2024高考数学基础知识梳理与巩固训练：空间向量

模块十三:空间向量

1、空间向量的有关概念

1.与平面向量一样，在空间中,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.

2.空间向量的长度（模）:空间向量的大小叫做向量的

■B

a

A

长度或模，如图，其模记为|a|或\AB\.

3.空间向量的表示方法（1）即利用黑体a,手写用之；（2）空间向量

1）用有向线段表示.也可用有向线段表示，有向线段的长度

2）用字母a,b等表示.表示空间向量的模.

1）长度为0的向量叫做零向量，记为0.

2）模为1的向量称为单位向量.

3）方向相同且模相等的向量称为相等向量.

在空间中,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。

4）与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a.类似实数a的

相反数为-%

2、空间向量的线性运算

L空间向量的加减法及数乘运算:空间任意两个向量都可以平

。向量加法模的性质

IIa|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.

当a,b同向时，右等号成立;当a,b反向时，左等号成立;当a,b中有零向量时，两等

号均成立.当a,b不共线时,上式的几何意义是三角形任意一边小于另两边之和,大

于另两边之差.

移到同一平面内，成为同一平面内的向量.如图1,旦知空I'%量a,b,我们可以把它

们移到同一平面a内，以任意点。为起点，作向量力？=a,OB=b.类似于平面向量,

定义空间向量的加法、减法及其数乘运算(如图2、3).

^Aa(A<0)

A

a

图3

l)a+b=01+AB=0B;2)a-b=01-0C=G4;

3)当;I>0时，丸a与向量a的方向相同；当;I<0时,;la与向量a的方向相反，长度

是a的长度的|川倍.|狙=|A||a|.

。温馨提示

证明平面向量加法的结合律时三个向量在同一个平面内，证明空间向量加法的结合

律时三个向量不在同一个平面内.

2.空间向量线性运算满足以下运算律与实数加法交换律类似.

交换律:a+b=b+a;与实数加法结合律类似.

结合律:(a+b)+c=a+(b+c),A(|xa)=(A|i)a；

分配律：(丸+四)a-Aa+pia,A(a+b)=Aa+Ab.其中A,/zGR.

与实数乘法分配律类似.

3、共线向量与共面向量

。温馨提示

1.零向量和任一空间向量是共线向量.

2.共线向量不具有传递性，如a〃仇〃/c,但a//c不一定成立,因为当b=0时，虽然

a//b,b//c，但a与c不一定共以

共线向量一定共面，共面向量不一定共线.

4、空间向量数量积

•易错易混

易将向量的夹角(a,b)与点的坐标(a,b)混淆;防止混淆图中的两个向量的夹角；

图(a)中，乙40B=(OA,OB).

图(b)中，ZAOB=兀一(而，0B).

AA

-H"0~B

图(a)图(b)

1.共线向量

1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量

.为共线向量(或平行向量).

2)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b*O),a//b的充要条件是存在实数A,

使a=2b.若b=0,而a。0,这样就不存在2.共面向量实数2,使&=油

1)定义:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件

是存在唯一的有序实数对(x,y)，使p=xa+yb.

L空间向量的夹角两个向量的夹角是唯色,且〈a必=(b,a).1)夹角的定义：已知

两个非零向量a,b,在空间任取一点。，作不？=a,OB=b，则乙40B叫做向量a,b

的夹角，记作〈a,b).

2)夹角的范围:空间任意两个向量的夹角的取值范围是0W〈a,b〉W兀.当〈a,b)=

0时，两向量同向共线;当(a,b)=7i时，两向量反向共线；当〈a,b)=时,两向量垂直,

记作alb.2.向量的数量积

1)定义：已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos(a,b)叫做向量a,b的数量积，记作a-

b,即a•b=|a||b|cos(a,b).规定:零向量与存何向量的数量积为0.0・a=0.

2)几何意义:数量积a-b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos(a,b)

的乘积，或b的长度|b|与a在b的方向上的投影|a|cos(a,b)的乘积.

3.向量数量积的性质两非零向量才有垂直关系。

1)由a•a=|a|2可得向量自身的数量积就是其模的平方.2)a•b=0的充要条件是

alb(a,b为非零向量入.

3)两个非零向量a,b的夹角可由a,b的数量积表示:cos〈a,b>

a•b

=丽‘

4)对于任意向量a,b,总有|a-b|<|a|-|b|,并且只有当a//b时,等号成立.

