湖南省长沙市宁乡市西部乡镇2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市西部乡镇八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列根式中属于最简二次根式的是(

)A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.如果QUOTE有意义，那么QUOTE的取值范围是(

)A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE3.下列二次根式中，与QUOTE是同类二次根式的是(

)A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE4.正方形具备而菱形不具备的性质是(

)A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直

C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角5.边长分别是下列各组数的三角中，是直角三角形的是(

)A.QUOTE，QUOTE，QUOTE B.QUOTE，QUOTE，QUOTE C.QUOTE，QUOTE，QUOTE D.QUOTE，QUOTE，QUOTE6.若一直角三角形两边长分别为QUOTE和QUOTE，则第三边长为(

)A.QUOTE B.QUOTE或QUOTE C.QUOTE或QUOTE D.QUOTE7.下列说法中正确的个数有(

)

QUOTE三角形的三条高一定都在三角形内

QUOTE有一个角是直角的四边形是矩形

QUOTE有一组邻边相等的平行四边形是菱形

QUOTE一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A.QUOTE个 B.QUOTE个 C.QUOTE个 D.QUOTE个8.满足下列条件的QUOTE，不是直角三角形的是(

)A.QUOTE B.QUOTE

C.QUOTE：QUOTE：QUOTE：QUOTE：QUOTE D.QUOTE：QUOTE：QUOTE：QUOTE：QUOTE9.若QUOTE，那么QUOTE的值为(

)A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE或QUOTE D.QUOTE10.如图所示，四边形QUOTE为正方形，边长为QUOTE，点QUOTE，QUOTE分别在QUOTE轴，QUOTE轴的正半轴上，点QUOTE在QUOTE上，且QUOTE的坐标为QUOTE，QUOTE是QUOTE上的一动点，试求QUOTE和的最小值是(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.使式子QUOTE在实数范围内有意义，则实数QUOTE的取值范围是______．12.在平行四边形QUOTE中，QUOTE，则QUOTE______．13.在菱形QUOTE中，对角线QUOTE、QUOTE交于QUOTE点，QUOTE，QUOTE，则菱形QUOTE的面积是______QUOTE．14.若QUOTE，则QUOTE______15.把长QUOTE，宽QUOTE的矩形沿着QUOTE对折，使点QUOTE落在QUOTE边的点QUOTE上，则QUOTE______．

16.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为QUOTE，则正方形QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE的面积之和为______QUOTE．

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.QUOTE本小题QUOTE分QUOTE

计算：QUOTE．18.QUOTE本小题QUOTE分QUOTE

先化简，再求值：QUOTE，其中QUOTE．19.QUOTE本小题QUOTE分QUOTE如图，QUOTE、QUOTE是平行四边形QUOTE对角线QUOTE上两点，QUOTE，求证：QUOTE．

20.QUOTE本小题QUOTE分QUOTE

如图，在平行四边形QUOTE中，对角线QUOTE与QUOTE相交于点QUOTE，QUOTE、QUOTE在QUOTE上，且QUOTE，求证：四边形QUOTE是平行四边形．21.QUOTE本小题QUOTE分QUOTE

在正方形QUOTE中，QUOTE为对角线，QUOTE为QUOTE上一点，连接QUOTE、QUOTE．

QUOTE求证：QUOTE≌QUOTE．

QUOTE延长QUOTE交QUOTE于QUOTE，当QUOTE时，求QUOTE的度数．22.QUOTE本小题QUOTE分QUOTE

若实数QUOTE，QUOTE满足QUOTE，求QUOTE的值．23.QUOTE本小题QUOTE分QUOTE

已知：如图，在梯形QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE求QUOTE的度数及QUOTE的长．24.QUOTE本小题QUOTE分QUOTE

阅读下列简化过程：

QUOTE；

QUOTE；

QUOTE．

解答下列问题：

QUOTE直接写出结果QUOTE；

QUOTE计算：QUOTE；

QUOTE设QUOTE，QUOTE，QUOTE，比较QUOTE，QUOTE，QUOTE的大小关系．25.QUOTE本小题QUOTE分QUOTE

已知：如图在QUOTE中，QUOTE，QUOTE，垂足为QUOTE，QUOTE是QUOTE的外角QUOTE的平分线，QUOTE于QUOTE，连接QUOTE交QUOTE于QUOTE．

