事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第4课时事件的相互独立性、条件概率与

全概率公式

［考试要求］1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条

件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.

［链接教材•夯基固本］落实主干•激活技能

©梳理•必备知识

1.事件的相互独立性

对任意两个事件4与B,如果P(AB)=P(A)•0(8)成立,则称事件A与

概念

事件8相互独立，简称为独立

若事件Z与事件5相互独立，则Z与瓦X与B,Z与月也都相互独立，

性质

P(B［A)=P(B),P(A\B)=P(A)

2.条件概率

⑴概念：一般地，设Z,8为两个随机事件，且尸(Z)>0,我们称尸(8⑷=今黑

为在事件幺发生的条件下，事件5发生的条件概率，简称条件概率.

(2)两个公式

①利用古典概型：尸(同幺)=噌；

71(A)

②概率的乘法公式：P(AB}=P(A}-P(B\AY

3.全概率公式

一般地，设/1,出,…,4是一组两两互斥的事件,由UZ2U…U4=0,且尸(4)>0,

i=l，2,…，n,则对任意的事件8GO,有P(5)=2：E(4)巴但|4),我们称

该公式为全概率公式.

［常用结论］

1.事件的关系与运算

(1)2,8都发生的事件为45;A,5都不发生的事件为彳后.

(2)2,8恰有一个发生的事件为2月+方8;A,B至多有一个发生的事件为

AB+AB+AB.

2.*贝叶斯公式：设Zi,也，…，4是一组两两互斥的事件，N1UZ2U…U4

=0,且尸(4)>0,i=l,2,…，n,则对任意的事件8G0,尸仍)>0,有P(4⑻

_P(4)P(B|4)_.=］?...n

P(B)E2P(4)P(BHk)''''

3.尸(4B)求法：

⑴古典概型；(2)相互独立：P(AB)=P(A)P(B);(3)概率的乘法公式尸(48)=

P(A)•P(B\A).

O激活•基本技能

一、易错易混辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)相互独立事件就是互斥事件.()

(2)对于任意两个事件，公式尸(4B)=P(Z)P(5)都成立.()

(3)尸(80)表示在事件Z发生的条件下，事件8发生的概率，尸(Z3)表示事件4B

同时发生的概率.()

(4)若事件Z,8相互独立，则尸(5⑷=P(5).()

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)V

二、教材经典衍生

1.(多选)(人教A版必修第二册P266复习参考题10T1改编)袋内有3个白球和2

个黑球，从中有放回地摸球，用幺表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸

到白球”记为8,其对立事件记为C,那么事件Z与bZ与C的关系是()

A.幺与8相互独立B.幺与C相互独立

C.Z与C互斥D.4与B互斥

AB［由于摸球过程是有放回地，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没

有影响，故事件Z与B,4与C均相互独立，且幺与8,幺与C均有可能同时发

生，说明幺与8,Z与C均不互斥.］

2.(人教A版选择性必修第三册P46例1改编)在5道题中有3道代数题和2道几

何题.如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到几何题的条件下，第2

次抽到代数题的概率为()

D［根据题意，在第1次抽到几何题后，还剩4道题，其中有3道代数题，则第

2次抽到代数题的概率尸=(.故选D.］

3.(人教A版必修第二册P253练习T3改编)天气预报：元旦假期甲地的降雨概率

是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影

响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()

A.0.2B.0.3

C.0.38D.0.56

C［设甲地降雨为事件2,乙地降雨为事件8,则两地恰有一地降雨为2百+78,

所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)

=P(^)P(B)+P(Z)P(B)=0.2X0.7+0.8X0.3=0.38.］

4.(人教A版选择性必修第三册P50例4改编)某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑

假期间，该同学下午去打篮球的概率为:•若该同学下午去打篮球，则晚上一定去

跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为|.已知该同学在某天晚上去跑

步，则下午打过篮球的概率为.

