2023九年级数学下册 第三章 圆6 直线和圆的位置关系第3课时 三角形的内切圆教案 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第三章圆6直线和圆的位置关系第3课时三角形的内切圆教案（新版）北师大版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课的内容来自北师大版九年级数学下册第三章《圆》的第六课时，主要讲解直线和圆的位置关系中的三角形内切圆相关知识。教材内容主要包括：

1.三角形内切圆的定义及其性质；

2.三角形内切圆的圆心性质；

3.三角形内切圆的半径与三角形边长的关系；

4.利用内切圆解决三角形相关问题。

教学目标：通过本节课的学习，使学生掌握三角形内切圆的定义、性质及应用，能够运用内切圆解决一些简单的几何问题。核心素养目标本节课旨在培养学生的几何直观、逻辑推理和数学建模等核心素养。通过学习三角形内切圆的定义、性质及应用，学生能够培养几何直观能力，将实际问题抽象为几何模型；同时，通过探索三角形内切圆的性质，锻炼逻辑推理能力，掌握数学证明的方法；最后，利用内切圆解决三角形相关问题，提升数学建模能力，体会数学在实际问题中的应用价值。学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的大部分数学知识，对于几何图形的认知和分析能力已经有了一定的基础。在学习本节课之前，学生已经学习了圆的基本性质、直线与圆的位置关系等知识，对于圆的性质和图形的几何分析有一定的了解。

学生在知识方面，对于圆的性质、直线与圆的位置关系等知识已经有所了解，但对于三角形内切圆的性质和应用可能还没有完全掌握。因此，在学习本节课时，学生需要加强对三角形内切圆性质的理解和应用。

在能力方面，学生已经具备了一定的几何直观和逻辑推理能力，能够进行简单的几何证明和问题分析。但是，对于复杂的几何问题，学生可能还存在一定的困难。因此，在教学过程中，教师需要引导学生运用已有的知识和能力，通过观察、思考、探索等方式，提升解决问题的能力。

在素质方面，学生应该具备良好的学习习惯和团队合作能力。在学习本节课时，学生需要积极主动地参与课堂讨论，与同学进行合作交流，共同解决问题。同时，学生应该具备良好的学习习惯，按时完成作业和练习，及时巩固所学知识。

行为习惯方面，学生可能存在以下情况：一些学生可能对几何图形的学习感到枯燥无味，缺乏学习的兴趣和动力；一些学生可能在几何证明和问题分析方面存在困难，缺乏自信心；一些学生可能在学习过程中容易分心，缺乏专注力。这些行为习惯会对课程学习产生一定的影响。

针对以上情况，教师在教学过程中需要注意以下几点：

1.通过引入实际问题情境，激发学生的学习兴趣，提高学生对几何图形的关注度；

2.通过引导学生参与课堂讨论和实践活动，提升学生的几何直观和逻辑推理能力；

3.通过给予学生鼓励和肯定，增强学生的自信心，帮助学生克服学习困难；

4.通过设置合理的课堂纪律和规则，提高学生的专注力，营造良好的学习氛围。教学方法与策略为了达到本节课的核心素养目标，并适应学生的学情，我将采用多种教学方法与策略，包括讲授、讨论、案例研究、项目导向学习等，以促进学生的积极参与和互动。

1.讲授法：在课堂上，我将运用讲授法向学生传授三角形内切圆的定义、性质及应用。通过清晰的讲解，帮助学生理解和掌握相关知识。

2.讨论法：我将组织学生进行小组讨论，让学生分享彼此对于三角形内切圆的理解和观点。通过互相交流和讨论，学生能够加深对知识的理解，并培养合作能力。

3.案例研究：我将提供一些实际问题案例，让学生运用所学知识分析和解决。通过案例研究，学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。

4.项目导向学习：我将引导学生参与项目活动，如制作三角形内切圆的演示文稿或模型。通过实践活动，学生能够将所学知识付诸实践，培养实践操作能力和创新能力。

此外，我将利用教学媒体和资源，如PPT、视频和在线工具，辅助教学过程。PPT用于展示清晰的讲解和重要知识点，视频用于提供实际的演示和案例分析，在线工具用于学生进行自主学习和互动交流。