QUOTE试判断四边形QUOTE的形状，并说明理由．

QUOTE求证：QUOTE，QUOTE；

QUOTE当QUOTE是什么三角形时，四边形QUOTE是一个正方形？并说明理由．

答案和解析1.QUOTE

解析：解：QUOTE、QUOTE，不是最简二次公式，故本选项错误；

B、QUOTE是最简二次根式，故本选项正确；

C、QUOTE，不是最简二次根式，故本选项错误；

D、QUOTE，不是最简二次根式，故本选项错误；

故选B．2.QUOTE

解析：解：QUOTE有意义，

QUOTE，

即QUOTE，

故选：QUOTE．

根据“负数没有平方根”进行解答即可．

本题考查二次根式有意义的条件，理解“负数没有平方根”是正确解答的前提．3.QUOTE

解析：解：QUOTE、QUOTE与QUOTE被开方数不同，故不是同类二次根式；

B、QUOTE与QUOTE被开方数相同，故是同类二次根式；

C、QUOTE与QUOTE被开方数不同，故不是同类二次根式；

D、QUOTE不是二次根式，与QUOTE被开方数不同，故不是同类二次根式．

故选B．

先将各选项化简，再找到被开方数为QUOTE的选项即可．

此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．4.QUOTE

解析：解：QUOTE平行四边形的对角线互相平分，所以菱形和正方形对角线均互相平分，故本选项错误；

QUOTE菱形和正方形的对角线均互相垂直，故本选项错误；

QUOTE正方形对角线相等，而菱形对角线不相等，故本选项正确；

QUOTE对角线即角平分线是菱形的性质，正方形具有全部菱形的性质，所以本选项错误．

故选：QUOTE．

正方形具有矩形和菱形的性质，故根据正方形和菱形的性质即可解题．

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形和菱形的性质，熟悉掌握菱形、正方形的性质是解本题的关键．5.QUOTE

解析：解：QUOTE、QUOTE，不能构成直角三角形，故错误；

B、QUOTE，不能构成直角三角形，故错误；

C、QUOTE，不能构成直角三角形，故错误；

D、QUOTE，能构成直角三角形，故正确；

故选：QUOTE．

由已知得其符合勾股定理的逆定理才能构成直角三角形，对选项一一分析，选出正确答案．

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．6.QUOTE

解析：解：当QUOTE是斜边时，第三边是QUOTE；

当QUOTE是直角边时，第三边是QUOTE．

故选：QUOTE．7.QUOTE

解析：解：QUOTE错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外，不符合题意；

QUOTE错误，理由：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意；

QUOTE正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故符合题意；

QUOTE错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形，故不符合题意．

正确的只有QUOTE，

故选：QUOTE．

根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．

本题考查三角形高，菱形、矩形、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．8.QUOTE

解析：解：QUOTE、由QUOTE得QUOTE符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

B、由三角形三个角度数和是QUOTE及QUOTE解得QUOTE，故是直角三角形；

C、由QUOTE：QUOTE：QUOTE：QUOTE：QUOTE，及QUOTE得QUOTE，QUOTE，QUOTE，没有QUOTE角，故不是直角三角形；

D、由QUOTE：QUOTE：QUOTE：QUOTE：QUOTE得QUOTE符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．

故选C．9.QUOTE

解析：解：QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE．

故选A．

根据QUOTE，进而化简求出即可．

此题主要考查了二次根式的化简求值，正确理解公式是解题关键．10.QUOTE

解析：解：连接QUOTE，交QUOTE于QUOTE则QUOTE就是QUOTE和的最小值．

QUOTE在直角QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE，

QUOTE．

QUOTE和的最小值是QUOTE．

故选：QUOTE．

要求QUOTE和的最小值，QUOTE，QUOTE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化QUOTE，QUOTE的值，从而找出其最小值求解．

考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．11.QUOTE

解析：解：由题意得：QUOTE，

解得：QUOTE，

故答案为：QUOTE．

根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列式计算即可．

本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．12.QUOTE

解析：解：QUOTE四边形QUOTE是平行四边形，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE．

故答案为QUOTE．

如图：由四边形QUOTE是平行四边形，根据平行四边形的对边平行，可得QUOTE，所以可求得QUOTE的度数．

此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行．还考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．13.QUOTE

