人教版高中数学选修2-2同步章节训练题及答案全册汇编

第一章导数及其应用综合检测第二章推理与证明综合检测第三章数系的扩充与复数的引入综合检测一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx()[答案]D[解析]Δx可正，可负，但不为0，故应选D.2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0+Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0+Δx)B．f(x0)+ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0+Δx)－f(x0)[答案]D[解析]由定义，函数值的改变量Δy＝f(x0+Δx)－f(x0)，故应选D.3．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为()[答案]D[解析]f(－1)(－1)2＋(－1)2.[答案]B5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2+Δx的平均变化率为()A．2-ΔxB2-ΔxC．2+ΔxD．(Δx)2－2·Δx[答案]B＝－∴f(2+Δx)(2+Δx)2＋2(2+Δx)6．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy)，则Δx等于()C．2+ΔxD．2＋(Δx)2[答案]C[解析]=2+Δx.故应选C.[答案]A1变化率最大的是()A.④B.③C.②D.①[答案]B隔[t0，t0+Δt]内的平均速度是()[答案]C[解析]由平均变化率的概念知C正确，故应选C.[答案]C1[解析]点Q的横坐标应为1+Δx，所以其纵坐标为f(1+Δx)＝4(Δx＋1)2，故应选C.二、填空题[解析]=(Δx)2＋6Δx＋12.2[答案]－9[解析]1[答案][解析]－1上两点A(2,3)，B(2+Δx,3+Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率三、解答题15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)2x，分及g(x)的平均变化率.[解析]函数f(x)在[－31]上的平均变化率为函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为函数g(x)在[－31]上的平均变化率为16．过曲线的图象上两点A(1,2)，B(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx1=4时割线的斜率.[解析]割线AB的斜率[解析]在x＝2附近的平均变化率为∴在x＝3附近的平均变化率最大.地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯.(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变[解析](1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长f(x2)71一、选择题A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案]C[解析]由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，[答案]B+Δt)－s(t0)＝3(3+Δt)2－3·32C．2+ΔxD．1[答案]B∴Δy＝f(1+Δx)2－f(1)＝(1+Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2[答案]D=liΔ=liΔ=40.故应选D.5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是()0+Δx)－f(x0)叫做函数值的增量叫做函数在x0到x0+Δx之间的平均变化率C．f(x)在x0处的导数记为y′D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案]C[解析]由导数的定义可知C错误．故应选C.6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即()A．f′(x0)＝f(x0+Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝lim[f(x0+Δx)－f(x0)][答案]D[解析]由导数的定义知D正确．故应选D.[答案]D[解析]8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()[答案]D[解析]当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.[答案]B10．设f则等于AB.2[答案]C二、填空题[答案][解析]f(x)－f(x0)=-112=-2f′(x0)＝－2.1[答案]0x＝1＝liΔ[答案]2[解析][答案]8由于f(3)＝2，上式可化为三、解答题[解析]由导数定义有f′(x0)枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.1+Δt)2－2atEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)＝at0Δt＋2a(Δt)2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy)，求(1)[解析]18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由.[解析]f(x)＝{Δy＝f(0+Δx)－f(0)＝f(Δx)={l-Δx－(Δx)2一、选择题A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0[答案]B＝－＝－π4[答案]B[2(x+Δx)2－2]－(2x2－2)[解析]∵y′＝liΔ0Δxππ[答案]Dπ1EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)＋1在点(11)处的切线方程为()＝－＝－[答案]B＝－5．设f(x)为可导函数，且满足1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()[答案]B＝－则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线([答案]B[解析]由导数的几何意义知B正确，故应选B.7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为()C1,3D11[答案]B＝－＝－8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝[答案]AEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)故P(1,0)或(－14)，故应选A.23x＋3上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α,则α的取值范围为()[答案]A(x+Δx)3－3(x+Δx)＋3－x3＋3x－3EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)故应选A.线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为()1，－1[答案]A[解析]考查导数的几何意义.1二、填空题11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为．∴f(2)＝7，Δy＝f(2+Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2=4+Δx.∴liΔ=4.即f′又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)11[解析]由f(x)＝x－x＝0得x=±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0).1∴切线的斜率k＝1＋1＝2.∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1).0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有个.[答案]至少一[解析]由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个.＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)三、解答题＝－＝－＝－则过点P且以P(12)为切点的直线的斜率k∴所求直线方程为y＝－2.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)又直线l过点P(12)，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)1＝1(舍去)或x0＝－2.9EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)＝－＝－＝－1[解析]y′＝liΔ=lim=lim1221(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.(b+Δx)2＋(b+Δx)－2－(b2＋b(b+Δx)2＋(b+Δx)－2－(b2＋b－2)＝－＝－＝－l2的交点坐标为.所以所求三角形面积一、选择题[答案]D2．若函数f(x)＝x，则f′(1)等于()112[答案]D11[答案]A1∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.4．已知f(x)＝x3，则f′(2)＝()2[答案]D[解析]5．已知f(x)＝xα,若f′(－1)＝－2，则α的值等于()[答案]A[解析]若α=2，则f(x)＝x2，－1)在x＝1处的导数等于()[答案]D=4＋4Δx＋(Δx)2，[答案]CEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)8．已知f(x)＝f′(1)x2，则f′(0)等于()[答案]A9．曲线y=x9．