4.5.3函数模型的应用课件高一上学期数学人教A版

第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用(二)4.5.3函数模型的应用内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情景中，会选择合适的函数类型来刻画现实问题的变化规律．2.结合现实情景中的具体问题，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．3.培养应用数学方法分析问题、探索问题、解决问题的能力．活动方案我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？活动一利用已知函数模型求解实际问题例

1人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型；(2)利用(1)中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符；(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？【解析】(1)由题意知y0＝55196，设1950～1959年期间我国人口的年平均增长率为r，则根据马尔萨斯人口增长模型，有67207＝55196e9r，由计算工具得r≈0.021876.因此我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55196e0.021876

t,t∈[0,9]．(2)分别取t＝1,2，…，8，由y＝55196e0.021876

t可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951～1958年各年末的实际人口总数，如下表所示.年份1951195219531954计算所得人口总数/万56417576655894060243实际人口总数/万56300574825879660266年份1955195619571958计算所得人口总数/万61576629386433065753实际人口总数/万61465628286456365994根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y＝55196e0.021876

t(t∈[0,9])的图象．由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．(3)将y＝130000代入y＝55196e0.021876

t，由计算工具得t≈39.16，所以如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿．思考►►►事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？【解析】

因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件．例

2

2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？活动二自建函数模型解决实际问题建立数学模型应注意的问题用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意，将实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关：(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．例

3假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？活动三函数模型的选择问题【解析】

设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况.x方案一方案二方案三y增加量/元y增加量/元y增加量/元140

10

0.4

240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.2x方案一方案二方案三y增加量/元y增加量/元y增加量/元6400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4再画出三个函数的图象如下：由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下：

因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三．方案天数1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元)【解析】

按甲方案，每年利息100×10%＝10(万元)，5年后本息合计150万元；按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元)．故乙方案投资更有利，按乙方案投资5年可多得利息3.86万元．上市时间x(天)41036市场价y(元)905190不同函数模型的选取标准：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？【解析】

借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)，观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．检测反馈245131.(2023·临沂高一期末)某学生从家出发去学校，为了保证不迟到，他先跑了一段路，然后一直走到学校．下列图中，纵轴表示该生离学校的距离d，横轴表示出发后的时间t，较符合该生走法的图象是(

)【解析】

随着时间的增加，距学校的距离在减小，即函数图象应为减函数，排除A，C；曲线的斜率反映行进的速度，斜率的绝对值越大速度越大，步行后速度变小，故排除B，所以较符合该生走法的图象是选项D所给的图形．【答案】D24513【答案】A24533.(多选)(2022·潍坊高一期中)图1是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图2和图3中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法中正确的是(

)12453A.图1中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元B.图1中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡C.图2游乐场实行的措施是降低门票的售价D.图3游乐场实行的措施是减少投入的成本费用1【解析】

对于A，图1中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，故A正确；对于B，图1中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，故B正确；对于C，图2游乐场实行的措施是提高门票的售价，故C错误；对于D，图3游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，故D正确．故选ABD.【答案】ABD24534.(2022·安徽石室中学高三练习)假设某地2022年年初的物价为1，每年以5%的增长率递增，则2030年年底物价的数值为________.1【解析】

因为每年以5%的增长率递增，所以经过x年后的物价为(1＋5%)x＝1.05x，从2022年年初到2030年年底经过了9年，所以2030年年底的物价为1.059.【答案】