解析：解：因为菱形的面积等于两条对角线的积的一半，

所以该菱形的面积是QUOTE．

故答案为QUOTE．

根据菱形的面积公式，已知QUOTE，QUOTE的长，易求出菱形面积．

此题主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半．14.QUOTE

解析：解：由题可知，

QUOTE，

解得QUOTE，

则QUOTE．

故答案为：QUOTE．

先根据非负数的性质求出QUOTE与QUOTE的值，再代入进行解题即可．

本题考查非负数的性质、算术平方根与绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．15.QUOTE

解析：解：由折叠的性质知，QUOTE，QUOTE，

在QUOTE中，由勾股定理知，QUOTE，QUOTE，

在QUOTE中，由勾股定理知，QUOTE，

QUOTE，

解得QUOTE．

故答案为：QUOTE，

在QUOTE中，利用折叠及勾股定理易得QUOTE长度，即可得QUOTE的长度，用QUOTE表示出QUOTE，利用QUOTE的三边关系即可求得QUOTE长度．

此题主要考查了折叠的性质、矩形的性质，勾股定理等知识点．利用折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等得出是解题关键．16.QUOTE

解析：解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，

故正方形QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE的面积之和QUOTE．

故答案为：QUOTE．

根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．

熟练运用勾股定理进行面积的转换．17.解：QUOTE

QUOTE

QUOTE．

解析：根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根分别计算即可．

本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根是解题的关键．18.解：原式QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

当QUOTE时，原式QUOTE．

解析：首先计算括号里面的加法，再算括号外的除法，化简后，再代入QUOTE的值可得答案．

此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确进行化简．19.证明：平行四边形QUOTE中，QUOTE，QUOTE，

QUOTE．

又QUOTE，

QUOTE，

QUOTE≌QUOTE，

QUOTE．

解析：本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．

先证QUOTE，再证出QUOTE≌QUOTE，从而得出QUOTE．20.证明：QUOTE四边形QUOTE为平行四边形，

QUOTE，QUOTE．

QUOTE，

QUOTE．

QUOTE四边形QUOTE为平行四边形．

解析：根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形QUOTE是平行四边形．

此题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．21.证明：QUOTE四边形QUOTE是正方形

QUOTE，QUOTE，QUOTE

QUOTE，QUOTE，QUOTE

QUOTE≌QUOTE

QUOTE，且QUOTE

QUOTE

QUOTE

QUOTE

QUOTE

QUOTE

解析：QUOTE由题意可得：QUOTE，QUOTE且QUOTE，可证QUOTE≌QUOTE；

QUOTE由QUOTE，可得QUOTE，由平行线的性质可求QUOTE的度数．

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练运用这些性质和判定是本题的关键．22.解：由题意，得

QUOTE，QUOTE，

解得QUOTE，

当QUOTE时，QUOTE．

当QUOTE，QUOTE时，QUOTE．

解析：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出QUOTE，QUOTE的值是解题关键．

根据被开方数是非负数，可得QUOTE，QUOTE的值，根据代数式求值，可得答案．23.解：解法一：分别作QUOTE，QUOTE，QUOTE、QUOTE是垂足，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，

QUOTE四边形QUOTE是矩形．

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE≌QUOTE．

QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，

在QUOTE中，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

由勾股定理，

得QUOTE，

QUOTE，QUOTE．

解法二：过QUOTE点作QUOTE交QUOTE于点QUOTE，

QUOTE，

QUOTE四边形QUOTE是平行四边形．

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，

即QUOTE，QUOTE，

QUOTE是直角三角形，QUOTE是等边三角形，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE．

在QUOTE中，

QUOTE，

QUOTE，QUOTE．

解析：解法一：分别作QUOTE，QUOTE，QUOTE、QUOTE是垂足，把梯形转换成矩形和两个直角三角形，首先利用梯形的性质和已知条件证明QUOTE≌QUOTE，然后在QUOTE中解直角三角形即可求出所求线段；

解法二：过QUOTE点作QUOTE交QUOTE于点QUOTE，把梯形的问题转换成平行四边形和等边三角形，然后利用等边三角形的性质和三角函数的定义即可求出所求线段．

此题主要考查了梯形的常用辅助线：作梯形的高和平移腰，把梯形的问题转换成直角三角形或等边三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识和等边三角形的性质解决问题．24.解：QUOTE原式QUOTE

QUOTE；

QUOTE原式QUOTE

QUOTE；

QUOTE，QUOTE，QUOTE，

而QUOTE，

QUOTE．

解析：QUOTE直接