—［设下午打篮球为事件Z,晚上跑步为事件8,易知尸(Z)=尸(48)=2,0(8㈤=2

1143

,»啰)=。(阴+「(油)=P(4)+P⑷•P(B|3)=1+ix|=1|,

4451Z

・.•尸那)=鬻得］

［典例精研•核心考点］重难解惑•直击高考

考点一事件的相互独立性

［典例1］(1)(2021•新高考I卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,

6,从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的

数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取

出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则

()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

(2)(2023•陕西西安二模)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是右从乙袋中摸出

一个红球的概率是:，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是()

A.两个球都是红球的概率为:

6

B.两个球中恰有1个红球的概率为g

C.两个球不都是红球的概率为］

D.至少有1个红球的概率为日

（1）B（2）C［（1）事件甲发生的概率P（甲）=：1,事件乙发生的概率P（乙）=1g事件

66

丙发生的概率P（丙）=工=工事件丁发生的概率尸（丁尸三=3事件甲与事件丙

6X6366X66

同时发生的概率为0,P（甲丙）WP（甲）•P（丙），A错误；事件甲与事件丁同时发

生的概率为工=与尸（甲丁尸尸（甲）P（丁），B正确；事件乙与事件丙同时发生的

概率为工=5,尸（乙丙）WP（乙）尸（丙），c错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不

6X636

是相互独立事件，D错误.故选B.

111

⑵两个球都是红球的概率为石x5=qA正确；

两个球中恰有1个红球的概率为3x（1-5+（1-x|=|,B正确；

两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球，所以概率为1—七==C错误；

66

-11

至少有1个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有1个红球，所以概率为：+:

62

7

=pD正确.故选C.］

名陆点评

1.两个事件是否相互独立的判断

（1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.

（2）公式法:若P（AB）=P（A）P（B）,则事件4,5为相互独立事件.

2.求相互独立事件同时发生的概率的方法

（1）首先判断几个事件的发生是否相互独立.

（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:

①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

［跟进训练］

1.（1）（2023•湖北武汉三模）设样本空间。={a,b,c,d}含有等可能的样本点,

且2={°,b},B={a,c},C={a,d},则Z,B,C三个事件(填“是”

或“不是”）两两独立,.P⑷P⑻P(C)

⑵(2024•山东淄博模拟)n分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10：10

平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.已知甲、乙两

位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10：10平后，甲先发球，假设甲发球时甲

得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.

①求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；

②求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率.

111

⑴是2［由题意，可得尸(2)=5,尸仍)=5,P©=5，

1111

且尸P{AO)=-,尸仍0=7P(ABC)=-,

所以P(4B)=P(4)P⑻,P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

所以事件4B,C是相互独立事件，且温⑹=2.］

⑵［解］①设双方10：10平后的第左个球甲获胜为事件4(左=1,2,3,…)，又

打了X个球比赛结束，则

尸(X=2)=0(Z/2)+P(五五)

=尸(小)尸(Z2)+P(图)P(丽

=0.5X0.4+0.5X0.6=05

②尸(X=4且甲获胜)=P(Z1豆2324)+P(匹4M34)

=尸(小)尸(五)「043)「(44)+「(五)尸(幺2)尸(幺3)尸(4)

=0.5X0.6X0.5X0.4+0.5X0.4X0.5X0.4=0.1.

【教师备选资源】

甲、乙、丙三人进行网球比赛，约定赛制如下：累计负两场被淘汰；比赛前抽签

决定首先比赛的两个人，另一个人当裁判，没有平局；每场比赛结束时，负的一

方在下一场当裁判；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘

汰，另一人最终获得冠军，比赛结束.已知在每场比赛中，双方获胜的概率都为

各局比赛的结果相互独立，经抽签，第一场比赛甲当裁判.

(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；

⑵求只需四场比赛就决出冠军的概率.