曲线y=＝－[答案]B(3x+Δx)2＋3x(x+Δx)＋(3x)2==(x+Δx)2+x(x(x+Δx)2+443[答案]A4==(4(4=Δt=故应选A.3二、填空题11．若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为．[答案]某物体做瞬时速度为1的匀速运动[解析]由导数的物理意义可知：y′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)，的切线的斜率为．4[答案]5EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),k)[答案]21EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),k)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),k)三、解答题[解析]因为点P不在曲线y＝x上，11221211(3)求满足斜率为－3的曲线的切线方程.＝－1＝－所以曲线在P(1,1)处的切线方程为1(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝x上.则可设过该点的切线的切点为A(a那么该切线斜率为k＝f′＝－1＝－＝－＝－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),3)＝－＝－118．求曲线y＝x与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.＝－2＝∴两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所围成的图形如上图所示.－＝一、选择题－2在点(－1处切线的倾斜角为([答案]B2．设f，则f′等于[答案]B[答案]AA.B.[答案]B1[答案]D＝－＝－[答案]A[解析]本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题.切线方程为y＝x－1，故选A.7．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为()πA.B0[答案]C48．曲线y＝xsinx在点(处的切线与x轴π221(2+π)2[答案]A[解析]曲线y＝xsinx在点(处的切线方程为yx，所围成的三角形的面积为π2等于()[答案]D[解析]f0(x)＝sinx，f1(x)f2(x)＝－f3(x)＝－f4(x)＝－10．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)A．f(x)＝g(x)[答案]B二、填空题.－9x＋1，则不等式f′(x)＜0的解集为．＝－＝－3＝－f(x)的解析式是.＝－＝－＝－∴a＋be－13，又f(－1)＝2，＝－＝－＝－三、解答题EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),1)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x),x)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),1)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x),x)2EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(x),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(x),4)2＝1＝－x处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.＝－∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.＝－EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)即y2(x2EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)18．求满足下列条件的函数f(x)：＝－由f′(1)＝－3，f′(2)＝0＝－可建立方程组{，＝－所以f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由f′(x)是一次函数可知f(x)是二次函数，把f(x)和f′(x)代入方程，得x2若想对任意x方程都成立，则需{b－2c＝0 lc＝1[a＝2解得{b＝2，lc＝1所以f(x)＝2x2＋2x＋1.一、选择题(x－1)在x＝1处的导数等于()[答案]D2．若对任意x↔R，f′(x)＝4x3，f(1)1，则f(x)＝()[答案]B＋c，又f(1)＝－1＝－＝－[答案]A故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(b2),4a)3[答案]A6．(2010·江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋A1B2[答案]B[解析]本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)=-4a－2b(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)f′(1)2要善于观察，故选B.7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝()[答案]D(π)(π)[答案]AEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(π),4)9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线yEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(x2),4)3lnx的一条切线的斜率为EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)，则切点的横坐标12[答案]A[解析]由f′(x)＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x),2)－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),x)＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)得x＝3.10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()11[答案]B[解析]由题设可知f(x＋5)＝f(x)即f′(－x)f′(x)，∴f′(0)＝0故f′(5)＝f′(0)＝0.故应选B.二、填空题(π)[答案]2sin(x＋4,，1＋sin2x(π)12．设函数f(x)＝cos(3x+φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ=.[答案][解析]f′(x)＝－3sin(3x+φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x+φ)－3sin(3x+φ)若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，[答案[答案]2222==2三、解答题=sin2x12)′++22=2－x)]′17．设f如果18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)＝f′解法2：y′＝f′＝f′·′=-f′.一、选择题＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()[答案]D[答案]D[解析]考查导数的简单应用.令f′(x)>0，解得x>2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(x↔R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率数的单调递减区间为()A．[－1∞)B．(－∞，2][答案]B[解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(-∞,2].4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()[答案]C[答案]AA．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x↔(a，b)，都有f′(x)>0B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数[答案]B[解析]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错.[答案]B[解析]f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性8．f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、[答案]C∴f′(x)≤-,即f(x)在(0，+∞)上是减函数，9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)<2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)[答案]C[解析]由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，+∞)上单调递增，在(-∞,1]上单调递减或f(x)故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.[答案]A[解析]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题1＜－12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，+∞)内恒成立，实数a的取值范围[答案]a≥1[解析]由已知在区间(1，+∞)内恒成立.在区间(1，+∞)内单调递减，在区间(1，+∞)内恒成立，－x－2)的单调递减区间为.