4.向量数量积的运算律

数乘结合律:(Aa)-b=A(ab)；

交换律:a-b=ba；

分配律:a(b+c)=ab+ac.

【拓展】

由定义得(a-b)c=(|a||b|cos,a,b>)c,即(a-b)c—丸遥,a(b-c)=

a(|b||c|cos(b,c))，即a(b-c)=A2a.

1,由a•b=b•c(b丰0)不能得到a=c.

2.向量数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律,

即(ab)c不一定等于a(b•c).这是因为(a-b)c表示一个与向量c共线的向量，而

a(b.c)装示一个与向量a共线的向量

3.空间向量没有除法运算.对于两个非零向量a,b及实数c,由a•b=c不能得到

a=;及b=二

ba

5、空间向量基本定理

(1)空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,

。归纳总结

1.空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底,因此空间的基底有无穷

多个.

2.空间的基底是不共面向量,故都不是0.

3.基底选定后,空间中的任何向量均可由基底唯一表示.

存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p=xa+yb+zc.(1)

证明设向量a,b,c不共面(如图)，过点

。作a=a,痂=b，前==p，过点P作直线PP'平行于0C交平面O4B于

点P,在平面。内，过P作直线〃。4分别与直线04、0B相交

于点A、B',于是存在三个实数久,y,z,使而=xOA=%a,两=yOB=yb,讨=

zc,OP—OA'4-OB'+P'P—xOA4-yOB4-zOC，即OP—p—xa+yb+zc.{V\

如果p=%a+yb+zc=x'a+y'b+z'c，可推出x—x',y—y',z-z'，这也证明了

表达式(1)是唯一的..

由此可知,如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是｛p|p=

xa+yb+zc,x,y,zER｝.这个集合可看作由向量a,b,c生成的，我们把｛a,b,c｝叫

做空间的一个基底（base）,a,b,c都叫做基向量（basevectors）.空间任意三个不共面

的向量都可以构成空间的一个基底.

⑵正交分解

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单

位正交基底，常用表示.三个向量互相垂直，

且都是单位向量.

由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a，都可以分解为三个向量xi,yj,zk,

使a=妞+yj4-zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空

间向量进行正交分解.

6、空间向量及其运算的坐标表示（右手直角坐标系）

（1）空间直角坐标系

类似地，在空间选定一点。和一个单位正交基底｛i,力3（图1.3-2）.以点。为原点，分

别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z

轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系。久yz,。叫做

图1.3-2

原点,ijk都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为。孙

平面,Oyz平面,Ozx平面，它们把空间分成八个部分.

画空间直角坐标系Oxyz时,一般使ZxOy=135。（或45°/.yOz=90°.

⑵空间向量的坐标表示

一般地，如果空间向量的基底｛e1,e2,e3｝中,elfe2,e3都是单位向量,而且这三个向量

两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量

的单位正交分解，而且，如果p=xer+ye2+ze3，则称有序实数组(居y,z)为向量p

的坐标，记作

P=("*),

其中阳y,z都称为p的坐标分量.

(3)空间向量的坐标运算

设

a二(。1，。2,“3)力=b3),

与平面向量运算的坐标表示一样,我们有：

a+b=。3+人3)，

a—b=(%—blfa2—b2>CL3—b3),

4a—(4。］,入€R,

a-b=内瓦+a2b2+ct3b3.

当bW0时,a〃b=a=Ab=a】=A.blfa2=Xb2t的=Ab3(AER);

alb=a・b=O=a1b1+a2b2+a3b3=0;

|a|=Va-a=小.+堵+通；

a•bab+ab+ctb

cos〈a,b)=~...-―/11=2~2/33=.

Ia11b|J苗+境+a.J必+留+必

⑷空间向量的夹角与距离公式

1.夹角公式

设非零向量a=(%i，yi，zi),b=(x2/2*2),则cos(a,b)

_久1肛+y/2+Z1Z2

J好+尤+z.•J好+龙+z：

2.距离公式

在空间直角坐标系中，已知24(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则A,

B两点间的距离dAB=J02-%1)2+。2-丫1)2+(Z2—Z1+

7、空间向量的应用

(1)空间中点、直线、平面的向量表示

如图L4-1，在空间中,我们取一定点。作为基点，那

么空间中任意一点P就可以用向量而来表示.我们把向量而称为点P的位置向

量.