［解］⑴记事件Z为甲胜乙，则尸⑷=最贝U尸(a)=1—A：,

事件8为甲胜丙，则P(5)W，

1_1-1

事件。为乙胜丙,则p(o=g,则尸c)=y

前三场比赛结束后，丙被淘汰可用事件CACUCAB来表示，

所以前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为Pi=p(CAQ+P(CAB)=^-x-+^^

222222

一4，

(2)若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件ClSNUeAlg来表

示，P{CABAUCBAB)=P(CABA)+P(CBAB)=P(C)P(A)P⑻P(A)+

P(CWW)P(5)=1xlxlxl+lxlxlxl=l

若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件cZcZ来表示，

————11111

P(CACA)=P(C)P(A)P(OP(A)=-x-x-x-=-

乙乙乙乙J.O

若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件。百。后来表示，

P(CBCB)=P(C)P(B)P(C)P(B)^^-=-

所以只需四场比赛就决出冠军的概率为02=4+2■+工=2

816164

口考点二条件概率

[典例2](1)(2023•全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的

同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一

一

题

多

解

位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(

A.0.8B.0.6

C.0.5D.0.4

(2)(2024•天津武清模拟)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中一次

性任取3球，则恰有一个白球的概率是；若从中不放回的取球2次，每

次任取1球，记“第一次取到红球”为事件4“第二次取到红球”为事件比

则P(B\A)=.

(1)A(2)||[(1)法一(图示法)：如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，

右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比

例，8表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑

冰的学生所占比例，则0.6+0.5—8=0.7,所以8=0.4,C=0.5-0.4=0.1.所

以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为3=器=0.8.故选A.

B+C0.5

法二(运用条件概率的计算公式求解)：令事件Z,8分别表示该学生爱好滑冰、

该学生爱好滑雪，事件。表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(N)=

0.6,P(B)=0.5,P(AB)=P(A)+P⑻-0.7=04,所以尸(。=尸(却5)=黯=措

r^D)(J.D

=0.8.故选A.

由题可知幺="第一次取到红球"，B="第二次取到红球”，则尸⑷三7，P(AB)

名师点评求条件概率的两种方法

(1)利用定义，分别求P(4)和尸(48),得尸(50)=镖，这是求条件概率的通法.

(2)缩小样本空间法，借助古典概型概率公式，先求事件幺包含的基本事件数〃(4),

再求事件Z与事件5的交事件中包含的基本事件数〃(4B),得尸(5⑷=嗯.

［跟进训练］

2.(1)(2023•辽宁锦州二模)如图，用K、出、出三类不同的元件连接成一个系

统,当K正常工作且小、也至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、

小、4正常工作的概率依次是：、|、|,已知在系统正常工作的前提下，求只有

K和小正常工作的概率是()

(2)(2022•天津高考)现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回,

则两次都抽到A的概率为;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A

的概率为.

(1)C(2昌2［(1)设事件Z为系统正常工作，事件8为只有K和小正常工

作，因为并联元件出，幺2能正常工作的概率为1一(1一|)(1一|)=*所以P⑷

=|x1=^又因为尸(4B)=P⑻=gx|x(1一§='所以尸仍⑷=需=:故

选C.

(2)由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,

1

则尸击，P(8)=&=1，所以尸(半)=需=孚=等

。乙。_1_乙4_1.。4_LD1ID).L/

13

□考点三全概率公式的应用

［典例3］(2024•山西大同模拟)假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3

个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全

相同.

(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，

求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；

(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二

个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.

［解］(1)依题意，记事件4表示第，次从第一个盒子里取出红球，记事件8表示

两次取球中有红球，

_o727

则P(5)=l-P(B)=l--x-=l--=-,

_2132

I"、_P(421_P(4&)+P(狂&)_4Xa+Pz_4

P((A)p(B)P(B)57'

(2)记事件Cl表示从第一个盒子里取出红球，记事件G表示从第一个盒子里取出

白球，记事件。表示从第二个盒子里取出红球，

ocQA22

则P(D)=P(G)P(DICI)+P(C2)P(D\C2)=-X-+-X-=-

名师点评“化整为零”求多事件的全概率问题

3

⑴如图,P（B）=WP（A）P（B|4）.

i=l

(2)已知事件3的发生有各种可能的情形40=1,2,…，ri),事件8发生的可能

性，就是各种可能情形4发生的可能性与已知在4发生的条件下事件8发生的

可能性的乘积之和.

［跟进训练］

3.(1)(2023•合肥调研)某保险公司将其公司的被保险人分为三类:“谨慎的”“一

般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为

0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%,“一

般的”被保险人占50%,“冒失的”被保险人占30%,则该保险公司的一个被保

险人在一年内发生事故的概率是()

A.0.155B.0.175

C.0.016D.0.096

⑵(2024•广东梅州模拟)有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其

中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂

的次品率依次为6%、5%、5%,现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率

为;若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为.

