y/=16xi,

y22=16x2.

XV—2y2=yi,/.4X2=XI.XVxi+2x2=3,解得X2=；,xi=2./.|AF|+2|BF|=xi+4+2(x2

+4)=2+4+2X(J+4^=15.

15.答案一1

2—0

解析因为点M(0,2),抛物线y2=4x的焦点为F(l,0),所以kMF=[J=—2,由A而干而

=0可得AMUM,所以直线AM的斜率kAM=W，所以直线AM的方程为y—2=1x,

即y=|x+2,

._1

由.丫一中+2,化简得*2—8*+16=0,解得x=4,可得点A(4,4),

.y2=4x

所以直线AF的斜率kAF=£^=±,所以直线AF的方程为：y=|(x-l),

y2=4x,

联立，4,、消去x可得：y2—3y—4=0,解得y=—1或y=4,

y=3(x—1),

所以点B的纵坐标为一1.

16.答案(1)小或一小(2)4

解析(1)依题意可得，抛物线的焦点为F(l,0),设直线AB：x=my+l,将直线AB与

x=my+1,

抛物线联立彳=>y2—4my—4=0.设A(xi,yi),B(X2,y2),则yi+y2=4m,yiy2

Ly2=4x•‘'’’

=-4.

建=3避=＞丫1=—3y2=＞m2=g,斜率为上=小或一5.

(2)SHa®oACB=2SAAOB=2X-|OF|,|yi—y2|=lyi-y2|=yj(yl+y2)2—4yly2=

、16m2+16/4,

当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4.

17.答案B

解析方法一(设而要求)：,.,A(2,2)在抛物线y2=2px上，：.4=4p,：.p=l,：.y2=2x,

过A(2,2)作圆C的切线，设切线斜率为k.

|2k-0-2k+2|

则切线方程为：y—2=k(x—2),即kx—y—2k+2=0.，.'.k=±\/3.

y/k2+l—

y—2=A/3(x—2),

当k=45时，切线方程为：y—2=/(x—2),联立＜

j2=2x,

—2=—\[3(x—2),

.*.kBC=—I，y-^|~^=-Kj—8:，),即3x+6y+4=0,故选B.

方法二(设而不求)：^•^A(2,2)在抛物线y2=2px上，...4=4p....p=l....y2=