一般地，如果1是空间中的一条直线，〃是空间中的一个非零向量,且表示U的有向线

段所在的直线与I平行或重合，则称V为直线I的一个方向向量.此时，也称向量V与

直线1平行，记作〃

用向量表示直线I，就是要利用点A和直线I的方向向

图1.4-2

量表示直线上的任意一点.

如图1.4-2,a是直线I的方向向量,在直线1上取后=a，设P是直线I上的任意一

点，由向量共线的条件可知,点P在直线I上的充要条件是存在实数t，使得

AP=ta,即9=tAB.

进一步地，如图1.4-3,取定空间中的任意一点。，可

图1.4-3

以得到点P在直线I上的充要条件是存在实数t，使

0P-0A+ta,

⑴

将南=a代人(1)式，得

OP=01+LAB

(1)式和(2)式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，

空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.你能证明这个结论吗？

我们知道，平面a可以由a内两条相交直线确定.如图L4-4,设两条直线相交于点0,

它们的方向向量分别为a和4P为平面a内任意一点,由平面向量基本定理可知,存

在唯一的有序实数对(x,y)，使得

-->

0P—xa+yb.

这样，点。与向量a,b不仅可以确定平面a,还可以具体表示出a内的任意一点.这

种表示在解决几何问题时有重要作用.

图1.4-4

图1.4-5

进一步地，如图L4-5,取定空间任意一点。，可以得到，空间一点P位于平面ABC内

的充要条件是存在实数％,y,使

OP=0A+xAB+yAC

⑶

你能证明这个结论吗?

我们把(3)式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可

⑵平面的法向量

如图1.4-6,直线I1a.取直线，的方向向量a,我们称向量a为平面a的法向量

(normalvector).给定一个点A和一个向量a,那么过点A，且以向量a为法向量的平

面完全确定，可以表示为集合{PIa•9=0}.

图1.4-6

如果另有一条直线mLa，在直线m上任取向量b,b与a有什么关系?

⑶空间直线、平面位置关系判定

如图1.4-8,设unu2分别是直线的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条

直线平行,那么它们的方向向量一定平行;反过来，如果两条直线的方向向量平行,那

么这两条直线也平行.所以

11//12<=>u1//u20皿eR,使得Ui=AU2.

图1.4-9

图1.4-10

类似地，如图1.4-9,设u是直线/的方向向量,n是平面a的法向量,1Ca则

///a=uln=u・n=0.

如图1.4-10,设nnn2分别是平面a,p的法向量，则

a//p<=>n1//n20三2eR,使得n】=An2.

一般地,直线与直线垂直,就是两直线的方向向量垂直;直线与平面垂直,就是直线的

方向向量与平面的法向量平行;平面与平面垂直,就是两平面的法向量垂直.

如图1413(1),设直线的方向向量分别为Ui，l>2，则

(1)

图1.4-13

如图1.4-13(2),设直线I的方向向量为u,平面a的法向量为n，则

Z1a«u//n«3AeR,使得u=An.

如图14-13(3),设平面a，B的法向量分别为由,

n2，则

a13=叫1%=%•%=0・

⑷利用空间向量研究空间距离与夹角⑴空间中的距离

如图L4-16,向量9在直线/上的投影向量为而，则

P

AQ~~/

图1.4-16

△APQ是直角三角形.因为4P都是定点，所以\AP\,AP与u的夹角/.PAQ都是确定

的.于是可求\AQ\.再利用勾股定理，可以求出点P到直线I的距离PQ.

设9=a，则向量AP在直线I上的投影向量筋=(a•u)u.

在Rt△APQ中,由勾股定理得

PQ-J|AP|2_|而广-Ja2-(a.11)2.

如图1.4-17,已知平面a的法向量为n,A是平面a内的定点,P是平面a外一点.过

点P作平面a的垂线I，交平面a于点Q，则n是直线I的方向向量，且点P到平面a

的距离就是标在直线I上的投影向量丽的长度因此

―>nAPn府.n|

PQ2同=

|n|

类似地,请同学们研究如何求两个平行平面的距离.

(2)空间中的夹角

一般地，两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求

得.也就是说，若异面直线",I2所成的角为e，其方向向量分别是u,v,则

U•V|u•v|

COS。=|COS〈U,V)|=T-77-7=.

|u||v||u||v|

类似地,直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.