[答案](-∞,-1)[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，+∞)∪(-∞,-1)，1－x－2)的单调减区间为(-∞,-1).＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是.[答案][3，+∞)三、解答题(2)讨论函数f(x)的单调性．由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(111)，所以f(1)11，f′(1)=-＝－即{，＝－＝－＝－=3(x＋1)(x－3).令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3.所以当x↔(-∞,-1)时，f(x)是增函数；当x↔(3，+∞)时，f(x)也是增函数；当x↔(－1,3)时，f(x)是减函数.11[证明]设f(x)＝x－2sinx，x↔(-∞,+∞)，1∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数.1∴方程x－2sinx＝0有唯一的根x＝0.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(b),x)[解析]∵函数y＝ax与y＝－在(0，+∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0.:x＜－3a，或x＞0.:在(-∞,-EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(2b),3a)，(0，+∞)上时，函数为减函数.1(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.故f(x)在(-∞,-1]，[0，+∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减.一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[答案]C[解析]导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.[答案]D＝－2＝1＝－＝－3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案]C[解析]如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在.4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件.③f(x)的递增区间为(-∞,0)，(2，+∞)，递减区间为(0,2)；＝－其中正确的命题有()[答案]B16．函数f(x)＝x＋x的极值情况是([答案]D1[解析]f′(x)＝1－x2，令f′(x)＝0，得x=±1，函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1，+∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，＝－7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()C．3个[答案]A[解析]由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点.A．有极小值C．既有极大值又有极小值[答案]D∴函数无极值，故应选D.9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()444C．极大值为0，极小值为-4[答案]A＝－=(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝3或x＝1，极大值f(3,＝27，极小值1xx[答案]B二、填空题[解析]＝－＝－13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x1处有极大值，在x＝3处有 [答案]－3－9[解析]令f′(x)＝3x2－3＝0得x=±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1＝－y＝f(x)的大致图象如图观察图象得－2<a<2时恰有三个不同的公共点.三、解答题(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值.＝－x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：xf′(x)f(x)+增(+增-10极大值f(－1)-减-减30极小值f(3)+增(3+增(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为＝－的值，并求出相应的极值.＝－＝－此时函数的表达式为f(x)＝2x3－2x.令f′(x)＝0，得x=±1.xf′(x)f(x)(－∞1)＋0－10(1∞)＋＝－(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；f′(1)＝f′(－1)＝0，即＝－若x↔(-∞,-1)∪(1，+∞)，则f′(x)＞0，故f(x)在(-∞,-1)上是增函数，f(x)在(1，+∞)上是增函数.若x↔(－1,1)，则f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数.∴f(－1)＝2是极大值；f(1)2是极小值.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)注意到点A(0,16)在切线上，有EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)化简得xEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)8，解得x02.∴切点为M(－22)，，＋[解析]本题考查了函数与导函数的综合应用.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(a),3)＝－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(a),3)+∞)内无极值点”等价于“f′(x)=ax2＋2bx＋c≥0在(-∞,+∞)内恒成立”又∵Δ=(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)得得a↔[1,9]，一、选择题1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()[答案]A2在[－1,1]上的最小值为()[答案]A∴f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为()C1D4[答案]C1＝－＝－＝－＝－所以函数的最小值为－1，故应选C.4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为()344[答案]A[答案]A1A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案]D令f′(x)＝0，得x＝1.又x↔(－1,1)故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()[答案]A＝－＝－＝－＝－A.3-21-212[答案]C＝－＝－＝－A．k≤-3或－1≤k≤1或k≥3D．不存在这样的实数[答案]B′>0得函数的增区间是(-∞,-2)和(2，+∞)，由10．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()A．[3，+∞)B．[－3，+∞)C．(－3，+∞)D．(-∞,-3)[答案]B上恒成立即a≥-3x2在[1，+∞)上恒成立又∵在[1，+∞)上(－3x2)max＝－3∴a≥-3，故应选B.二、填空题[答案]22212．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，+∞)上的最大值，最小值为[答案]不存在284＝－令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝2；当x>2时，函数为增函数，当－2≤x≤2函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f＝－28，所以最小值为－28.[解析]令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－a(舍去)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(a),a)＝f，解得a=[答案]32[解析]f′(x)＝3x2－12∴f(x)在[－32]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增.＝－＝－＝－三、解答题1∴函数f(x)在上的两个极值分别为又f(x)在区间端点的取值为ff(.比较以上函数值可得f(x)maxf(x)min.(2)∵函数f(x)有意义，∴函数f(x)的定义域为[－1,1].2令f′(x)＝0，得x＝2.(2)2(2)f(2,＝2＋1－(2,2＝2.又f(x)在区间端点的函数值为f(1)＝1，f(－1)1，比较以上函数值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－1.16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间上的最大值和最小值．[解析]f(x)的定义域为11所以f(x)在上的最小值为又f(f＝lnlnln1－ln<0，所以f(x)在区间上的最大值为(1)求f(x)的单调区间及极值；[分析]本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．[解析](1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x↔R知f′(x)＝ex－2，x↔R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xx(ln2，+∞)f′(x)-0+f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2)，单调递增区间是(ln2，+∞)，于是当a>ln2－1时，对任意x↔(0，+∞)，都有g(x)>g(0).