(1)B(2)-^-［⑴设事件囱表示“被保险人是'谨慎的,”，事件也表示“被

上UUU

保险人是,一般的,”，事件&表示“被保险人是'冒失的,”，则尸(31)=20%,尸使)

=50%,尸(&)=30%,设事件幺表示“被保险人在一年内发生事故”，贝U尸(小囱)

=0.05,P(A\B2)=0.15,尸(。03)=0.30.

由全概率公式得P⑷=WP(8JP(川8,)=20%X0.05+50%X0.15+

(■1

30%X0.30=0.175.

⑵设任取一件产品来自甲厂为事件〃、来自乙厂为事件42、来自丙厂为事件43,

则彼此互斥，且小U42U43=O,

30003

尸(小)=

3000+3000+400010'

30003

尸(也)=

3000+3000+400010'

p.4000_2

（-3000+3000+4000-5,

设任取一件产品，取到的是次品为事件8,

则P(B)=P(AiB)+P(A2B)+P(A3B)

=P(A1)P(B\A1)+P(A2)P(B\A2)+P(A3)P(B\A3)

=!><6%+±X5%+;X5%=已

101051000

如果取得零件是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为

3

P(&B)P(4I)P(B|ZI)元义6%is

P(NI|B)=.]

P(B)P(B)T^o53

课时分层作业（六十六）事件的相互独立性、

条件概率与全概率公式

［A组在基础中考查学科功底］

一、单项选择题

1.（2024•江苏南京模拟）在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙

去参观市博物馆的概率为0.5,且甲、乙两人各自行动，则在这段时间内，甲、

乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率是（）

A.0.3B.0.32C.0.8D.0.84

C［依题意，在这段时间内，甲、乙都不去参观市博物馆的概率为Pi=（l—

0.6）X（l-0.5）=0.2,

所以在这段时间内，甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率是尸=1—Pi

=1-02=0.8.故选C.］

2.现有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓

球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）

A.0.8B.0.4

C.0.2D.0.1

A［根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为

事件4报乒乓球俱乐部为事件5,则尸（2）=卷=*由于有50人报名足球俱乐

部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的有50+60—70=40人，

则尸(25)=4=；,则尸(80)=2黑=工=08故选A.]

/U/r1/I)一

7

3.(2023•广东广州一模)已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占

60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是90%,

则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()

A.0.92B.0.93

C.0.94D.0.95

B[从某地市场上购买一个电子产品，设买到的电子产品是甲厂产品为事件Z,

设买到的电子产品是乙厂产品为事件8,则由题意可知P(Z)=60%,P(5)=40%,

从甲厂电子产品中购买一个，设买到的电子产品是合格产品为事件C,从乙厂电

子产品中购买一个，设买到的电子产品是合格产品为事件。，则由题意可知P(0

=95%,P(Q)=90%,由题意可知Z,B,C,。互相独立，故从该地市场上买到

一个合格产品的概率是尸(2。+P(BD)=P(A)P(C)+P(B)P(D)=60%X95%+

40%X90%=0.93.故选B.]

4.(2023•湖北武汉三模)已知尸(8)=0.4,0(5⑷=0.8,尸(8⑷=0.3,则P(Z)=

()

D[P(8)=P(Z5+7B)=P(a)P(BH)+P(Z)・P(B|m，

即0.4=0.80(4)+0.3[1—尸(4)],

1

解得尸⑷=0.2三.

故选D.]

5.(2023•广东深圳二模)从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三

个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为()

D［从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数可得基本事件为(1,2,3),(1,

2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),

(2,4,5),(3,4,5),共10种情况，若这三个数之积为偶数，有(1,2,3),(1,

2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),

(3,4,5),共9种情况，它们之和大于8有(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),

(2,4,5),(3,4,5),共5种情况，

从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之

和大于8的概率为P=|.

故选D.]