在教学过程中，我将注重学生的参与和互动。通过设计角色扮演、实验和游戏等活动，激发学生的兴趣，提高学生的参与度。同时，我将鼓励学生提问和表达自己的观点，培养学生的思考能力和表达能力。

最后，我将根据学生的学习情况，及时调整教学方法和策略，确保教学的针对性和有效性。通过不断的尝试和实践，寻找最适合学生学习的方法，提高教学效果。教学流程1.导入（5分钟）

在课堂开始时，我将通过引入一个实际问题情境，激发学生的学习兴趣。例如，我可以提出一个问题：“为什么在设计足球场时，球门柱之间的距离是特定的数值？”让学生思考并引发对三角形内切圆的兴趣。

2.知识讲解（10分钟）

3.案例分析（10分钟）

然后，我将提供一些实际问题案例，让学生运用所学知识分析和解决。通过互相交流和讨论，学生能够加深对知识的理解，并培养合作能力。例如，我可以给学生一个三角形ABC，要求他们找出该三角形的内切圆，并计算内切圆的半径。

4.实践活动（5分钟）

接着，我将引导学生参与实践活动。例如，我可以让学生分组，每组制作一个三角形内切圆的模型。通过实践活动，学生能够将所学知识付诸实践，培养实践操作能力和创新能力。

5.互动讨论（5分钟）

在实践活动之后，我将组织学生进行互动讨论。让学生分享自己制作模型的过程和心得体会，同时也可以互相提问和解答疑惑。通过讨论，学生能够加深对三角形内切圆的理解，并培养团队合作能力。

6.总结与复习（5分钟）

最后，我将与学生一起总结本节课的重点内容，并复习所学的知识点。通过总结，帮助学生巩固所学知识，并建立知识体系。

整节课的时间安排如下：

导入：5分钟

知识讲解：10分钟

案例分析：10分钟

实践活动：5分钟

互动讨论：5分钟

总时长：40分钟

注意：由于本节课的内容较多，我将尽量在45分钟内完成以上教学流程。如果时间允许，可以在互动讨论环节给予学生更多的时间进行交流和展示。如果有需要，可以在课后布置相关的作业和练习，以巩固所学知识。拓展与延伸为了帮助学生深入理解三角形内切圆的知识，并激发他们的探究兴趣，我提供了以下拓展阅读材料和课后自主学习任务。

1.拓展阅读材料：

-数学杂志文章：《三角形内切圆的性质与应用》

-数学论坛论文：《三角形内切圆与几何平均值的关系》

-数学教育博客：《三角形内切圆的发现与发展历史》

这些阅读材料将帮助学生从不同角度了解三角形内切圆的性质和应用，以及与其他数学概念的联系。

2.课后自主学习任务：

-探索更多关于三角形内切圆的性质，如内切圆的半径与三角形边长的关系。

-研究三角形内切圆在实际问题中的应用，如在工程设计、几何计算等领域中的应用。

-尝试解决更复杂的几何问题，如利用内切圆解决四边形的内切圆问题。

希望学生能够积极利用这些拓展资源，进一步探索和深化对三角形内切圆的理解，并将其应用到实际问题中。如果有任何问题或需要进一步的解释，欢迎随时向我提问。祝你在数学学习中取得更好的成绩！课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.三角形内切圆的定义和性质：三角形内切圆是三角形内部唯一与三边都相切的圆，其圆心为内心，半径等于三角形的内切圆半径。内切圆的半径与三角形的三边长有关，可以通过三角形的面积公式来计算。

2.直线与内切圆的位置关系：直线与内切圆相交于两点时，这两点分别在直线的两侧；直线与内切圆相切时，切点即为直线到圆心的距离最小的点；直线与内切圆相离时，直线到圆心的距离大于圆的半径。