如图1.4-20,直线AB与平面a相交于点B，设直线AB与平面a所成的角为9直线

AB的方向向量为u,平面a的法向量为n,则

u-n|u-n|

sin。=|cos〈u,n)|==.,,

|u||n||u||n|

A

图1.4-20

图1.4-21

如图1.4-21,平面a与平面0相交，形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于

90°的二面角称为平面a与平面0的夹角.

类似于两条异面直线所成的角,若平面a,13的法向量分别是由和n2，则平面a与平

面0的夹角即向量由和n2的夹角或其补角.设平面a与平面0的夹角为。，则

%叫Hsi

COS0=Icosg,口2〉1=

|nil|n2|

三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它

也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也

和这条斜线在该平面内的射影垂直.

【课本优质习题汇总】

新人教A版选择性必修一P9

3.如图，在平行六面体但BCD-AB（7y中,AB=4,AD=3,44'=5,/.BAD=

90°,^BAA'=/.DAA'=60°,求：

（1）加•荏；（2）AB'的长;（3）AC的长.

（第2题）

（第3题）

（第4题）

4.如图，线段在平面a内,1AB,AC1a,且AB=a,BD=b,AC=c，求

C,。两点间的距离.

新人教A版选择性必修一P9

4.如图，已知四面体ABC。的所有棱长都等于a,E,F,G分别是

(第4题)

棱48,4。,的中点.求：

(1);(2)AD-DB;(3)GF-ZC;

(4)£F-BC;(5)FG-;(6)-GF.

新人教A版选择性必修一PIO

6.如图,已知E,F,G,H分别为四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中点,求证:E,

F,G,H四点共面.

A

（第6题）

新人教A版选择性必修一P10

9.如图，在四面体OABC中，041BC,OB1AC.求证:0C1AB.

（第9题）

（第10题）

10.如图，在四面体。ABC中,04=0B,CA=CB,E,F,G,H分别是。A,,C4的

中点.求证:四边形EFGH是矩形.

新人教A版选择性必修一P14

1.已知四面体0ABC,0B=OC,^AOB=^AOC=6.求证:。41BC.

新人教A版选择性必修一P15

6.如图，平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且zQCB=zQCD=

乙BCD=60°,CD=CCi,求证:CAr1辛面CrBD.

ByAi

(第6题)

新人教A版选择性必修一P15

7.如图，在棱长为1的正方体ABC。一4/停1。1中,E,F分别为

(第7题)

DD^BD的中点，点G在CD上，且CG"CD.

⑴求证:EF1B]C;

(2)求EF与CiG所成角的余弦值.

8.已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证:这个四面体相对的棱两

两垂直.

新人教A版选择性必修一P35

2.如图，在棱长为1的正方体ABC。-中,E为线段。4的中点，尸为线段

BBi的中点.

(1)求点儿到直线BiE的距离；

(2)求直线FC1到直线AE的距离；

(3)求点儿到平面ABrE的距离；

(4)求直线FG到平面ABrE的距离.

新人教A版选择性必修一P38

4.如图,△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD/CBA

(第4题)

=乙DBC=120°.求：

(1)直线AD与直线BC所成角的大小；

(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；

(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.

新人教A版选择性必修一P41

1.如图,二面角a-1-p的棱上有两个点4B,线段BD与AC分别在这个二面角的

两个面内,并且都垂直于棱L若AB=4,AC=6,=8,CO=2V17，求平面a与平

面0的夹角.

1题）

M

BD

（第2题）

2.如图，在三棱雉Z—BCD中=AC=BD=CD=3fAD=BC=2,M,N分别是

ADfBC的中点,求异面直线ANfCM所成角的余弦值.

新人教A版选择性必修一P44

13.如图，已知正方体ABC。-&B1QD1的棱长为1,E为CD的中点，求点名到平面

AEQ的距离.

（第15题）

14.如图,正方体ABCD-&B1GD1的棱长为1.M是棱441的中点,0是BD1的中

点.求证:0M分别与异面直城AA1,BD1垂直，并求0M的长.

15.如图，已知正方体ABCO的棱长为1,Q为殳心的中点，点P在棱441

上,AP-.441=1:3.求平面ABCD与平面BQP夹角的余弦值.

新人教A版选择性必修一P44

17.在空间直角坐标系中，已知向量u=(a,b,c)(abc丰0),点

20(&，丫0,2()),点「(汽,丫,Z).)