6.(2023•山东潍坊二模)已知事件/、8满足尸(20)=0.7,P(A)=0.3,则()

A.尸(205)=0.3B.P(^A)=0.3

C.事件48相互独立D.事件B互斥

C[由题设0(2)=1一尸(9)=0.7=038),

所以P(AB)=P(A\B)P(B)=P(A)P(B),

即Z,8相互独立，同一试验中不互斥，

而P(8)未知，无法确定尸(zn5),P(B\A).故选C.]

7.(2023•湖南郴州三模)篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给

其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的

概率为()

1S9

A.—B.—

6432

C.—D.—

6464

D[由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为；，由甲开始传球，则前

3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为：只在第一次接到球和只在第二

次接到球以及只在第三次接到球，则概率为Lx1X-+-X-X1+-X-X

444444464

故选D.]

8.(2023•河北唐山三模)假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次

品；第二箱内装有10件，其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱，然后从

该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率

为()

AB.3

-I7

4

D.

7

D[设事件幺表示从第一箱中取一个零件，事件8表示取出的零件是次品,

12

PQ4B)=/4故选,

则P(A\B)=12,13D.]

P⑻2X5+2X10

二、多项选择题

9.(2023•山东威海一模)已知事件Z,3满足尸(N)=0.5,P(5)=0.2,则()

A.若则尸(Z8)=0.5

B.若/与8互斥，则尸(N+8)=0.7

C.若Z与8相互独立，则尸(2百)=0.9

D.若尸(53)=0.2,则幺与5相互独立

BD[对于A,因为P(Z)=0.5,尸(5)=02,BQA,

所以P(AB)=P(B)=0.2,故错误；

对于B,因为Z与8互斥，所以尸(Z+5)=P(Z)+尸(8)=0.5+0.2=0.7,故正确；

对于C,因为0(8)=02,所以＜(月)=1-0.2=。8,所以P(a后)=0.5X0.8=0.4,

故错误；

对于D,因为尸(8⑷=0.2,即当普=0.2,所以尸(Z5)=0.2XP(Z)=0.1,

又因为尸(Z)•尸(3)=0.5X02=0.1,

所以P(AB)=P(A)•P⑻,

所以幺与8相互独立，故正确.故选BD.]

10.(2023•江苏南通一模)一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分

别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事

件4”第二次取到黄球”为事件8,贝U()

A.P(A)WB.A,8为互斥事件

C.0(5⑷4D.A,8相互独立

AC[P⑷=[,A正确；Z,5可同时发生，即“第一次取红球，第二次取黄球”，

A,B不互斥,B错误；

在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为：，C正确；

9111111

尸仍)=h彳+力0=鼻，P(Z8)=[X5=QP(Z8)WP⑷P⑻，...a8不独立，D

错误.故选AC]

三、填空题

11.三个元件八，%八正常工作的概率分别%1,，将元件。，A并联后

再和元件与串联接入电路，如图所示，则此电路不发生故障的概率为.

T2

73

[记"三个元件Ti,72,A正常工作”分别为事件4,A2,Ay,则P(ZD=g,

尸(幺2)=；,尸(出)=*

•.•电路不发生故障的事件为(N2UZ3)N1,

...电路不发生故障的概率为

尸=P[(Z2UZ3)Z1]=尸(Z2UZ3)p(Z1)=[1—尸(五)•P(&)]P(Zi)=(l-[x£)xg=

竺]

32。」

12.(2024•湖南长沙模拟)随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族

需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选

择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为而他自驾，坐公交车，

骑共享单车迟到的概率分别为:，1,1,结果这一天他迟到了，在此条件下，他

456

自驾去上班的概率是.

[法一：由题意设事件Z表示“自驾”，事件8表示“坐公交车”，事件C

表示'飞奇共享单车”，事件。“表示迟到”，

11

则P⑷=P(B)=P(C)W，P(。⑷=：,

11

尸(。8)=9P(D\C)=-,

P(£>)=P(A)P(D\A)+P(B)P(D\B)+P(Q•尸(0。=1x&+打匀=盖.小明迟到

D30/loU

了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是尸0。)=陪=吗辔=母=!|.

('''180

1

法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率尸=+工=11]

4+5+6

四、解答题

13.某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，该款芯片的生产有

四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动

检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为01=