3.内切圆的应用：内切圆在几何计算、工程设计等领域有广泛的应用。例如，可以利用内切圆来求解三角形的面积、角度和边长等问题。

当堂检测：

1.判断题：

(1)三角形内切圆的圆心是三角形的重心。（）

(2)直线与内切圆相切时，直线到圆心的距离等于圆的半径。（）

(3)三角形的内切圆半径与三角形的三边长无关。（）

2.选择题：

(1)以下哪个点是三角形ABC的内切圆圆心？（）

A.角平分线的交点

B.中线的交点

C.高的交点

D.重心

(2)三角形ABC的边长分别为a、b、c，面积为S，则内切圆半径r等于（）

A.(a+b+c)/2

B.(a+b-c)/2

C.(a-b+c)/2

D.(a-b-c)/2

3.解答题：

(1)设三角形ABC的内切圆半径为r，三边长分别为a、b、c，证明：r=(a+b-c)/2。

(2)已知三角形ABC的面积为S，内切圆半径为r，求三角形ABC的角A、角B、角C的度数。

希望学生通过课堂小结和当堂检测，能够巩固对三角形内切圆的理解和应用，并及时发现和纠正自己的学习问题。如果有任何问题或需要进一步的解释，欢迎随时向我提问。祝你在数学学习中取得更好的成绩！重点题型整理1.题型一：三角形内切圆的性质

题目：已知三角形ABC，求证：三角形ABC的内切圆半径r等于三边长a、b、c的平均值。

解答：根据三角形内切圆的性质，内切圆半径r等于三角形ABC的面积S除以半周长p（p=(a+b+c)/2）。因此，我们可以构造三个小三角形，分别以a、b、c为底，内切圆半径为r的高。这三个小三角形的面积之和等于三角形ABC的面积S。根据小三角形的面积公式，可得：

(1/2)*a*r+(1/2)*b*r+(1/2)*c*r=S

化简得：

r=(a+b-c)/2

因此，证明了三角形ABC的内切圆半径r等于三边长a、b、c的平均值。

2.题型二：直线与内切圆的位置关系

题目：已知直线l与三角形ABC的内切圆相切于点P，求证：点P到直线l的距离等于内切圆半径r。

解答：由于直线l与内切圆相切，根据圆的性质，切点P到圆心的距离等于内切圆半径r。设圆心为O，连接OP，根据勾股定理可得：

OP^2=r^2

又因为直线l与圆相切，所以直线l与OP垂直，即直线l是OP的垂线。根据垂线的性质，点P到直线l的距离等于OP的长度，即点P到直线l的距离等于内切圆半径r。

3.题型三：内切圆的应用——求解三角形面积

题目：已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，求三角形ABC的面积S。

解答：根据三角形内切圆的性质，三角形ABC的面积S等于内切圆半径r乘以半周长p（p=(a+b+c)/2）。因此，我们首先需要求出内切圆半径r。根据题型二的证明，点P到直线l的距离等于内切圆半径r，我们可以通过构造三个小三角形来求解r。每个小三角形的面积等于底乘以高除以2，因此：

S=(1/2)*a*r+(1/2)*b*r+(1/2)*c*r

4.题型四：内切圆的应用——求解三角形角度

题目：已知三角形ABC的面积为S，内切圆半径为r，求三角形ABC的角A、角B、角C的度数。

解答：根据三角形内切圆的性质，三角形ABC的面积S等于内切圆半径r乘以半周长p（p=(a+b+c)/2）。因此，我们可以通过已知的S和r来求解p。然后，根据三角形的面积公式，可以得到：

S=(1/2)*p*h

其中h为三角形的高。由于内切圆半径r是三角形的高，所以我们可以得到：

S=(1/2)*p*r

5.题型五：内切圆的应用——求解三角形边长

题目：已知三角形ABC的角A、角B、角C的度数，求三角形ABC的边长a、b、c。

解答：根据三角形内切圆的性质，内切圆半径r等于三角形ABC的面积S除以半周长p（p=(a+b+c)/2）。因此，我们可以通过已知的角A、角B、角C的度数来求解三角形ABC的面积S。然后，根据三角形的面积公式，可以得到：

S=(1/2)*a*b*sin(C)

同时，根据内切圆的性质，我们可以得到：

r=S/p

以上是五个重点题型的整理和解答，希望学生能够通过这些题型的练习，巩固对三角形内切圆的理解和应用，并提高解题能力。如果有任何问题或需要进一步的解释，欢迎随时向我提问。祝你在数学学习中取得更好的成绩！内容逻辑关系①三角形内切圆的定义和性质：三角形内切圆是三角形内部唯一与三边都相切的圆，其圆心为内心，半径等于三角形的内切圆半径。

②直线与内切圆的位置关系：直线与内切圆相交于两点时，这两点分别在直线的两侧；直线与内切圆相切时，切点即为直线到圆心的距离最小的点；直线与内切圆相离时，直线到圆心的距离大于圆的半径