而g(0)＝0，从而对任意x↔(0，+∞)，g(x)>0.(1)求f(x)的单调区间和值域；－2a，x↔[0,1]．若对于任意x1↔[0,1]，总存在x0↔[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．[解析](1)对函数f(x)求导，得令f′(x)＝0解得x＝2或x＝2.xx011211f′(x)－0＋f(x)1所以，当x↔(0，2)时，f(x)是减函数；当x↔[0,1]时，f(x)的值域为[－43].－a2).因此当x↔(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x↔[0,1]时有g(x)↔[g(1)，g(0)].又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)2a，即x↔[0,1]时有g(x)↔[1－2a－3a22a].任给x1↔[0,1]，f(x1)↔[－43]，存在x0↔[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，则[1－2a－3a22a][－43].即{l－2a≥-3.②解①式得a≥1或a≤-3；解②式得a≤2.3一、选择题1．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为([答案]C42．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()[答案]C表表表因此当底边长为4V时，其表面积最小.生产的产品是()[答案]D所以总利润为P＝R－C则该长方体的最大体积为()33[答案]B[解析]设长方体的宽为x(m)，则长为，高为h4.5－3x故长方体的体积为故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这5．若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为()2122[答案]A[解析]设内接圆柱的高为h，底面半径为x，2－EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(h2),4)＝2－EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(h4),4)6．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的1函数关系式为y＝－3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为()[答案]C[解析]本题考查了导数的应用及求导运算.x↔(9，+∞)时，y′<0，y先增后减.∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题.7．内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()[答案]B[解析]设矩形一边的长为x，＝－8．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()[答案]D11＝－9．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为()r3A.B.r33[答案]D[解析]如下图所示，为圆及其内接梯形，设∠COB=θ,则CD＝2rcosθ,h＝rsinθ,θ]112数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为()[答案]A[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题x2＝－x↔(25，+∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值.二、填空题其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为．[答案]4813．内接于半径为R的球，且体积最大的圆柱的高为．21ππ22214．如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大.2[答案]3三、解答题燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，[解析]设速度为每小时v千米的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p=1即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小.程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元.[分析]考查函数的性质和导数的运算及利用导数研究函数性质的能力和解决实际应用问题的能力.＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(m),x)－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(m),x)33所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n1＝9，故需新建9个桥墩才能使y最小.墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.[解析](1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为＝20C＝20×＝－f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与对城B的影响度之和．记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点对城A的距离；若不存在，说明理由.且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为，对城B的影响度为因此，总影响度y为y=又因为垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，＝－0极小值＋－xy1y最小值一、选择题i＝1＋1)„(y5＋1)[答案]C[解析]Σ5i＝1间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定[答案]A[解析]n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A.3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于()A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi↔[xi，xi＋1])D．以上答案均不正确[答案]C[解析]由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C.梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为()[答案]D[解析]在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是()A.B.[答案]D[解析]6．在等分区间的情况下及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()[答案]B2[解析]将区间[0,2]进行n等分每个区间长度为n，故应选B.二、填空题＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为、.8．已知某物体运动的速度为v＝t，t↔[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为．[答案]55三、解答题[分析]按分割，近似代替，求和，取极限四个步骤进行．[解析]将区间[0,2]分成n个小区间，则第i个小区间为第i个小区间的面积ΔSi＝fi＝12＋12＋22+„+(n－1)2]8[点评]注意求平方和时，用到数列中的一个求和公式.12＋22＋„＋n2＝10．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速[解析]将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为11．求物体自由落体的下落距离：已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．[解析](1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份.把时间[0，t]分成n个小区间每个小区间所表示的时间段在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i=(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程.在上任取一时刻，可取使v近似代替第i个t小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝n内所经过的距离可近似表示为t=Σg(nt,ni＝1=Σg(nt,ni＝1=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(gt2),n2)[0＋1＋2+„+(n－1)]1[解析](1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如下图)，它(2)近似代替记当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)＝的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用11EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up1(l),n)一、选择题31A6B．6[答案]A1＝－1aA．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法都有关[答案]A[解析]由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确.aaaa[答案]A[解析]由J(bf(x)dx的定义及求法知仅③正确，其余不正确．故应选A.a1[答案]D