(1)若直线I经过点P。,且以U为方向向量,P是直线I上的任意一点,求证:宁=

y-y。_z-zo.

bc'

(2)若平面a经过点P(),且以u为法向量,P是平面a内的任意一点,求证：

a(x-%0)+b(y-y0)+c(z-z。)=0.

18.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF的边长

(第18题)

都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF

上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a(0<a<V2).

(1)求MN的长；

(2)a为何值时,MN的长最小？

(3)当MN的长最小时,求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值.新人教A版选择性

必修一P48

8.如图，在棱长为1的正方体ABC。-中,E,F,G分别是。的中

点.

(1)求证:EFLCF;

(2)求EF与CG所成角的余弦值；

(3)求CE的长.

(第8题)

(第9题)

9.如图，在直三棱柱/B4-&B1Q中,G4=CB=1,/.BCA=90°,AA1=2,M,N分

别是&殳,41a的中点.

(1)求BN的长；

(2)求cos(西，函)的值；

(3)求证:1QM.

新人教A版选择性必修一P48

10.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱

AA'的长为b,且^A'AB=^A'AD=120°.求:(1)AC的长;(2)直线BD'与AC所

成角的余弦值.

(第10题)

(第11题)

(第12题)

11.如图，在长方体ABCD-中，点E,F分别在BB1,DD1上，且AE1A$,

AF1A±D.

⑴求证:4C，平面AEF;

(2)当AB=4,AD=3,44i=5时,求平面AEF与平面D^BD的夹角的余弦值.

12.如图，在四棱雉S—ABC。中，底面ABC。满足AB1AD,ABIBC,SA1底面

ABCD，且SA=AB=BC=1,AD=0.5.

(1)求四棱雉S-ABCD的体积；

(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.新人教A版选择性必修一P49

13.如图,把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角,E,

(第13题)

F分别为AD.BC的中点,0是原正方形ABCD的中心，求折纸后乙EOF的大小.

14.在正四棱雉S-ABCD中，。为顶点S在底面内的射影,P为侧棱S。的中点，且

SO=OD.求直线BC与平面PAC所成的角.

新人教A版选择性必修一P49

16.如图，在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C中,E,F分别是棱AB.BC上的动点,

且AE=BF.

(1)求证:AF1CE；

(2)当三棱雉B'-BEF的体积取得最大值时，求平面B'EF与平面BEF的夹角正切

值.

(第16题)

(第17题)

17.如图,两条异面直线a,b所成的角为8，在直线a,b上分别取点A',E和点4尸,使

AAr1a,RAA'1b.已知A'E=m,AF=n,EF=I，求线段AA'的长.新人教B版选

择性必修一P12

如果a,b都是空间向量，判断

I|a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|

是否成立,并说明等号何时成立.

(6)已知|a|=4,向量e为单位向量,〈a,e)=与，求向量a在向量e方向上的投影的

数量.新人教B版选择性必修一P17'

(4)已知平行六面体ABC。-49广。中，点E是上底面4*广。的中心，求下列各

题中x,y的值：

⑴宿=x(AB+~BC+CC);(2)版=而+xAB+yAD.

(5)已知直三棱柱ABC-&殳心中,Z4BC=60°,AB=2,BC==1,求福•

BC[.

新人教B版选择性必修一P28

(3)已知空间直角坐标系中,平行六面体486-41当。1。1满足:4(一2,1,3),

8(2,2,1),。(3,4,2),。(一1,3,4)，且平行六面体的体对角线的交点为M(l,l,l)，求

A1,B1,C1,D1的坐标.

新人教B版选择性必修一P29

(2)已知4是空间中不共线的三点,0是空间中任意一点,求证:P在平面ABC

内的充要条件是，存在满足％+y+z=1的实数x,y,z,使得

0P—xOA+yOB4-zOC.

新人教B版选择性必修一P54

(第3题)

(2)已知正三棱雉S-ABC的所有棱长都为1,求其侧面与底面所成角的余弦值.

(3)如图，已知是圆的直径，且AB=4,P4垂直于圆所在的平面，且R4=2遮,M

是圆周上一点，且^ABM=30。,求二面角A-BM-P的大小.

新人教B版选择性必修一P60

(第5题)

⑸如图所示，已知Rt^ACB在平面a内,。是斜边的中点,OC1a,且0到平面

a的距离为12cm,AC=6cm,BC=8cm,求线段CM,OB,。。的长.

新人教B版选择性必修一P60

(4)已知正四面体ABC。的棱长都为1,点M,N分别是的